（概率论与数理统计专业论文）随机条件下个人住房投资时机的最优停时分析.pdf

硕士学位论文 m a s t er ，st h e s i s 摘要 已有实物期权框架下房地产投资方面的研究长期以开发商为建模对象，很少 关注个人房地产投资者。而有关个人房地产投资者的建模中，只限于随机的房地产 价格和固定的租金，未考虑租金的随机性。本文考虑在租金随机条件下，对投资者 住房租赁或购置投资决策问题进行了建模，并用停时分析技术与动态规划方法求 解了这一基于实物期权的模型，明确了投资决策中应当考虑的期权价值，并给出了 最优停止决策的阀值及相关结论。但是以往的个人房地产投资者研究较多的强调 了最优的决策阀值，而较少的关注这一临界值的可达性问题( 首达时间与可达概 率) 考虑到阀值的可达性问题后，可能使得一些看似最优的时机选择也会因为等 待时间过长或根本就不能达到的原因而失去了指导投资的实际意义。对此，我们还 借助随机过程中的首达时间方法来研究阀值的可达性问题及相关结论，同时对给 出的结果做了比较静态分析，给出了数值结果，对指导投资有一定的实际意义 关键词：实物期权；个人住房投资；最优停时；动态规划 硕士学住论文 m a s t e r ，s t h e s i s a b s t r a c t t h ee x i s t i n gl i t e r a t u r e so fr e a le s t a t ei n v e s t m e n tu n d e rr e a lo p t i o n s f r a m e w o r k h a v eb e e nd r a w na t t e n t i o nt ot h em o d e l i n go ft h ed e v e l o p e r sb u tn o tv e r ym u c h f o c u s e do nt h ei n d i v i d u a lr e a le s t a t ei n v e s t m e n t f u r t h e r m o r e ，t h em o d e l i n go f t h ei n d i v i d u a lr e a le s t a t ei n v e s t m e n to n l yl i m i t e dt os t o c h a s t i cp r i c eo fr e a le s t a t e a n d i ) c e dr e n t ，n o tc o n s i d e r e dt h er e n tb e i n gs t o c h a s t i c t h i sp a p e rm o d e l st h e r e n t i n g - o r - b u y i n gp r o b l e mu n d e rt h es t o c h a s t i cc o n d i t i o no fr e n t ，a n ds o l v e st h e p r o b l e mt h r o u g hs t o p p i n gt i m ea n a l y s i sa n dd y n a m i cp r o g r a m m i n g ，a n dg i v e st h e c r i t i c a lv a l u eo fo p t i m a ls t o p p i n gd e c i s i o nw i t has e r i e so fc o n c l u s i o n sa n de x p l i c i t r u l eo fi n v e s t m e n t b u tt h ef o r m e rs t u d i e so fr e a le s t a t ei n v e s t m e n th a v ep a i dm u c h a t t e n t i o nt ot h eo p t i m a ld e c i s i o nt h r e s h o l dv a l u e ，w h i c hw e r et h ef i r s tp a s s a g et i m e a n dt h ep r o b a b i l i t yt op a s s a g et h ec r i t i c a lv a l u e ，a n dh a v ei g n o r e dt h ep a s s a g eo f t h r e s h o l dv a l u e c o n s i d e r i n gt h ep a s s a g eo ft h r e s h o l dv a l u e m a d es