（数学专业论文）具有变分结构偏微分方程的对称群与变分恒等式.pdf

摘要 变分恒等式在证明具有变分结构偏微分方程解的不存在性以及得到方程解的先 验估计时有着非常重要的作用，本文研究了一些具有变分结构偏微分方程的对称群 与其变分恒等式的关系主要有以下几方面的内容：在第一章中回顾了变分恒等式的 研究背景及发展状况。在第二章中对本文所使用的基本方法和技巧做了比较详细的介 绍在第兰章中主要会绍了本文的研究结果，首先说明了p u c c i 和s e r r i n 得到的广义 恒等式是n o e t h e r 定理中散度项的展开，然后通过计算偏微分算子方程的变分对称群 或散度对称群再根据n o e t h e r 定理构造了各类变分恒等式在第四章中计算了一些偏 微分算子方程的对称群，变分对称群以及散度对称群在第五章中介绍了本文所得到 的结果在一些具体方程中的应用在附录中通过本文得到的变分恒等式介绍了构造解 的不存在区域为非星型区域的方法 关键词；变分恒等式；对称群；n o e t h e r 定理；解的不存在性；非星型区域 i a b s t r a c t v 甜i a t i o n a li d e n t i t yp l a yai m p o r t a n tr o l et op r o v en o n e x i s t e n c ea n dg e tp r i o r e s t i m a t eo fs o l u t i o n ，i nt h i st h e s i s ，w es t u d yf o l l o w i n gp a r t so nt h er e l a t i o n s h i po f s y m m e t r yg r o u po fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hv a r i a t i o n a ls t r u c t u r ea n dt h e v a r i a t i o n a li d e n t i t y i nc h a p t e r1 ，w er e v i e wt h eb a c k g r o u n da n dt h eh i s t o r i c a lf a c t s o fv a r i a t i o n a li d e n t i t y i nc h a p t e r2 ，t h ef o u n d a t i o nm e t h o di si n t r o d u c e di nd e t a i l 。 i nc h a p t e r3 ，w eh a v ep r o v e dt h a tt h ep u c c ia n ds e r r i n sg e n e r a li d e n t i t yi sa s p e c i a l n o e t h e r si d e n t i t ya n dg e tv a r i o u si d e n t i t yb yc o m p u t i n gt h es y m m e t r yg r o u po f e q u a t i o n i nc h a p t e r4 ，w ec o m p u t et h es y m m e t r yg r o u p ，v a r i a t i o n a ls y m m e t r yg r o u p ， d i v e r g e n c es y m m e t r yg r o u po fs o m eo p e r a t o re q u a t i o n a ss o m ea p p l i c a t i o nw eo b t a i n v a r i o u si d e n t i t yo fe q u a t i o ni nc h a p t e r5 。i nt h ea p p e n d i xw eg e tt h em e t h o d so f c o n s t r u c tn o n s t a r s h a p e dd o m a i n k e y w o r d s ：v a r i a t i o n a li d e n t i t y ；s y m m e t r yg r o u p ；n o e t h e r st h e o r e m ；n o n e x - i s t e n c eo fs o l u t i o n ；n o n - s t a r s h a p e dd o m a i n 1 i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阕。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：，塑! ! 指导教师签名： 2 扣嘴年5 月p 日2 。