（概率论与数理统计专业论文）等间距分段加权和的lévy连续模定理.pdf

安徽大学硕十学位论文 摘要 摘要 本论文是对l 6 v y 连续模定理进一步推广到等间距分段加权和的情形之下， 得到了关于标准w i e n e r 过程下的等间距分段加权和的l 6 v y 连续模定理。本文 共分为三章。 第一章为引古。在这一章中，简要地介绍了w i e n e r 过程作为随机过程中 重要的一类，它与其他学科的密切联系，和关于此过程一些已经取得的重要成 果，以及与本论文有关的一些工作。 第二章为准备知识。在这一章中，首先，给出了本论文所要用到的一些记 号和w i e n e r 过程i t ，s 】上的加权线性组合的定义。其次，给出了本论文在证明结 论中所要用到的一些重要的引理和命题。 第三章为定理的证明。在这一章中，我们证明了关于标准w i e n e r 过程的 等问距分段加权和的l 6 v y 连续模定理，讨论了在第二章中定义下的w i e n e r 过程在加权线性组合下的增量有多小。本论文的结论是对文献 3 】中的重要定 理1 2 1 的推广和创新。 总之，w i e n e r 过程中的增量的性质是研究w i e n e r 过程重对数率的基础。 因此本文的结论对w i e n e r 过程的样本性质进行更深入的研究有很大帮助。 关键词：w i e n e r 过程；增量；连续模；b c 引理：相互独立 安徽大学硕士学位论文 目录 a b s t r a c t t h ep a p e re x t e n tt h em o d u l u so fc o n t i n u i t yt ot h ec o n d i t i o no fw e i g h t e ds u m t h a ta v e r a g e si n t e r v a ls e g m e n t sa b o u tn o r m a lw i e n e rp r o c e s sa n do b t a i nt h e o r e mo f t h em o d u l u so fc o n t i n u i t yo fl e v yu n d e rt h ec o n d i t i o no fw e i g h t e ds u l nt h a t a v e m g e s i n t e r v a ls e g m e n t sa b o u tn o r m a lw i e n e rp r o c e s si tc o n t a i n st h r e ec h a p t e r s c h a p t e r1 i sap r e f a c e i nt h i s ，t h es y n o p s i sg r o u n di n t r o d u c e dt h ew i e n e r p r o c e s sc o n d u c ta n da c t i o n sr a n d o m r n p o r t a n e ei nt h ep r o c e s so f at y p e , i ta n dt h e c l o s ec o n t a c to fo t h e ra e a d e m i c s e si ss o m et oh a v ea l r e a d yo b t a i nw i t hc o n c e r n i n g t h i sp r o c e s so f i m p o r t a n tr e s u l t , a n dh a v er e l a t i o nw i t ht h i st h e s i so f s o m ew o r k s c h a p t e r2f o rp r e p a r ek n o w l e d g e g i v ef i r s ti nt h i st h i st h e s i sw a n t st ou s eo f s o m em a r k sa n dt h ew i a n e rp r o c e s s 1u po fa d dt h ed e f i n i t i o nt h a tt h ep o w e r l i n ec o m b i n e g i v es e c o n d l yt h i st h e s i si si nt h ec e r t i f i c a t et h ec o n c l u s i o nw a n tt o r i s eo f s o m el e a dar e a s o na n ds e tq u e s t i o ni m p o r t a n t l y c h a p t e r3p r o v e sf o rt h et h e o r e m a tt