o m eo p t i m a l i n v e s t i n gt i m i n go p p o r t u n i t ys e e m i n g l yl e s tt h em e a n i n go fg u i l da c t u a li n v e s t m e n t ， t h er e a s o nf o rt h i sw a st h a tt h ew a i t i n gt i m ew a st o ol o n go rt h et h r e s h o l dv a l u e c o u l d n tb er e a c h e da ta 1 1 f o rt h i s w er e s e a r c ht h ep a s s a g eo fc r i t i c a lv a l u eb yt h e f i r s tp a s s a g et i m ea p p r o a c h ( f p t ) a n dt ov e r i f yt h ev a l i d i t yo ft h ei n v e s t m e n tr u l e i nt h ep r a c t i c a li n v e s t i n gd e c i s i o n s i m u l t a n e o u s l yw em a k eac o m p a a t i v es t a t i c a n a l y s i sa sw e l la ss e n s i b i l i t ya n a l y s i sa n dn u m e r i c a la n a l y s i sf o rt h er e s u l t a i ti s s i g u i f i c a t i v ep r a c t i c a l l yt oi n s t r u c ti n v e s t m e n t k e yw d r d s ：r e a lo p t i o n s ；d i v i d u a lr e a le s t a t e ；o p t i m a ls t o p p i n gt i m e ；d y n a m i c p r o g r a m m i n g i i 硕士学位论文 m a s t e r sn i e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工 作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：翼墨携 日期：弘刁年 月2 弘日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同 时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据 库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：孓霉论 作者签名：表* ，z 日期：弘田年f 月牛日 导师签名：么柞， 日期：a j 沣j 碉西、日 本人已经认真阅读“c a l l s 高校学位论文全文数据库发布章程”。同意将本人 的学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程” 中的规定享受相关权益。圆童途塞握奎厦溢蜃! 旦堂生i 旦= 生；旦三生叁盔。 作者签名：呈於 日期：弘司年歹月牛日 导师签名： 日期： 俩协 l j 月丛j 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 第一章绪论 1 1问题的提出与背景 目前，“实物期权( r o s ：r e a lo p t i o n s ) 的研究已成为房地产研究领域中 最富有成果的领域之一，它被广泛应用于房地产有关问题的研究之中 ”( y a v 髂，2 0 0 4 ) 其开创性的理论工作主要是由t i t m a n 与w i l l i a m s 等人做出 的t i t m a n ( 1 9 8 5 ) 利用二叉树期权定价模型，在离散时间背景下对土地价值进行 了平估；而w i l l i 锄s 则在连续时间背景下研究了房地产开发商的最优开发问题。此 外，c a p o z z a 和h e l s l e y ( 1 9 9 0 ，1 9 9 4 ) 、c l a r k 和r e e d ( 1 9 8 8 ) 、c a p o z z 痢l i ( 1 9 9 4 ) 、 g e l t n e r 等( 1 9 9 6 ) 、l e l s h m a n 等( 2 0 0 0 ) 以及g r e n a d i e r ( 1 9 9 5 ，2 0 0 3 ) 等也在这一 领域做出了重要的理论贡献。