p 年( 月扩日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特掰加以标注和致谢的地方外，奉论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书面 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何赏献均已在论文孛作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：詈霉- 厶崎年名月p e l 西北大学硬士学位论文 第一章引言 自从1 9 4 0 年r e l l i c h 在文【1 j 中讨论方程- - a u = a 钍特征值用边界0 n 上曲面 积分表示时得到并证明当札g 1 ( 囝) nc 2 ( n ) ，札2 时成立着等式 厶【面0 u 和，d 社) 一丁i d u l 2 1 如= z u ( 。，。) 一n - z2 1 d u l 2 】出 ( 1 1 ) 其中表示a n 上的单位外法向量 此后，1 9 6 5 年p o h o z a e v 在文【2 】中研究半线性椭圆型方程d i r i c h l e t 闻题 一缸= ，( 札) ；u 础( q ) n c 2 ( q )( 1 2 ) 盼解时发现恒等式即p o h o z a e v 恒等式 厶l 1 2 ( 窖，砷如= z 2 绍f ( u ) 一( n 一2 ) 酊( 蝴如 ( 1 渤 其中f ( u ) = 片厂( t ) 出，利用这个恒等式证明了当( n 一2 ) u f ( u ) 一2 n f ( u ) 0 且区域 为有界星形区域( 即嚣一f 兰0 ) 时，该问题没有非平凡解显然p o h o z a e v 恒等式实际 上是r e l l i c h 的恒等式的变形和推广，后来人们把类似的变分等式称为r e l l i c h 型恒 等式或p o h o z a e v 型恒等式 1 9 8 3 年b r e z i s 和n i r e n b e r g 在文f 3 1 中研究了方程 一札= 旷+ a “，霉q 钍 0 ，o n 也= 0 o 0 q 1 4 ) 其中qcr n ( n 3 ) 为有界光滑区域，a 为常数作者剥用p o h o z a e v 恒等式得 到：当p = 暑笺，a o 且q 为有界星形区域时该方程无解，当p 熹写，a a + ( q ，p ) ( a ( q ，p ) 为依赖q 和p 的正常数) 时，该方程也无解 1 9 8 5 年沈尧天祁邓耀华在文【4 1 中建立了双调和方的齐次d i r i c h l e t 问题建立了 p o h o z a e v 恒等式，1 9 8 6 年邓、沈、张、顼在文 5 】中对多重调和方程的d i r i c h l e t 阿题 和另一种边值问题建立了同样的恒等式并证明了双重调和方程的n a v i e r 问题 一2 乱= ，( 缸) ，z n ( 1 5 ) l 钍( 。) = a u ( x ) = 0 ，石a o 1 西北大学硕士学位论文 的光精解的不稃在性 1 9 8 6 年p p u c c i 和j s e r r i n ，在文 6 】中将变分恒等式推广到一般拟线性e u l e r 方程 1 警仕一d 地( x , u , d u ) l 艇n ( 1 6 ) l 让( 茁) = 0 ，茹a n 得到广义变分恒等式 厶f f ( x , o , d u ) 一i = 1 堡0 x ；n 。( 删，跏) 】( 丸吲幽 =n f ( x , u , d u ) 舭九+ 喜乜知m 。珏卜羞 、两o u 面o h ，+ 珏面o a ) ( 1 - 7 ) ( 。幽训一n 匹i - - 差( ) + 讽( )】出-1 x , u , d ux , u , d u 其中h = ( h a ( x ) ， 竹( 茁) ) ，a = n ( 霉) 同时他们也得到高阶方程及方程组的广义变分恒等式，稍后徐海洋在【7 】中也独 立的建立了同样的恒等式 1 9 9 0 年n iv c e i m i n g 在文f 8 】中考虑了一般的半线性椭圆方程 通过将方程( 1 8 ) 两端阍乘以( 石d u ) 然后在q 上分部积分得到 ( 1 8 ) 乙i d 训2 ( z ) d s = 2 礼jr(j j卫，u ) 出一( n 一2 ) 上牡，( 。，) 出+ 2j 厶( 霉b z ) ) 如( 圭9 ) f pp a ni ，nn 其中f ( u ) = 嚣l ( t ) d t ， 随后，j a n n e l i 和f e r r e r o 分别在文同 1 0 l 中研究了半线性椭翻问题 f 也一嗨讣阳邺刨 ( 1 1 0 ) l “( 霉) = 0 ，$ a n c ： l欢砸 一 扛茁 ，钒 = | 1 血 一 位 ，lll 露北大学硬士学位论文 其中q 辩，n 3 是包含原点的边界光滑区域，2 + = 墨是h o b ( n ) - 口( q ) 的 临界s o b 。