h i si n , w ep r o v et h e o r e mo f t h em o d u l u s o fc o n t i n u i t yo fl e v yu n d e rt h ec o n d i t i o no fw e i g h t e ds u l it h a ta v e r a g e s i n t e r v a l s e g m e n t sa b o u t n o r m a lw i e n e rp r o c e s s ，d i s c u s st h a td e f i n ei nc h a p t e r2u n d e ro ft h e w i e n e rp r o c e s sb ea d d i n gt h ep o w e rl i n et oc o m b i n eu n d e ro f i n c r e a s eq u a n t i t yh a v e m u c hs m a l l t h ec o n c l u s i o no ft h i st h e s i si st oc u l t u r a lh e r i l a g e t h ei m p o r t a n t t h e o r e m1 2 1o f t h ee x p a n s i o na n dt h ei n n o v a t i o n f i n a l y , i nt h ew i e n e rp r o c e s so fi n c r e a s et h ep r o p e r t yo ft h eq u a n t i t yi st h e f o u n d a t i o nt h a ts t u d i e sah e a v yl o g a r i t h m so ft h ew i e n e rp r o c e s s t h et h e r e f o r e t e x t u a lc o n c l u s i o nc a r r i e so nam o r et h o r o u g hr e s e a r c ht od oal o to fg o o dt ot h e s a m p l ep r o p e r t yo f t h ew i e n e rp r o c e s s k e y w o r d s ：t h ew i e n e rp r o c e s s ，i n c r e a s eq u a n t i t y , ct h em o d u l u s o fc o n t i n u i t yo f l e v y , b cl e m m a , i n d e p e n d e n tm u t u a l l y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得爱像群或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 摊黻储摊：了忒 签字日期： 。，年广月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解瓠丈学有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权菱膨7 = 茸可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作 签字日期： 学位论文作 工作单位： 通讯地址： 导师签名：扣p j 生嚏生 签字日期： ，6年，月乜日 电话： 邮编： 安徽大学硕士学位论文 引言 第一章引言 w i e n e r 过程是一类非常重要的随机过程，它是基于对粒子b r o w n 运动的 数学刻画。w i e n e r 过程经常被广泛地应用到经济学、管理学等其他应用学科之 中。例如，w i e n e r 过程的直接而简单的推广分数w i e n e r 过程，在粮食产量趋势 预测、新增固定资产分析、国民收入分析、股票收益、长程相关统计及口指数 计算、分数阶a r i m a 模型及其在价格指数预测的应用等领域中都起着重要的 作用。因此诸多专家和学者对w i e n e r 过程及其相关随机过程的轨道性质进行了 深入的研究。 早在2 0 世纪2 0 年代美国著名的数学家以及现代控制论创始人维纳 m w i e n e r ) 就从事b r o w n 运动的数学分析的研究。他指出，除去一个概率( 关 于w i e n e r 测度) 为零的集合外，所有b r o w n 运动的样本轨道是连续不可微的 曲线。 在2 0 世纪4 0 年代左右，p l 6 v y 证明了著名的连续模定理，即对b r o w n 运动( w i e n e r 过程) 的几乎所有样本轨道建立了精确的连续性速度。