对r o s 框架下的理论工作予以实证支持的经典 文献是q u i g g ( 1 9 9 3 ) 贡献的。最近，类似的实证研究有g r e n a d i e r ( 2 0 0 2 ) 、b u - f a n 等( 2 0 0 3 ) 、s c h w a r t z 等( 2 0 0 3 ) 、k e v i ng i l l e n ( 2 0 0 2 ) 以及y a v a s ( 2 0 0 4 ) 等。然 而，遗憾的是这些理论与实证文献都是以房地产开发商为建模研究对象，他们都 忽视了对个人房地产投资问题的研究。有关对个人住房投资问题的研究目前仅限 于d o w n i n g 等( 2 0 0 1 ) 的文献，但他只研究了有关有房者改善住房的投资问题。 应当说r o s 框架下关于家庭或个人自然房地产投资的研究问题长期被文献所 忽视，然而由于个人投资与消费问题真正关系的是千家万户普通老百姓或中小投 资者的切身利益，所以关注他们的投资理性问题，使他们不至于被房市的高风险性 与不确定因素所捆扰，也许比更多地关注房地产开发商更具有很多研究的范畴与 实际意义，但我们主要关注的是个人或家庭是租赁还是购置的投资决策问题。即 如何在随机波动的房价和租金中把握好有利的投资时机以获得最小的期望支出问 题。这一投资问题主要由人们对新的住房的需求所导致。新的住房需求可能来自于 人们收入的提高，生活品位的提高，能给个人带来一个更好的居住、学习和生活环 境。 硕士学位论文 m a s t e r ，sn 怔s i s 1 2 本文研究的目的与意义 个人或家庭( 以下简称为投资者) 购置住房的目的无外乎投机需要、自住需 要、改若需要及保值增值需要四种。而自住需要事关普通老百姓的切身利益，所以 本文的研究对象着重于自住需要方面。对于满足自住需要的个人投资者而言，房产 的购置金额无疑是一个巨大的数字，房产的购置决策对价格非常敏感，做出这一决 策将直接关系到个人未来的生活质量。所以，是租赁还是购置己成为每一个迫切需 要解决居家需求的个人的重大决策问题。对于满足自住需要的个人来说，房产价格 和租金的随机波动时刻影响着投资决策时机当房价持续高位时，谨慎的投资者必 然会持币待购而通过租赁来满足安家之需；当房产价格下降到一定程度丽租金价 格保持相对稳定时，理性的个人必然会购置房产，做出停止决策( 转租为买) ；当房 产价格和租金都随机波动时，个人又该权衡租赁与购置的期望支出来做出投资决 策。 那么，当随机波动的房价和租金处于什么水平上时，投资者才会通过仔细权衡 租赁与购置的期望支出，把握好投资时机，理性而科学的做出转租为买的决策呢? 这正是本文所要研究和解决的问题。由于这一投资决策问题涉及的是广大普通置 业阶层的切身利益，所以本文的研究具有一定的现实意义。此外，房价近几年来迅 速上涨，而且居高不下，已远远超出了人们的预期与保留价位，甚至在一定程度上 超出了个人的承受能力，因而引起了全社会普遍关注。从这一角度讲，研究这一投 资问题无疑具有一定的社会学含义。 1 3 文献综述 考虑房市的随机性并对房地产有关问题进行研究属于实物期权的范畴。 从t i t m a n f 2 4 】和q 1 l i g g 【2 1 】的理论与实证工作以来，此后经过2 0 多年的发展，目前它 已成为房地产金融研究领域的一个主流分支，一些正在迅速增长的应用性研究业 已巨大的改变了研究人员对房地产投资决策的建模，并日益成为这一领域内最富 成果的研究范式之一c a p o z z a 和h e l s l e y 7 将t i t m a n 的工作拓展到了连续随机过程 的情形；1 9 8 8 年，c l a r k e 和m ! e d 【8 1 首次引入了房地产开发密度选择期权分析，并随 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 后为w i l l i a m s 等【2 6 】所拓展。2 0 0 0 年，l e l s h m a n 等 1 9 1 弥补了此前研究中长期对开发 商行为忽视的空白。最近k a w a g u e h i 1 8 ，g r e n a d i e r 1 3 ，s c h w a r t z 2 3 和b u l a n 4 等 人也有类似的研究。然而，以上大多研究均限于房地产开发商方面，忽视了对个人 或家庭房地产投资问题的研究。尽管d o w n m g 对此问题有所反映。但他们是在复合 实物期权框架下对有房者改善住房的建设投资问题进行了研究。类似的研究还有 蔡晓钰等。他们分别研究了房价随机波动条件下的出售策略以及考虑是租赁获益 还是出售获益的转换决策的时机问题与可达性问题。 