k 指标，。弘 万：( n 丁- 2 ) 2 作者利用恒等式( 1 7 ) 证明当且为有界星 形区域时方程( 1 1 0 ) 没有非平凡解 2 0 0 0 年g h o u s s o u b 和y u a n 在文【1 1 】中研究了以下问题 卜一p 箐一枷叫 曩 l 让( 茁) = o ，z a q 其中a 和p 是实参数，n 是r n 中包含原点的有界光滑区域，2 聿( s ) 一墼n 型- - 2 是 s o b 。l e p h a | r d y 临界指数，当s = o 时，2 ( o ) = 害戛是s 。b 。l e v 临界指数作者利 用等式( 1 1 0 ) 证明了当 0 ，且q 是r 竹中包含原点的有界星形区域时方程没有 非平凡解+ 卜q 珧 - z u + g h “l z p t 塾雕n 扯1 2 ) 其中 和弘是实参数，i 1 2 是r ，中包含原点的有界光滑区域，0 s p n ，他们得 到变分恒等式 ( 1 - ；1 ) 厶附岫刊罕一孚) 点丛i x l 。、, 如- - 州罟一字) 加d x ( 1 _ 1 3 ) 并利用此恒等式证明了如果q 是r n 中包含原点的有界星形区域且在双临界条件 r = 矿，q = p ( s ) = 兰二下，方程( 1 ，1 2 ) 没有非乎凡解 继以上作者都讨论的光滑解的不存在性之后，对s o b o l e v 空间中的解也得到了广 泛的研究，相应的鳃的不存在性结果也相继出现沈尧天河马汝念在文【1 2 】对无界区 域上二阶拟线性椭圆方程在w 2 扩1 中的解建立了p o h o z a e v 恒等式讨论了解的不存 在性，其中p 一1 = 等_ = 在沈尧天和芏天威的文 1 3 中对超临界指数增长拟 线性椭圆方程的弱解建立了p o h o z a e v 恒等式1 9 8 9 年，m g u e d d a 耜l v e r o n 在文 3 西= 匕大学硕士学位论文 1 4 】中研究了p l i m p l a c e 方程 皂- d i v ( i d u p - ：d u ) 吖一鲫 ( 1 | 1 4 ) t 牡( g ) 吼。勰 j 印 得到变分恒等式 ( 1 - 石1 ) 厶i 肌州嚣d 如= 与孑上“，( 钍) 如+ 蜉z f ( 缸) 如( 1 1 5 ) 作者利用僵等式( 1 1 5 ) 得到以下一些解酶不存在结果。 ( 1 ) 如果，( 缸) = m 扩k ，当l p 礼，口p 一1 # 皆，且q 即为 星形区域时，方程没有w 吾伊( q ) 中的非平凡懈，这里的p + = 竹n p 口是嵌入硪( q ) - p ( n ) 的临界s o b o l e v 指标 ( 2 ) 如果，( 乱) = l 锚i p 吨旺，当1 p 吼且n r n 为星形区域盹方程没有 晰巾( q ) 中的非平凡解 ( 3 ) 如果，( 乱) = m 矿q 钍+ a | 缸l p 一，当 0 ，1 p 礼，且q 为星形区域 时，方程没有孵廖( q ) 中的非平凡勰， ( 4 ) 如果，( “) 亲 鼍擎十，y 孽( u ) 新扯) 是r 上的连续函数且满足1 ( 礼g ( u ) 一 鼍叼( 牡) ) 0 ，这里g ( “) = 嚣g ( u ) ，当l p 盹，且n 为星形区域时 方程 没有嚼p ( q ) 中的非平凡解 除椭圆型方程外其他一些方程的变分恒等式也相继被得到 1 9 9 2 年g a r o f a l o 等在文 1 5 】中得到h e i s e n b e r g 群上半线性方程 耳”+ ，( 仳) = o ，茹d ( 1 1 6 ) 【髓( 卫) = 0 ，茹o d 的变分恒等式， l l v 缸1 2 ( xt 扩) 如= f 2 q f ( 钍) 一( 。一2 ) 婶，( “) d z d t( 1 1 7 ) 其中0 = 2 n + 2 ，d ，x = ( z ，y ，2 t ) ，f ( o ) = 0 ，如果，是局部l i p s c h i t z 连续函 数，当x p 0 ，2 q f ( u ) 一( q 一2 ) 钮，( 就) 0 时方程没有茁c 2 ( d ) 中的非负解此 4 西北大学硕士学位论文 外1 9 9 8 年张吉慧和罗学波在丈【1 6 】中及1 9 9 9 年n i u p e n g c h e n g 在文f 17 】中褥到更 一般的半线性方程以及方程组的变分恒等式 1 9 9 7 年c l e m e n t 和v o r s t 在文 1 8 1 中考虑了无穷维哈密顿系统 i 一魄一a v = l 档p 一1 珏，( 茹，亡) q r 舷ue-a细u-随i)ip-，i：钉tt “0 篙耋基r 扯坶 l 珏( z ，) = 掣( 霉，) = ，( z ，亡) a n r 、。 l m | i r a 瓤( 1 ，z ) 2t 羔钉( 亡，。) = o ，。