它对一般 的g a u s s 过程和其他许多相关的随机过程样本轨道性质的研究有着重要的指导 作用。 2 0 世纪6 0 、7 0 年代，s t r a s s e n 对w i e n e r 过程样本轨道性质的研究得到了 重要的w i e n e r 过程的泛函重对数率。m c s 6 r 9 6 和p r d v a s z 等著名的数学家对 w i e n e r 过程的大增量作了系统的开创性的研究，并得到了关于w i e n e r 过程增量 有多大的一系列重要成果。除次之外，他们还研究了w i e n e r 过程的另一类样本 轨道性质，给出了w i e n e r 过程的不可微分模和增量有多小。自m c s 6 r 9 6 和p r d v d s z 的1 9 8 1 年专著发表以后，强逼近理论发展十分迅速，对w i e n e r 过程样 本轨道性质，进一步在对许多特殊的g a u s s 过程的轨道性质的研究有着一系列 重大进展。在m ，c s 6 r 9 6 教授的提议下，中国学者林正炎、陆传荣、邵启满等以 及一些匈牙利学者对某些特殊的g a u s s 过程和较一般的g a u s s 过程进行了深入 的研究。如：林正炎、陆传荣1 9 9 2 年的专著强极限定理综述了当时国内外 室堕查兰堡兰垒丝兰 竺哩里坌垦垫壑塑竺! ! ! 垄堡堡室里 有关成果。在w i e n e r 过程和g a u s s 过程的样本轨道性质方面，完善了对w i e n e r 过程增量理论的研究，详细介绍了关于w i e n e r 过程增量的下极限结果，讨论了 w i e n e r 过程滞后增量及增量的一般形式，也讨论了滞后形式的下极限结果及精 确收敛速度。将w i e n e r 过程增量在一定条件下推广到两参数w i e n e r 过程情形， 讨论了两参数w i e n e r 过程滞后增量及增量的一般形式。介绍了关于分数w i e n e r 过程增量的大小和连续模结果。开创性地研究了无穷维o m s t e i n u h l e n b e c k 过 程导出的过程，如部分和过程、无穷级数及f 2 模平方过程等的样本轨道性质。 2 0 世纪9 0 年代，除了进一步对w i e n e r 过程增量作深入讨论外，而且对各 种有实际背景的g a u s s 过程增量的上极限与下极限的研究去得了一系列完美的 成果。 关于w i e n 盯过程的增量，在区间【o ，r 】，长度为卿的子区间上，当r _ o o 时 增量有多大的首要结果和w i e n e r 过程的不可微分模定理由著名数学家c s 6 r g 6 m 和r c v c s z p 于1 9 7 9 年获得。本文是针对w i e n e r 过程下的l e v y 连续模定 理而得到的重要结论，首先，在增量区间上定义一种加权线性组合晶m ( 定义 2 1 2 ) ，然后，利用w i e n e r 过程的定义和性质以及其他一些已获得的定理，对 上述问题进行了研究，得到了关于w i e n e r 过程在加权线性组合下的l d v y 连续 模定理。 这些新的结论是对文献【3 】中的重要定理1 2 1 的推广和创新，给w i e n e r 过程增添了新的活力，对经济学、管理学、金融学等其他应用学科也有着积极 的推动作用。 2 安徽大学顾七学位论文第二章准备知识 第二章准备知识 弟一早 准亩刘以 2 1 一些记号和定义 r v ( q ，a ，p ) i n f 随机变量 概率测度空日j 下确界 l i m 极限 l i m l i m ( ，仃2 ) s p u 4 ，i d j 上极限 下极限 期望值为方差为盯2 的正态分布 属于或服从 上确界 属于无穷多个4 ，的点的集合 f i d 独立同分布 e x 随机变量x 的数学期望 k ? 随机变量x 的方差 定义2 1 1 几乎必然( 口j ) 收敛 设 x ，x ；栉1 是概率空间( q ，a ，p ) 上的，v 。如果存在集 么a ，p ( 一) = o ，4 a ，户( 爿) = o 使当国彳。时，考- l i m x 。( 功= x ( 国) ，则称 3 安徽大学硕十学位论文 等间距分段加权和的l 6 v y 连续模定理 x 。几乎必然收敛于x ，简称 x ( 0 8 ) 收敛于x ，记为x 。一x ，反盛。 定义2 1 2w i e n e r 过程： 若一个随机过程缈( 以吐 ) = 矿( r ) ，0 s t a 。 ，其中d - 0 q ，( q ，a ，p ) 是概率 空间，满足以下三个条件，则称为w i e n e r 过程： ( 1 ) w ( t ) 一形( ，) n ( 0 ，f s ) 对所有的0 s5 f o d 成立且r v ( o ) = 0 ； ( 2 ) w ( t ) 是独立增量过程，即w ( t 2 ) 一w ( t 1 ) ，w ( f 4 ) 一矿也) ， ( 如i ) 一形( 如- 1 ) 独立，对所有的o s f 2 f 4 妄乞- 1 0 使下面不等式成立： 乜酗 v q i c t 。