1 9 7 3 年，b l a c k $ 1 ：i s c h o l e s 3 】发表了他们关于金融市场上期权定价方法的创造性 理论，同年，m e r t o n 2 0 1 教授发表了一篇关于期权定价的论文，这两篇论文奠定 了期权定价模型的理论基础。此后，学者们不断扩大对期权的研究范围。实物期 权的概念由m y e r s 在1 9 7 7 年发表的一篇文章中指出的，在该文章m y e r s 第一个提 及产品市场投资和金融市场投资的相似性，指出投资实物产品项目时，会存在 着“期校”，这种期税价值对于公司决策有着重大影响这种期权就是“实物期 权”。之后经过b r e n n a n 和s c h w a r t z ，m c d o n a l d 和s i e g e l ，t i m a n 等学者的发展，近 几十年来在项目投资领域引起了广泛的关注和大量的应用研究，形成对传统的 净现值( n p v ) 的重大改进。对不确定性环境下的投瓷决策的实物期权方法进行 了精辟阐述的比较经典的专著是d i ) ( i t 和p i n d y c l 【f 1 0 】在1 9 9 4 年出版的( i n v e s t m e n t u n d e ru n c e r t a i n t y ：以及n i g e o f 酶【2 5 】在1 9 9 6 年出版的r e a lo p t i o n s ：m a n a g e r i a l f l e x i b i l i t ya n ds t r a t e g yi nr e s o u r c ea l l o c a t i o n 。q u i g g 等人对实物期权作出了实 证研究，证实了实物期权文献中的预测。他们的研究主要是基于两个前提：对投资 机会的垄断以及市场是充满竞争，没有考虑不完全竞争环境下的投资决策的镶略 互动关系。 现在的市场环境越来越倾向不完全竞争，于是有很多学者开始突破这两 个前提条件的限制，开始新的研究，其中有将博弈与实物期权相结合的研 究。m a u n e r 和t r i a n t i s 将期权评价整合到公司的理财和投资决策中，通过数值模 拟进行动态的分析。实物期权中标的资产几乎全不是在近似连续的市场上，以 可观测的价格进行交易的。因此，寻找新的定价模型以实现包括非交易性和非 观测性标的资产在内的期权定价框架是实物期权定价理论研究的重点在这方 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 面，b e r n a d o 和l e d o i t 等学者发展了他们的方法以上关于实物期权方法的理论和 应用研究只是选择的列出。 关于布朗运动首达时间( f p t ) 的期望、概率密度、概率分布等问题的研 究文献主要有d i x i t 【9 】、i n g e r s o l l 1 5 、w i l m o t t 2 q 。在数学上深入研究首达时间 的文献有k a r a t z a s 和s h r e v e 1 6 ，h a r r i s o n 1 4 。k a r a t z 和s h r e v e 利用l a p l a c e 变换， 反射原理( m f l e c t i o np r i n d p l e ) 以及鞅理论( m a r t i n g a l et h e o r y ) 来研究首达时 间。k a r l i n 和t a y l o r 1 7 早在1 9 7 5 年就利用首达时间的概率密度，通过l a p l a c e 变换 求出投资阀值和期权价值。尽管所用方法不同于d i x i t 和p i n d y c k 的方法，但得到 的结果却是一致的。d i x i t 、p i n d y c k 及s o d a l 1 1 在研究一般的不确定下的投资分 析时，从首达时间的概念出发来分析投资决策，得到的结论与用相机权益分 析( c o n t i n g e n tc l a i m sa n l y s i s ) 以及动态规划( d y n a m i cp r o g r a m m i n g ) 所求得的结 果也是一致的。s 盯l a r f 2 2 】引入投资概率研究了市场不确定性和企业投资的关系 一般实物期权文献中关于二者关系的结论：不确定性的增加会阻碍企业的投资。 而s a r k a r 通过数字释例显示的结果：对一些低增长、低风险的项目，增加不确定性 可能会增加企业投资的概率。从以上文献的引用中可以看出，期权计算过程中常常 用到期望首达时间，用首达时闻方法对个人住房投资的时机选择傲最优停时分析 是很有意义的。 