n 得到变分恒等式 一上z n ( 舅嘉- v n ) d s d 譬= 上上【( 帆一带m i p q - 14 - ( 硫一篇m q + l 】批 ( 1 1 9 ) 、， 其中a + b = 1 ，为掰l 的外法向量利用这个恒等式可得到方程( l 王8 ) 解的不存在 性 上面在讨论解的的不存在性时要求区域为星形区域。对于解的不存在性区域为非 星形区域的问题也得到了广泛的研究+ 2 0 0 0 年d a n c e r ，z h a n g 在文1 1 9 】中对星形区 域进行了扰动定义了一个s 星形区域，讨论了一些方程在这种区域上非平凡解的不存 在条件 2 0 0 5 年m o g o u g h 等在文 2 0 1 中分析了p u c c i - s e r r i n 恒等式对星形区域进行了 一系列扰动，构造了不存在性非星形区域文 2 1 】作者通过定义严格泛函变分子对称， 终出了半线性多重调和方程的变分恒等式以及当区域为共形收缩区域时解的唯一性 面星形区域是保形收缩区域的特殊情形文 2 2 2 9 】都曾建立过类似的恒等式讨论 过各种变分问题的非平凡解的不存在性。 5 西北大学硕士学位论文 第= 章预备知识 在这一部分我们将给出偏微分方程( 组) 变分以及李群算子与其扩张的基本记 号、定义、性质此外为了使函数、向量场，泛函等的偏导数存在我们假设他们都是 充分光滑的 2 。1 常用符号 却：= ( 钍z 1 ，：) u m ( x l ，) ) 表示多元函数 婶：= 筹，噶：一丽0 2 u a ，。扩= 吼铲：= ( 筹，篆，篆) 分别表示光 滑函数氍扛) 的第a 个分量珏d ( 茁) 的偏导数及梯度 缸( 正) 表示光滑函数让( 茁) 的从0 阶到k 阶的全体偏导数 型o v ：( 肌n p ) 表示函数铲( 茁) e 1 ( 竭的边界a n 外法向导数，p 为单位 外法向量。 皿：= 丢+ “ 杀+ u 漏+ + 蛾，小痂菇毒三+ 表示全导算子，设有 泛函l ( ，乱( 詹) ) 则 d t l 。- - 差州嚣+ 嗡鸶+ - 州m “砾o l d i v f ( x ，珏) ：= ( 觋9 ) 表示p 重光滑向量i i i 数f ( 为“) = ( 芒1 扛，程) ，善2 扣，缸) ，p ( 卫，u ) 的全散度 玩：= 等( 删，毒= 杀一喀怕岛鑫+ + ( _ 1 ) 峨巩跣彘+ 表示e u h 算子e = ( e 1 ，铲，扩) 的第8 个分萤，其中j = 协， ) ，l 靠礼，七0 j i u ：= 矗l ( 。，0 岛) ) 出巍录e u l e r - l a g r a n g e 方程甄( 厶) = 0 ，a = 1 ，m 相应 的变分泛函 此外本文中我们采用e i n s t e i n 记号，舞p 指标重复出现表示自动求和 6 2 。2 基本定义及引理 足义1 棒微分算子 y = ，锰) 蔷+ 护( 郴) 杀 为单参群变换群 嚣誊= 澎4 ( z ，铭，) ，锤事一链雄( 鬈，鼋毒，s ) 的无穷小生成子，其中8 为参数 ( 础) = 警b 她班豢b ( 2 1 ) ( 2 。2 ) ( 2 3 ) 给寇一个变换( 2 2 ) 通过( 2 3 ) 可计算得到p 和妒，相反给定施，u 氇，譬和俨贝l j 变换 群( 2 。2 ) 被系统 筹( 州) ，豢= 帅掌) | 。铷一苁，矿| ：0 - - 矿 的唯一解确定，所以变换( 2 2 ) 与无群小生成子簟等价。无穷小生成予v 的老阶扩 张矽( 奄) 矿定义如下： 矿帆= 喏十旦o u + 旌蜘毒t + 缘k 老 其中 程1 旺= 皿妒一( 职) 哆，i 一1 ，2 ， 秘：东。= d i 。鹾：鼍一，一( 皿；) 垅谤蠢； ( 2 4 ) 这里i t = 1 ，2 ，礼，l = 2 ，3 ，庇，k = 2 ，3 ， 定义2 设向量场y = g ( 鬈，铭) 去+ 妒( 髫，) 丽0 为作用在m cq r 上群g 的无穷小生成子，称g 为e u l e r - l a g r a n g e ：y 翟i l 甄( 己) ：端丽o l 一趿嚣+ 皿岛两o l + + ( 一1 ) 觑，魄蕊蓑：= 。( 2 5 ) 7 西北大学硕士学位论文 玟= 1 ，纨的对称群当且仅当 p r ( 秘y ( 玩) l e a ( l ) ：o 一0 ，q 一1 ，m 定义3 作用在掰cq r 上群g 称为变分泛函 j m ：一l ( z ，饥( 茁) ) 妇 轮 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 的变分对称群，如果q 满足孬cq ，钍= f ( x ) 是定义在q 上的光滑函数且( ，( z ) ) c m , g g 使得蠢篇氕习= g ，( 习是定义在西cq 的单值函数则 z 三( 霹舒的( 习) 掂一上己( 双牡俸( 鬈) ) 如 ( 2 8 ) 引理1 如果g 是变分泛函t j r m ：= 厶l ( x ，珏( 蠹) ( z ) ) 如的变分对称群，那么g 也是其e u l e r - l a g r a n g e 方程e ( l ) 一0 的对称群。 