磊 其中r 都是大于0 的，且0 x ) = r 去z 毛 f 去( + 爿z 乞 = f 去z 一乞+ f 去妒西 由分部积分可得= 去z ( 一沪 ：土f 2 ：蔗 7 窒堡奎兰堕兰丝堡塞 量堡堕坌垦! ! 壑塑竺! ! ：! 垄堡堡塞里 y i r 5 5 p ( 并 x ) = f 去2 1 t 毋 ， 2 f 去( 1 - 3 i - 4 ) z 一；办 = f 去z 一乞+ f 面1 ( 埘。) e ；击 由分步积分可得 = 面1z 一击e 母 = 去( 一专 z 2 面b 一7 j 引理2 2 7 ( e l 6 v y 重对数律) 若随机过程妒( r ；功= 9 ) ，0 ， 0 则有。 l t m l i r a ：! 丝型：l a s ；i = = = d = 一2 1s 7 4 。4 2 r l o g l o g t 证明参见文献 3 。 引理2 2 8 设 矿( f ) ，t o ) 是w i e n e r 过程，则对任意的x o 和t o 有下面 不等式成立 妒斗丢菩h 罂气啡x 降丢 万厅i j jl o 掣钉j 耳 证明参见文献 3 。 引理2 2 9 设 旷( r ) 。f o ) 是w i e n e r 过程，则对任意d 0 ，x o 和t o 有 下面不等式成立： 8 妒p 罂 阢一 证明由w i e n e r 过程的定义可知 e s ( 1 2 0 c r 2 = 刍 彳+ 吒2 + + = 寺 即 瓯护卜别 由引理2 2 6 可得 磐p k ( 珈斗 即 昙声p ) k 力畔妒 引理得证。 引理2 2 1 0 设( f ) ，t 0 ) 是w i e n e r 过程，则有下式成立 l 。i 。r a s u p s u p 、( 2 胁g 舯脚卅川归 勰 证明参见文献【3 1 引理2 工- t 鲁崦鲁 竽- 。g 石d ( h 。= n - r , t 1 p 。+ ) 矾首帆。币= 南以砉= ( 爿s 吃 然后考察：函数，= 号l o g 导o 专0 + ) 的单调性 口x 、 由于：罢= l 1 0 9 d l o g 州缎 9 安徽大学硕十学位论文 等问距分段加权和的l 6 v y 连续模定理 = 吉 1 。g d + ( 一l 。s x 一) 在上式中，l o g d o( d 2 1 ) ；由于工斗0 + ，所以我们 总可以找到一个使得一l o g x 一1 0 的一个最大的正数，那么介于0 和5 之间的x 都能使得一l o g x 一1 大于零。 所以：a y 0 戤 综上所述y ( 并斗。十) 是单调不减的。 再由“可知：l o g 鲁 竽l o g 石d 命题2 2 1 - l i r a n m 证明：由于： = l 这里吃如引理2 2 1 1 中所定义 , - r l o g 争 ( 玎+ 1 ) 一71 。生一 忆+ 1 丫 2 1 几刊 l o g d ( n + 1 ) rk g ( 熹) 7 l o g d ( n + 1 ) r 一面丽可 1 0 安徽大学硕十学位论文 第二章准各知识 警由予珏m f ! ! 生1 。：l ，所以要使结论成立，只要证 “开， = 0 就可以了。而这又因为： l i r a l o g l ：0 月一 门+ 1 “l i ml o g d 0 + 1 ) 1 0 二= = 所以 l i r a n 蛐 = 0 1 i r a l o g d ( + 1 ) 1 = ( d 1 ) 这样便证明了结论。 s r ! , 命题2 2 2 ： 半i - 1n ( o ，1 ) ，这里的 fl 、i 时州告+ 去) 一( 跏+ 噍+ 告) 一( 争铡 证明：由于 e 斗抖侧+ 怕翱一矽( 争等) 叫 形( 妄+ 廿矿( 册+ 砷睁寺) 一形( 争铡 = 0 。蚓斗寺) 删卜+ 矿( 矧一形( 争钏 丽 吨一鲥 r b m 忡 丽 崦一鲥 r b 安徽大学硕士学位论文 等间距分段加权和的l 6 v y 连续模定理 。q 磊+ 锡磊1 十+ i 1 ，1， = 寺喜班i 1 从而渤o n ( 。，赫所以 故 f 一 e i 耐暑i = 0 l悟一j 结论成立。 口n ( o , o r 一 d r j 刮 渤一岳 安徽大学硕士学位论文 第三章定理的证明 第三章定理的证明 3 1等间距分段加权和的l 6 v y 连续模定理 l 6 v y 连续模定理是研究维纳过程增量有多大的重要工具，它推动了维纳 过程下的强大数率和重对数率的发展。由l 6 v y 连续模定理可以进一步推广到 等间距分段加权和的情形之下，从而使l 6 v y 连续模定理成为我们如下结论的 一个推广。这个结论如下： 主要结 证明： 的墨，) 见定义2 1 3 ( 2 ) ( 3 ) 姗姗蚴埔姚蜥- ( 1 叫解m 捌有： p 抓占h 酬、h 昕7 。