1 4本文的主要内容与安排 本文的主要目的是研究随机条件下个人住房投资时机的最优停时分析，着重考 虑在租金随机条件下，个人或家庭租赁或购置投资决策问题，以及停时分析技术与 动态规划方法的应用在给出模型中要用到的数学工具首达时间的相关结论 之后，利用随机过程中首达时间方法来研究模型中的决策阀值的可达性问题。内容 安排如下： 首先，对房地产投资的实物期权理论的研究进行回顾，得出实物期权是价值评 估与战略投资决策制度的重要方法。在具有高风险性，高不确定性与高不可逆性的 房地产投资中，实物期权作为金融期权理论在实物投资上的扩展是一种把金融市 4 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 场的规则引入企业内部战略投资的思维方法，是一种改善战略思维的有价值的工 具，它能够发现不确定的价值，较传统投资决策方法具有一定的优越性。 其次，考虑在房地产价格与租金都服从g b m 的条件下，对个人或家庭是租赁 还是购置的决策问题进行了建模。并运用停时分析技术和动态规划方法求解了这 一基于实物期权定价技术的模型，给出了最优停止决策的临界值公式，用首达时间 方法研究阀值的可达性问题，并对结论作了比较静态分析与数值模拟，明确了各参 数与临界值的关系及对最大期望节约支出的影响。 最后，给出全文的总结和展望。 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二章房地产投资的实物期权理论的研究回顾 2 ，1 基本假设 金融期权是指期权持有人在到期日以约定的价格执行期权的权利而非义务 类似的，r o s 恰是金融期权由金融资产的一种类推r o s 理论有三个关键性的假 设1 1 2 】：1 投资至少部分上不可逆；2 般资收益与成本不确定，均服从某随机演化 规律；3 投资时机具有柔性。其中不确定性是期权价值的基础。只有不确定性存在 时，r o s 才有价值；不可逆性强调一旦做出投资决策，沉没成本是不可能通过出售 资产而被完全收回，这与金融看涨期权的情形一致；而投资时机的柔性如延迟柔性 意味着投资者为或更多有利信息可推迟决策。总之，该理论明显的一个结论是预言 了投资与不确定性确凿的负关系，从而克服了传统新古典理论关于投资与不确定 性关系的模糊性，是对传统新古典理论关于不确定性与投资正相关命题的颠覆，具 有革命意义。 2 2 基本原理 由上面的假设可将r o s 与金融期权对等，所以r o s 的定价就可凭借金融期权的 定价思路进行：在风险中性的假设下，用资本市场上与投资项目有相同风险特征的 可交易证券与无风险债券的组合，来复制相应的r o s 收益特征然后在项目价值流 与成本流都服从随机游走( 离散) 或几何布朗运动( 连续) 的假设下导出r o s 的价 值演化p d e 并对之求解。 考虑房地产投资的r o s 理论的建模原理可发现：它一般是要寻找出一对收益 与成本流，并假定它们服从某分布( 离散) 或过程( 连续) ，并利用动态规划方法或 伊藤引理求出包含期权价值的微分方程，最后进行解析求解或数值模拟。 6 硕士学位论文 m a s t e r ，st h e s i s 2 3 理论研究总结 r o s 框架下的房地产投资理论研究的主要结果与思想精髓可被梳理为如下几 个方面： 2 3 1不确定性与期权价值 不确定性在传统房地产投资理论中是很麻烦的因素但房地产投资的r 0 s 理 论却恰恰构建于不确定性之上。它们之间的关系主要体现在：房地产价值的不确定 性会增加期权价值。 2 3 2不确定性与房地产投资 传统新古典投资理论对不确定性与投资关系的认识是模棱两可的。但r 0 8 理 论却准确地预言了二者确凿的负相关关系：较高的不确定性提高了等待期权的价 值，从i d 延迟了房地产的投资即当前投资被抑制。事实上r 0 s 框架下的房地产投资 模型研究的一个线索就是寻求不确定性与投资的关系 2 3 3房产价值构成与房地产投姿新规则 房地产投资决策的许多新方法都认识到等待更好( 但不完全) 信息的期权价 值因而期权应当被纳入到资产的评估之中。所以无论是空地，地产还是租约等， 其价值主要由投资成本与期权价值构成。正是这部分不确定的期权价值从根本上 改变了传统n p v 的决策规则；在现有基础资产( 如现房) 之价值超过执行价格加期 权价值之前，投资决策如土地开发投资是不会发生的。这表明只有当房价击中某一 临界值立即开发才是最优的，否则延迟开发是最优的。最后，不确定性的提高会增 大临界值水平 2 3 4 机会成本与房地产投资延迟 首先，延迟可以使开发商获得更多关于房地产价值的演化信息，因而等待开发 期权是有价值的；其次，由于房地产投资是不可逆的，这导致了房地产投资者谨慎 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 程度的增强。