引瑾2 作用在mcq r 上群g 称为交分泛函 j u 】：一己( z ，札( z ) ) 如 的变分对称群当且仅当 p r ( 七) y ( 己) + l d i v ( = 0( 2 9 ) 对所有( g ，狂是) ) 掰( 奄) 及每个g 的无穷小生成子 y = 文g ，珏) 去+ 妒( g ，牡) 杀 ( 2 1 0 ) 都成立。 定义建作用在mcq r 上群g 的向量场 y ( ) 去坩( 删) 杀 ( 2 1 1 ) 称为变分泛函 删：= z m ，珏( 圳如 的散度对称群如果存在函数b ( x ，u ( 奄) ) = ( b i ，玩) 使得 p r ( 是) y ( ) + l d i v 荨一d i v b( 2 1 2 ) 8 西北大学硕士学位论文 对所有( z ，让) m 及都成立 如果b = 0 ，那么y 是变分对称，即变分对张是散度对称的特殊情形， 引理3 如果群g 是变分p 2 i 虽t ，m ：= 矗l ( z ，0 七) ( z ) ) d 。的变分对张群，那么 g 也是其e u l e r l a g r a n g e 方程的对称群 注记t由于计算e u l e r - l a g r a n g e 方程的对称群要较计算其对应的泛函变分对 称群容易，故本引理给出了一个计算变分对称群的方法，即先计算e u l e r - l a g r a n g e 方 程的对称群然后代入( 2 9 ) 式加以验证满足( 2 9 ) 式的对称群即为对应泛函的变分对 称群 引理4 i n o e t h e r 定瑚如果群g 是变分泛函j m ：= 矗上，( 韶，t ( 詹) ( 嚣) ) 出的变分 对称群，设 y = p ( 茁，就) 羞+ 母q ( 。，戳) 赤 ( 2 1 3 ) 是g 的无穷小生成子并且设 固n 缸，缸) = 札一乎材 蟮= 篙 粥存在p 嚣仇) ) = ( 最，) = - ( a + 硝= - ( a i ，a ) + 吲 d i v p = 0 e ( l ) = q n 玩( l )( 2 1 4 ) 成立，等式( 2 1 4 ) 称为n o e t h e r 等式 证明t由变分对称群的定义直接计算 0 = p r ( 七) 矿( l ) + l d i v = p r ( 七( 三) + p 毋上+ 三鼠 = p r ( 知( l ) + d i v ( l f ) 这里 p r ( k ) ( 二卜“d j q 砺o l = 驴( _ d j ) 器伽a 西北大学硕士学位论文 其中 综上有 = q e ( l ) + d i v a 0 = q - e ( l ) + d i v ( a + 联) ( 2 1 5 ) 地嚼川。r ，蒜圣1 + ( 珏，吼) f 羞笔+ ( 一1 ) 扣2 皿。皿。皿蕊磊o l 】( 2 1 6 ) + 1 + ( 巩一巩 ) 武l 引理5 如果向量场y 和是变分泛函j m ：= 矗l ( z ，札f 膏) ( z ) ) 如的变分对称 群或是e u l e r - l a g r a n g e 方程e ( l ) = 0 的对称群，那么李括号硼或线性组合也是 分泛函j m ：= 矗三( 茹，“( 七) ( z ) ) 如的变分对称群或是e u l e r - l a g r a a g e 方程e ( l ) = 0 的对称群 引理6 h o p f 引瑚设l u = 一t 咄+ 舻；0 ，l 在n 中是一致椭圆 t = l = l 型的，若存在一点z o 脚，使得乱( 扩) u ( x ，譬n ) 且q 在z o 点满足内部球条件， 那么釜( 一) 0 ，其中p 为点茁。的外怯向 1 0 a缸d 十酲 a0 哇删 | l 西北大学硕士学位论文 第三章主要结果及证明 在这一部分将讨论变换群、对称群与变分恒等式的关系，由于计算的复杂性本部 分考虑以下几种特殊变分泛函的情形 3 1 = 阶方程组k = 1 的情形 此时变分泛函j m ：= 厶己( z ，u ( 詹) ( z ) ) 出为 j m = l ( z ，缸( 嚣) ，d 牡( 髫) ) 妇，z q r ，u ：q r ， ( 3 1 ) 对应的e u l e r - l a g r a n g e 方程为 甄( 己) = - d i v l d u a 扛，铭，d u ) + l u a ( x ，珏，d u ) ，茁乏q ( 3 2 ) 其中= ( 器，崔肌a = 瓦o l 。1 , ，m 3 1 1 变换群生成子y 一( z ，锚) 毫+ 妒( ，) 杀为任意的情形 定理l 设y = ( 。，牡) 矗+ 妒( 髫，锃) 丽0 为作用在mcq r 上的变换 群无穷小生成子，若u a 皤( 孬) n 萨( q ) 为e u l e r - l a g r a n g e 方程( 3 2 ) 的解，这里 p ，护c 1 ( q r ) i = 1 ，他且护( z ，0 ) 一0 ，位一1 ，m 则以下等式成立 厶o d 钍) 一篙( 则，驯堋幽 = 7 陋如，铭，d u ) d i v 荨+ 邑玩。