s ；) 吾唧 一措耘 蒋群静唯训锈笋秣 赢 塞燮查兰堡兰垡堡苎 兰塑里坌垦塑坚塑塑! ! ：! 垄竺堡塞矍 寺印幡刚一筠 c 。i 唧 ：塑 h 这里的c p ) 和矿定义为： 啦m 唧愕崦0 并 p n = l 籼扣心畦 搔拼怿p = c ( d ) ，l “ l ，从而由n 。“收敛而得到a 由b o r e l - - c a n t e l l i 引理可得： 1 4 、h1 略 l 一占 r 取 珊一 扣 d ，i c 。d | t 厂 r一 ，k 、， 安徽大学硕士学位论文 第三章定理的证阱 l + s 这是因为b o r e l - - c a n t e l l i 引理是这样的：( i ) 若p ( 4 ) o o 则 n = l p 鼻，幻j = o 容易知道：p 再由上述事件的对立事件知： 1 + s 1 + l ，i o 好甄商锤l i r a 芦, - - - - - - - - - - - - - - g 吾- - - - - l i m l + 占 = 0 由定理4 可得上式第一个不等式成立， 又因为风。是关于以单调不减的，而且我们已经证明了： l i r a 从而令占斗。便得到( 3 ) 式。 下面来证明： = 1 赢 南 l i ms u p 1 ：矿o g 丑一 ( 4 ) 下面首先束说明：当0 i 珂一1 时，墨。l 、之间相互独立。 l i - j 由引理2 中的墨。) 定义知： 油喝阮+ 去 一俐+ 一心+ 鲁) 一形( 争等) 当_ | = 耐， 岛。，、定义式中最后一个增量式为 l i 甜 矿( 警h 学 而当t = “肘， i ii 、定义式中第一个增量式为 吼学h 销 首尾不相交，再由维纳过程的定义可知暑。、( t = o l ，i ”玎一i ) 之间是相互独立 l i _ j 的。 从而由正态分白的尾概率不等式和引理2 1 3 可得： ni p 懈l o 一占) 厢 = 2 1 w o ) - o 一占) 阿 去 南一南卜”咖酬 p 帆) 占) 厢 矿1 丽1 面 从而； 尸帆) 占) 压网外丽丽l 利用鲁! q ( k = o ，i ，1 ”甩一1 ) 的独立性可得； b 一 喜p 矧气矧l ( 卜占， 舡赤南丁 南 从而 c x p - 万南 如x p 一丽面1j唧i 一万丽f 蜘一丽面 其中喜唧 一南擂赤 ：上上 d 智r l 从而得出； 扣 一南卜。 所以由b o r e l - - c a n t e i i i 引理可得： l i m i n fn l a x 目0 s s n l l乱s 这是因为b o r e l - - c a n t e l l i 引理是这样的，( i ) 若 p 4 ，i o ) = 0 所以 这里容易知： p 肛船蚓 c h ， 1 8 p 似) m ， 11 i ，幻 = 0 j j 则 安徽大学硕士学位论文 第三章定理的证明 p 卜 m a x 考虑对立事件，即得： 。l i m p 。面0 a ；，= ， 从而 l i m i n fm a x 月mo 啦s h 1 ( 1 一占) i ，j n f 其中4 = i 国：m a x l 。“一1 对于几乎所有的国q ，有： l i m i n fs u p “” o d 一! = 0 2 1a s l i mm a x 现在考虑：h n + i 厅 吃，并且令= 丢，我们有： 1 i r a s u p o a 岫 l i m s u p ”一m t 一告 d 注意( 6 ) 式右端的( i ) 式： 由( 5 ) 式可得： 而； l i r a s u p ”一m n 告 1 翱学 一“ 汁n r 坷 阿、 + -一， i旷丝d ，而卜 一州 形 卜 + 书 1 一十 川 盟 别 + s 、 、 彳_ 埘 安徽大学硕士学位论文第三章定理的证明 所以( 6 ) 式右端的( i ) 式大于等于1 。 ( 6 ) 式右端的( i i ) 式： 。t 。i 。m s u ps u p o ( j i 一一o q t n ( n + 1 )n ( n + 1 ) = 一l i m s u ps u p 一一- 雨d 俨t 莉d 由( 3 ) 式知： l i 。m s u ps u p 一孟可”t 丽d 而 i i m 所以( 6 ) 式右端的( i i ) 式为零。 从而： l i ms u p 1 ；r o g s ：g l 一 从而由( 3 ) 和( 4 ) 式得证定理成立。 3 2 一些注释和推论 注：容易由定理7 得到下面三个结论： 对任意的0 a 0 使得： i & 。埘l ( ，+ 占) ( 等。g 詈) i 对所有的。s ，和。 g 是成立 的。设_ l l ，也就是说： s u ps u p o g s i 一 o g r d o 1 + 占 这就推出了( 8 ) 式，进而证明了( 7 ) 式。 说明：这里的捌定义为： 气，。