无论是等待价值还是不可逆，它们都凸现了立即投资具有较高的机会 成本。所以房地产价值的不确定性与不可逆性使土地持有者有激励延迟建设当 然，其它变量也会影响到延迟性。例如现有房地产价值的上升增大了开发的可能， 而执行价格的上升却为延迟提供了激励。 8 硕士学位论文 m a s t e r ，st h e s i s 第三章房产价格和租金随机条件下 个人投资者的决策分析 3 1 引言 几乎每一个刚工作不久的年轻朋友都有过租房的经历，当手头有了一点够付 首期买房款的储蓄后，很多年轻朋友就开始谋划置业安居了但是在当今房产价格 和租金随机波动状态下，该如何判断“租赁和购置哪个划算”呢? 在我们这个讨论中，房子既是供日常生活居住的消费品，也同时天生具有投资 品的特征。因此如果我们要给“租赁购置哪个更划算”来算一笔经济账，那么不妨 撇开各种主观因素，从一生租赁与转租为买的期望支出的角度，看看哪种投资策略 更有利。 3 2 模型的建立 3 2 1 问题提出与分析模型 考虑投资者当前通过租赁来满足居家需要，他需要根据随机变化的房价和租 金来确定是继续租赁还是转租为买。 假设房地产初始价格为局，动态价格p ( ) 服从如下几何布朗运动： d p = # p d t + a p d w ( 1 ) 其中，“是p 的漂移参数即p 的期望增长率，盯是尸的方差参数即p 的期望 增长率的标准差，而d w 是维纳过程的增量，服从均值为0 ，方差为d t 的正态分 布( d = 5 瓜，一n ( o ，1 ) ) 。 根据伊滕引理，可以得到房地产价格p ( t ) 的期望值为： e ( p ( t ) ) = p o ( 2 ) 9 硕士学位论文 m a s i e r ，s t h e s i s 考虑租金的随机性，设投资者所租房产的年租金率为p ，年租金记为r ，则租金 支出r ( t ) 为p p ( t ) 考查一生租赁与转租为买的期望支出，如果投资者只租不买，则 其生( 为方便计，设定时间为无穷) 的租金支出嵋以贴现率r 贴至现在为： = e o 。p p ( t ) e “d t = 蛊 ( 3 )= e“= 墨( 3 ) - p 如果记投资者继续保持租赁状态的决策为继续决策，而记停止租赁转而买入 的决策为停止决策，那么自然地，当房价击中某一外生的最优临界值p + 时，投资 者就会做出停止决策，在这一决策时机投资者的期望支付最小：否则，投资者会做 出继续决策。问题在于如何确定这一最优投资时机，这需要设定一外生变量声，它 表示在声处的停止决策至少是有利可图的，但并不一定是最优的( 最优的停止决策 是p ) 。如果再记房价首次击中声的时间为下，即首次可达时间，也是最优的执行时 间。则在声时，投资者停止决策的期望支出为k ，满足： k = e 冗p ) 一“d t 4 - ( 1 + o ) p ，g e 一”+ e c e 一“d t =笔一生一”+e)p，eej,一+ 譬肛” ( 4 ) r r r 其中r = m f t o l p ( t ) 声) ，e p , ( o 0 ( 口一0 5 a 2 ) ( b 一知) 0 一单 硕士学位论文 m a s t e r t st h e s i s 以及达到壁值b 的概率 f ( b l x o ) 磐。1( n o 5 盯2 ) ( b x o ) 0 f i b = i 1 ( d o 5 a 2 ) ( b x 0 ) 0 则对于形如( 1 ) 式的随机过程，其首次可达时间7 - 的密度函数可以表示为： 卵，：掣分掣 其中p ( p o ) 是p 要达到的临界值，= p 一0 5 a 2 。记p = l i l ( p p o ) ，则 当 0 ，则 在20 时，在有限时间内达到，否则各阶矩不存在 结论3 ( 可达性问题结论) ：p 不一定能在有限的时间内达到，p 能否达到取 决于的符号。若 0 ，则p - - 定能在有限时间达到，首次达到p i 的平均时间 是p ，方差是v a r ( r ) = p 铲矿；若卢7 0 ，则p + 有可能达到，且p 的首次可达 概率是( p i p o ) 磐一，但平均时间趋于无穷大。 结论3 表明，当房价变化过程的总体趋势是朝着p + 方向变化时( 即一0 5 a 2 0 ) ，则个人经过有限时间的等待之后，会做出转租为买的决策；否则，等待的时间 会趋于无穷，这时的投资决策原则变得没有实际的指导意义。因为没有哪个人愿意 在等待漫长的一段时间之后做出投资与否的决策。 3 3比较静态分析 比较静态分析方法是经济学研究中的一种特有方法，也叫比较静态均衡分析。 它是要说明当原有的条件发生变化时，原有的均衡状态会发生什么变化，并分析比 较新旧均衡状态。从它的分析形式来认识，其基本形式有两种，即图形形式和数学 分析形式。