( 髫，珏，d u ) ( 3 3 ) 一( 象器一差) 玩盏( 彩，牡，d 铭) + 矿谨( z ，嚣，。铭) 】如 其中= l ，( z ) 表示a q 上的单位外法向量 证明：当k = 1 时n o e t h e r 等式( 2 1 4 ) 中 虢( 鬈，珏) 一九一莓衅 露北大学硕士学位论文 母= 矿嚣m 一哼嚣 n o e t h e r 等式d i v p q e ( l ) 一q a 现( 厶) 变为 d i v ( l 善+ ( 矿一毒) 己执。) 拳一( 妒一专蹿) 【一d 妇毛抛n + 厶a 】 ( 3 4 ) 由于y = 护( 茹，钍) 矗+ 妒( z ，铭) 丽0 并不要求是变分泛函歹醐= 厶毛。，链( 茹) ，。嚣( 髫) ) 如 的变分对称群，因此n o e t h e r 公式( 3 4 ) 式不一定成立但我们仅考虑( 3 4 ) 式的左端， 直接计算得 d i v ( l 毒+ ( 矿一舻让窘) 己d “a ) = 丽o & 硒o l + 护玩a + 己。蜮w k 一誓篝筹 ( 3 5 ) 上式两端积分由散度定理与甄( l ) = - d i v l o ，, a ( z ，t ，d u ) ) + l a ( 鬈，珏，n u ) ) = 0 得 厶阶 0 驯一篙( 邶胁嫩】幽 粼陋( z ，d u ) d i v 毒+ 三戥p ，缸，d u ) ，q 一( 丝o x l 堕o x i 一老) k ( x , u , d u ) + 犯( 删，。u ) 】如l 当墓( 名，u ) = ( 鬈) ，妒( z ，私) 一8 ( 嚣) 珏a 时即可得下列广义变分恒等式 推论l p u c c i ，s e r r i n 】若扩铝( 砭) nc 2 ( q ) 为e u l e r - l a g r a n g e 方程( 3 2 ) 的鳃， 则有下列等式成立 z q o ，d 妒箐( z ，o 驯( 伽) 】幽 = 7 陋( 茹，程，d u ) d i v h + 勉k 扛，牲，d u ) 一( 砉甏+ 珏a 瓦0 a ) 厶嚷( 掣，删一a 【篙沁( 删，圳+ u a 厶出，缸，驯1 如 其中扩= p ( z ) 表示o n 上的单位外法向量。l 1 2 西北大学硕士学位论文 3 1 2 变换群生成子y = f ( z ，u ) 去+ 护( z ，u ) 而0 为方程变分对称群的情形 定理2 设y = 9 ( z ，u ) 茜+ 护( z ，u ) 丽0 为作用在m cq r 上变分泛函 ，m = 厶三( z ，u ( z ) ，d 让( z ) ) 如的变分对称群无穷小生成子，且存在f ( z ，似) ，孔u _ t q 。= f 。，q = l ，m ，使得e u l e r l a g r a n g e 方程玩( t | ) = f 口( z ，让) 成立，那么方程 既( u ) = 厂q ( z ，u ) 的任意光滑解都满足下列等式 旷己工k a + ( 己一f ) 一( d u q ) 三d 。a l 己，d _ s ( 3 6 ) + 护，n + ( d i v ) f + 4 瓦】出= 0 其中= ( z ) 表示a q 上的单位外法向量 证明； 由于y = 钗z ，u ) 差+ 妒( z ，u ) 杀为是变分泛函j m = 厶l ( z ，u ( z ) ，砒( z ) ) 如 的变分对称群无穷小生成子故满足n o e t h e r 等式( 2 1 4 ) ，在n o e t h e r 等式两端积分 。= 上q 倒l ) + d i v ( a + l 莓) d x = 【( 矿一f 嵋) 既( l ) + d i v ( l + ( 妒一f 谚) l d n ) 】如 j n = 【( 。一专t 乒) ，。+ d i v ( l f + ( 矿一 ) 二d 。a ) j c 妇 ，0 = 【扩厂n + ( d i 口) f 十擘见。+ d 细( 护l d 。- t - ( l f ) j n ( 3 7 ) 一( d 矿) l d 。n ) 】出 利用散度定理即可得恒等式 咖。l d u n + ( 工一f ) 一( d u “) l 珧a 】u d s + 【口，a + ( d i 钉f ) f + f r 。】d 2 = o - 用同样的方法我们可以得到下面的定理 定理3 设y = p ( z ，乱) 矗+ 护( z ，缸) 杀为作用在mc q r 上变分泛函 1 3 西北大学硬士学位论文 【锃】= 厶艺( 鬈，髓( 髫) ，移珏( 髫) ) 如的散度对称群无穷小生成子，且存在f 扛，越) ，筹一 广，一1 ，m ，使得e u l e r - l a g r a n g e 方程鼠( 瓤) 一产0 ，让) 成立，那么方程 鼠( 能) 一广p ，钍) 的任意光滑解都满足下列等式 【c a l d u a + ( 上，一f ) 一( d u a ) l o u a b 】v d s ( 3 8 ) j 8 q ， + n ，n + ( d i v 毒) f + 乎疋。】