砷 安徼大学硕士学位论文第三章定理的证明 峄旧国) 川酬卜怕- 匆9 - ，m + 学，印) 推论1 ：l 6 v y 连续模定理是定理7 的一个特例。 证明：由于定理7 得到了完善的证明，那么l 6 v y 连续模定理可以作为定 理7 的一个推论，这是由于： 把定理7 簟，门定义中的d 取为1 ，则得到： s o , 一- - w ( , 0 一矿( j ) 然后再代入定理7 ，那么由( 1 ) 式就得到了 缎恶督刮 这正是l a v y 连续模定理。 安徽大学硕士学位论文 等问距分段加权和的l 6 v y 连续模定理 参考书目 【1 】王梓坤随机过程论，科学出版社，1 9 6 5 。 1 2 】复旦大学编，概率论( 第一册概率论基础) ，人民教育出版社，1 9 7 9 。 【3 】张节松，沈照煊w l e n e r 过程增量的尾概率估计的推广 安徽丈学学报增 刊( 自然科学版) 2 0 0 5 1 23 6 3 8 。 【4 】程士宏高等概率论北京大学出版社1 9 9 6 。 【5 】严士健，刘秀芳测度与概率北京师范大学出版社 1 9 9 4 。 【6 】林正炎，陆传荣，苏中根概率极限理论基础 高等教育出版1 9 9 98 7 8 9 。 【7 】陆传荣两参数w i e n e r 过程的增量有多小7数学学报 1 9 9 1 3 42 5 2 2 5 9 。 【8 】邵启满关于w i e n e r 过程增量的注记数学杂志1 9 8 661 7 5 1 8 2 。 9 】刘坤会一个与w i e n e r 过程增量连续模有关的下极限收敛速度的问题 中 国科学1 9 8 71 711 2 1 一1 1 2 9 。 【1 0 】孔繁超两参数w i e n e r 过程增量的若干结果应用概率统计1 9 8 731 4 4 一1 5 0 。 【1 1 】王梓坤概率论基础及其应用科学出版社1 9 7 6 。 【1 2 】c h e n g j ( 陈桂景) k o n g f ( 孔繁超) l i n z y ( 林正炎) a n s w e r s t os o l n e q u e s t i o n sa b o u ti n c r e m e n t so f aw i e n e rp r o c e s s a n n p r o b a b 1 9 8 61 41 2 5 2 1 2 5 6 【1 3 】c s 6 r 9 6 m ，r 6 v 6 s z ps t r o n ga p p r o x i m a t i o ni np r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s n e wy o r k ：a c a d e m i cp r e s s1 9 8 12 3 - - 3 8 。 【1 4 】c s 6 r 9 6 m ，r 6 v 6 s z p h o w b i ga r et h ei n c r e m e n t so f aw i e n e rp r o c e s s 7t h e a n n a l so f p r o b a b i l i t y1 9 7 97 7 3 1 - 7 3 7 。 【15 1c s 6 k i e ，c s d r 9 6 m ，l i n z ya n dr d v 6 s z po ni n f i n i t es e r i e so fi n d e p e n d e n t o r n s t e i n - u h l e n b e c kp r o c e s s e s s t o c h a s t i cp r o c e s sa p p l 3 92 5 4 4 a 【1 6 】c h u n g k l ac o u r s ei np r o b a b i l i t yt h e o r y a c a d e m i cp r e s s1 9 7 4 a 安徽大学硕士学位论文参考文献 嚣7 j l o 垂v c m op r o b a b i l i t yt h e o r y4 t he d i t i o nb e r l i ns 两n g e rv e r t a g1 9 7 8 。 【18 】c s t ，k i e r e v 6 s z ph o wb i gm u s tb et h ei n c r e m e n t so fw i e n e rp r o c e s s ? a c t a m a t h a c a d s c i h u n g a r 1 9 7 93 33 7 - 4 9 。 【t 9 1b o o k s a s h o r e t r o nl a r g ei n t e r v a l si nt h ec s 6 r 9 6 - r d v d s zt h e o r e mo n i n c r e m e n t so faw i e n e r p