图形形式主要用曲线的变动来表示和反映外生变量或参数变化，然后考 察均衡状态的变化，并进行停时分析和比较；数学分析形式就是运用数学分析的工 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 具( 主要是微分学) 来考察参数变化对经济系统均衡的影响，通过数学分析，常常 能够确定由于一个或多个参数变化而引起的未知量变化的性质。 3 3 1临界值与各参数的关系 由于 p = 告i j c r 而= 告曩 岛= ；+ 戋一 ( ；+ 等) ：+ 鍪 o 容易知道p 是关于岛和p 的减函数，是关于目的增函数。又将岛代入p 中可以 得到： p = 两j2 而c r = 1 + 曩习蠡 - 莉c r 故p 与r 的关系不明确，可以用图形分析方法来分析他们的关系。图1 ( 以下模 拟参数c 均取为2 0 0 0 ) 直观的给出了一条p 与r 的模拟函数关系，可以着出是递增 临 界 值 与 期 权 价 值 万 0 0 1 0 0 2o 0 30 0 4 0 0 5 图1 利率与临界值和y 芙系模拟曲线 “= 0 0 1 ，= 0 1 5 ，口= 0 0 1 ，p = 0 0 5 ) 1 5 弱筋加坫m 5 o 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 2 ) 尸与盯的关系 由于岛关于方差导数为警= 一碧一号箦赣黟，正负 号判断不明确，所以用数值实验来寻找p 与盯之间的关系，图2 是二者关系的一条 模拟曲线。这条曲线反应了方差和临界值之间递减函数关系。 圉2 方差与临界值和y 。关系模拟曲线 ( p = 0 0 l ，= 0 1 5 ，口= 0 0 l ，p = 0 0 5 ) ；些丝：! o 从而p 是“的减函数。 根据以上分析可得如下静态分析结论： 结论4 ：临界值p 与参数盯，p 和p 呈负相关关系，与r ，g 日呈正相关关系 由式( 1 1 ) ，显然口与y 正相关，p ，c 和p 负相关，r 与v + 的正相关关系可由图1 得 出。但以p 的关系含在岛中，不容易发现它们与p 的关系，然而上面的数值实验表 明：口，p 与p 正相关。由此得到如下结论： 结论5 ：最大期望节约支出旷与参数r ，胁盯和目星正相关关系，与p ，c 呈负相关 关系。 1 6 ”m “挖加8 6 4 2 o 临界值与期权价值万v 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 3 3 2平均首次可达时间、可达概率与岛的关系 ( 1 ) 当期望增长率与方差参数满足= p ；矿 0 ， 母岛a p i ，忍届( 岛一1 ) ( p 一0 5 口2 ) 。v a e ( r ) 岛 一1 ，2 百矿雨2 丽了丽丽叼丽 结论6 ：定性关系墩小的岛( 意味者较大的临界值p ) 意味着较短的期望可 达时间；定量关系一e ( r ) 随岛变动的幅度由弹性5 如给出。 显然结论6 和我们的直觉是吻合的。换句话说，较大的p + 在平均意义上可以很 快地被达到。此外岛与e ( r ) 之间的正向变动关系也表明这样一个定性的结论：凡 使岛变小的参数都会减少平均等待时间，凡使岛变大的参数都会增大平均等待时 间。而且通过计算e ( 1 - ) 对岛的弹性，可以得到模型中其它参数对e ( r ) 的定量影响 关系由于方法都是类似的，这里给出总结性的结论，并举一例来说明定性关系和 定量关系的计算，其它参数与e ( r ) 的定性与定量关系可以类似得到 结论7 ：定量关系：r l ：j e ( ，) 间的变动关系为异向变动关系，即掣 铡棚的敏感性关系为r = 掣南= f 丽而南隔 证明：运用链式法则得到：掣； 口r o 和挚 0 。 口r 从而型 8 r 8 魄j 一8 隗j 根据9 式的全微分可以得到： 篆等+ 塑o r = 差筹一，= o鸺阶。a 岛a r 。 1 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 即 醌 1i 加 a q a &口2 岛一0 5 a 2 一p 从而f ( r ) 对柏9 弹性为 o e ( r ) r 岛21 芦丽 a e ( r ) 粥r a 国务e ( r ) o e ( r ) 岛辊r a 岛e ( r ) o r 岛 舶r 2 铂百。瓦 1 1r ( 矿2 岛一0 5 a 2 一p ) ( 岛一1 ) l n ( p r ) 恳 一p ( 岛一1 ) p + 0 s a 2 厦) l n ( p 昂) 最后一个等式用到岛是前面的二次方程( 9 ) 的根，即 ；岛( 岛- 1 ) 一施- - t - - - - 0 从而存 岛( 盯2 岛一0 5 0 2 一p ) = r + o 5 盯2 鹾 ( 2 ) 由结论3 知道，p 不一定能够达到p ，而是以概率( p p o ) 9 1 达到p ，此 时，首达时间r 不存在期望和方差。