妇黜0 其中= 扛) 表示蒯2 上的单位外法向量 推论2 设v = e ( 。，钍) 羔+ 妒扛，铭) 去为作用在mc q r 上交分 0 = 1 ”“4 谯= 1 o ” 泛函了湖= 如l ( x ，铭( 髫) ，d u ( x ) ) d x 的变分对称群无穷小生成子，且存在f ( x ，钍) ，使 得 方程局(u)一瓦ofeuler-lagrange2 ，易( t ) 一2 筹l 成立，那么e u l e r - l a g r a n g e ：y 蓑i l 得 方程局( u ) 2 瓦2 ，易( t ) 2 凯1 成立，那么 任意光滑勰都满足下列等式 厶f 三2 妒n + 荨( 玉一f ) 塞。矿) 幻嗣池 ( 3 9 ) + 筹+ 筹+ ( d i v 莓) f 胁。 其中= ( z ) 表示a q 上的单位外法向量 证明； 将妨( 嚣) = 筹，e 2 ( 嚣) = 丽o f 代入定理2 中( 3 7 ) 式有 。= z 耋f ( 矿一f ) 甄( q + 。切( 联+ ( 护一醒) 厶。牡圳如 瑞小i ) 筹w 世；) 筹删咄+ 耋眇脚捌如 黜z 1 筹+ 丽o f 十( d 雠) f + 她； + 拢钉( 圣m d u a + 舢。) 三( 汕矿) a ) 】如 西北大学硕士学位论文 利用散度定理即霹得恒等式 厶f 萎2 矿n + 嫩一f ) 一三2 ( 脚) 五脚h 幽 + 筹+ 丽o f 邶獗卅慨】如一。l 定理4 设y = p ( 茗，始) 去+ 妒。，锚) 杀为作用在m cq r 上变分泛函 ，m = 矗l ( x ，牡( 名) ，d u ( x ) ) d x 的散度对称群无穷小生成子，员g 有守恒律 d i v ( l f + ( 妒一g 霹) 乞踟a ) 一0 ，当鼠( 私) 一。时 ( 3 1 0 ) 证明：直接由n o e t h e r 等式得到 1 3 1 3 具有变分结构发展方程的变分恒等式 考虑变分泛爨 l ，m ：一 乞 ，z ，u ( t ，z ) ，d u ( t ，z ) ) 如斑， ，z ) q r ，q r n ，u ：q r _ f p ( 3 。1 1 ) 对应的e u l e r - l a g r a n g e 方程为 e o ( l ) = 一d i v l d u a ( z ，u ，d u ) 一现厶“+ 也4 ( z ，让，d u ) ，( t ，z ) q r ( 3 1 2 ) 其中l 龇a = ( 鼍，砭o l ) ，玩a = 面o l ，q = 1 ，m 定理5 设y = ( t ，髫，锃) 去+ 霹( z ，2 ，铭) 差+ 妒( ，搿，钍) 杀为作用在m c r q r 上变分泛函j ( u 】一矗rl ( t ，茹，珏( 毒，霉) ，d u ( t ，x ) ) d x d t 的变分对称群无 穷小生成乎，且存在f 俄2 ，也) ，磊o f ：尸，0 f = ，m ，使得e u l e r - l a l u l e r - a g r a n g e 方程 穷小生成乎，且存在f ( 季，2 ，也) ，丽2 尸，0 f = ，m ，使得 方程 玩( 缸) = 尸( 舌，z ，铭) 成立，那么方程& ( 铭) = 尸( ，髫，锃) 的任意光滑解都满足下列等 式 7 妙艺d 泸+ 善( 二一f ) 一d 铲+ y u ) l d u a 】u d s ( 3 1 3 ) a n 西北大学硕士学位论文 + 7f 妒，a + p 妇善+ d t y ) f + 擘最；+ n f d d z + 丢上旷k + 犯一f ) 一( 莓肌a + 税) k 】如= o 其中扩= 扩( z ) 表示a q 上的单位外法向量 证明： 由于y = g ( t ，z ，) 去+ ，7 ( t ，z ，u ) 爰+ 护( 亡，牡) 否0 是变分泛函j f u j 的变分对称群无穷小生成子敖满足n o e t h e r 等式( 2 1 4 ) ，在n o e t h e r 等式两端在q 上积分 0 一q e ( l ) + d i v ( a + 联) 如 拦八( 咖口一擘碍一，7 ) 取( 乞) + d i v ( l 喜+ ( 矿一f 醒一叼“) 厶挑a ) + d t ( l v l + ( 矿一一弘) 玩。) 】如 一 【( 扩一枣堞一r l u ) f n d i v ( l + ( 护一擘u 窘一叼孔宇) l d 俨) ( 3 1 4 ) + d t ( 乞町+ ( 护一f u 7 一r l u ) l u 。) 】如 = 纵妒，谯( d 蚀+ d d l ) f + p 咒；+ 露弱 + d i v ( 妒a l d “n + 专( 厶一f ) 一惩d 扩+ 7 1 u 宇) l o “n ) 】出 利裙散度定理即可得恒等式 【a l d u a + f ( l f ) 一缱d u a + r l u ) l d u “】u d s + 【扩，乜+ ( d 主秽善+ d d i ) f + 足。