容易得到结论： 结论8 ：较小的侥的意味着较大的可达概率和较短的期望可达时间 这一结论意味着与初始位置较近的临界值有较大可达概率，这与直觉显然也 十分吻合。 1 8 硕士学位论文 m a s t er ，st h e s i s 第四章全文总结与展望 考虑到有关个人房地产投资者的建模研究中，只限于房地产价格的随机性 和租金的固定，而未考虑租金的随机性。所以，本文在房地产价格与租金都服 从g b m 的条件下，对个人或家庭是租赁还是购置的投资决策问题进行了建摸，并 运用停时分析技术与动态规划方法求解了这一基于实物期权定价的模型。运用随 机过程中的首达时间方法讨论了阀值的可达性问题，给出了停止决策的l l 缶界值公 式，并对结论做了比较静态分析与数值模拟，明确了各参数对临界值及期望节约支 出的影响。 当然，研究中也有很多问题没有展开。此研究可以拓展到融资投机房产的问 题、以租养房的问题、二手房交易问题等，这些研究无疑对于目前我国的金融实践 与个人投资实践具有重要意义，也具有紧迫性。还有，本文的模型假设或隐含假设 中暗含维护成本固定，中介市场监管规范等，将这些假设进行拓展必然是富有成果 的研究分支。例如，考虑成本的随机性，房产价格的噪声及各变量之间的相关性等 等都是富有理论与现实意义的研究切入点，关于这些问题的探讨将在后继的研究 中深入展开。此外，本文给出的都是含有参数的表达式，只提供了理论上的指导， 还可以根据房地产市场中价格的历史变化情况，得出相应的参数值，从而得出具体 的投资阀值与投资时机，这将是很有实际意义的。 1 9 硕士学位论文 m a s t er ，st h e s i s 参考文献 1 1 1 a m r s ma n dk u i n t i l a l m 著张维译实物期权：不确定环境下的战略投资管理机械工业 出版社，2 0 0 1 f 2 】a v i n a s hk d i x i t ，r o b e rs ，p i n d y e k 著朱勇等译：不确定条件下的投资，中国人民大学 出版社2 0 0 2 【3 】b l a c kfa n ds c h o o l e sm t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s j o u r n a lo f p o l i t i c a le c o n o m y , 1 9 7 3 ，8 1 ( 3 ) ：6 3 7 - 6 5 9 【4 lb u l a n ，l a e r n i ，m a y e r ，c h r i s t o p h e r ，t s u rs o m e r i v i l l e ，i r r e v e r s i b l ei n v e s t m e n t ，r e a lo p - t i o n sa n dc o p e t i t i n n s ：e v i d e n c eo fr e a le s e a t ed e v e l o p m e n t r 2 0 0 3 【5 】蔡晓钰，陈忠，蔡晓东等房地产投资的相机策略及其可达性：一个最优停时分析框架 j 】 数量经济技术经济研究，2 0 0 5 ，3 2 ( 3 ) ：8 8 - 9 6 6 】蔡晓钰，陈忠，韩丽川等个人房地产购置时机选择的最优停时分析【j j 系统工程，2 0 0 5 ， 2 3 ( 1 ) ：2 8 - 3 2 【7 lc a p o 盟adr ，l iy t h ei n t e n s i t ya n dt i m i n go fi n v e s t m e n t ：t h ec a s eo fl a n d 旧t h e a m e r i c a ne c o n o m i cp v l e w ，1 9 9 4 ，8 4 ( 4 ) ：8 8 9 - 9 0 3 【8 】c l a r k eh ，r e e dw as t o c h a s t i ca n y a l y s i so fl a n dd e v e l o p m e n t ，t i m i n ga n dp r o p e r t y e v a l u a t i o n j r e g i o n a ls c i e n c ea n du r b a ne c o n o m i e s ，1 9 9 8 ，1 8 ( 3 ) ：3 5 7 - 3 8 1 【9 】d i x i tak t h ea r to fs m o o t hp a s t i n g h a r w o o da c a d e m i cp u b l i s h e r s ，1 9 9 3 1 1 0 1 d i x i