+ v f d d z + 爰上【矿k + 叼( l - f ) 一( 善。n 十，7 u ) 厶牡 】妇黧。 i 推论3 设y 竺i 壹= 1 乎丢，髫，嚣) 去+ 雒( 妻，舅，链) 磊0 + 量2 妒( 量，髫，嚣) 杀为作用在 mcr q r 上变分泛函l j r m = 矗r l ( t ，髫，钆( t ，z ) ，d u ( t ，。) ) d z a t 的变分对称群无 穷小生成子，且存在f ( 圣，髫，珏) ，使得蹦融l 蜉敞g e 方程筋( 嚣) 一筹，岛如) 一筹 1 6 西北大学硕士学位论文 成立，那么e u l e r - l a g r a n g e 方程任意光滑解都满足下列等式 厶【圣2 矿三嬲+ 船一妁一三2 ( 。矿+ 群) 脚】础( 3 1 5 ) + 嚣+ 扩望o u l 邶咐d t 妒+ 乎黾+ 唰妇 十爰z 至2 旷k + 犯一f ) 一三2 尻穗+ 弘) k 】如= 。 其中扩= y ( 名) 表示a q 上的单位外法向量 证明， 将西( 弘) = 丽o f ，岛( u ) = 丽o f 代入定理5 中( 3 1 4 ) 式郢可得证。l 3 。2 高阶方程m = l 的情形 此时变分泛函j 闯：= 屁l ( x ，髓是( 露) ) 出为 歹m = 7 五( 茹，嚣( 知( 鬈) ) 如，。q r ，毫毒：q r ( 3 1 6 ) j q 对应的e u l e r - l a g r a n g e 方程为 e ( 聊拳莩( 一。) 面o l 拳丽o l 一段警+ d ；d ，僦o l i + + ( 一1 ) 知皿t 甄。甄缸瓦磊o l 忑2 。 ( 3 1 7 ) 3 2 1 变换群生成子y 瑞戤瓦0 + 伽；未为任意的情形 定理6 设y = 去+ a 锚熹为作用在m cq r 上的变换群无穷小生成予， 若让诺一1 ( 动nc k ( s ) 为e u l e r - l a g r a n g e 方程( 3 2 ) 的解，这里a 是常数，则以下 等式成立 “( 磐，o ，嚣( 埘) 一娥，洲蠢玩1 i 2 t k ( 茹，0 ，私蠢) ( 茹) 】如 ，a n ：厂_ 。戤k 一僦瓦一( 8 + 1 ) 锄。 ( 3 1 8 ) j n 1 7 西北大学硕士学位论文 ( 8 + 南) 魄l 沙壤) k l 铲) 如 其中一p ( z ) 表示掰2 上的单位外法向量 证明：当m = 1 时n o e t h e r 等式( 2 1 4 ) 中 q ( x ，铭) = a r t 一戤 如瑞( 伽一蛳【薏+ ( 一1 ) 杠1 耽。阮髓瓦磊o l 】 + 【( n 一1 ) u t l 一讹t ，勋】【瓦o l i + ( 一1 ) 蠡一2 功。b 。吼瓦i o 磊l 】 + + 【一( 惫一1 ) u i l i k _ l - - u l i l i 七_ l 】孬嚣i o 磊l 类似于定理1 的证明，由于v x h - 。 z - +熹并不要求是变分泛函j m 一_ a u u x i u t 矗l ( x ，让( 鸯) ( z ) ) 如的变分对称群，因此n o e t h e r 公式( 3 。4 ) 式不一定成立但我们仅考 虑( 3 4 ) 式的左端，积分( 3 4 ) 式的左端代入e ( u ) = 0 及珏l o f t = d ul o f t - 一嚣 d k - 1 ul a q 一0 由散度定理直接计算得 f nd 幻( 一p ) 如= f n d 泌( 占露+ a ) 如 一l r l ( - , 0 ，u c k ) ) 一铭硝。鲰玩小2 。( 茹，0 ，铲) 扛功】蠢 ( 3 1 9 ) l ， l 。上( 褥五+ x l x t 一鲋厶一弛+ 1 ) t 糍 ( 3 2 0 ) 一( 8 + 是) 毫壤，2 甄) 三镶，如) 如i 3 。2 。2 变换群生成子矿一p ( z ，铭) 差+ ( 菇，珏) 熹为方程变分对称群的情形 定理7 设y = 擘( 留，铭) 去+ ( 茁，嚣) 蕊0 为作用在材cn r 上变分泛蠡上 j u l - f n l ( x , u ( 知) ( 。) ) 如的变换群无穷小生成子，旦存在函数f ( g ，狂) ，瓦o f 一，( 髫，弘) 7 ( c + ( d i v ) f + 圮；) 如= 7k l f ) + 卅t , d s ( 3 2 1 ) j n j o i 2 1 8 西= l 匕大学硕士学位论文 其中 如 = q 【薏+ ( 一1 ) 扣1 d t ，d 。d t 瓦磊o 磊l 】 + ( 觑，q 一僦o l ，；+ ( 一1 ) 七一2 耽。耽。d i 知一，瓦瓦o 磊l 】( 3 2 2 ) + 一+ ( 见，巩d i q ) 去 q ( x ，赶) = 一p 魄；，= 扩和) 表示施上盼单位外法向量i 证明；e h = ev f ( z