第四章-滤波器的设计

第四章滤波器的设计,4.1有限脉冲响应滤波器基础,FIR（有限脉冲响应）滤波器是非递归滤波器由于不依赖以前的输出，所以非递归滤波器的脉冲响应为有限项。,4.1有限脉冲响应滤波器基础,FIR滤波器的z变换表达示通过z变换的时移特性得到：可得到滤波器在z域的传输函数：,4.1有限脉冲响应滤波器基础,通常通过离散时间傅立叶变换求出滤波器频率响应的幅度可确定滤波器形状,4.2论滑动平均滤波器,以五项滑动平均滤波器例设计，此滤波器的差分方程为：脉冲响应为：传输函数为：,4.2论滑动平均滤波器,频率响应为：,4.2论滑动平均滤波器,例1设计滑动平均滤波器，要求他的-3dB频率为480Hz，采样频率为10kHz。解：数字滤波器-3dB点在480Hz处，采样频率为10kHz。也就是数字频率,4.2论滑动平均滤波器,对于M项滑动平均滤波器，2/M处出现第一个零点。-3dB点大约出现在此频率的一半处，即/M。因为-3dB点要在0.302弧度处，所以可以确定M：得：M=10.4,4.2论滑动平均滤波器,因此，十一项滑动平均滤波器的-3dB频率比要求的稍低些。滤波器脉冲响应为：差分方程为：,4.2论滑动平均滤波器,4.3逼近理想低通滤波器,对于n=0时，将脉冲响应表示为sinc函数，定义：,4.3逼近理想低通滤波器,4.3逼近理想低通滤波器,其中sinc(0)=1，并且在x=n(n0)时，函数为零。这样理想低通滤波器得脉冲响应可表示为：,4.3逼近理想低通滤波器,是滤波器得截止频率下图得滤波器得截止频率为：,4.3逼近理想低通滤波器,4.3逼近理想低通滤波器,设计时的选择必须大于所要求的通带边缘频率,4.3逼近理想低通滤波器,参数p定义了通带波纹：滤波器通带内偏离单位增益的最大值通带边缘增益定义为1-p参数s定义了阻带波纹：滤波器阻带内偏离零增益的最大值阻带边缘处，滤波器增益为s过渡带宽度就是阻带和通带边缘之间的距离（Hz）过渡带宽度=阻带边缘频率通带边缘频率,4.3逼近理想低通滤波器,4.3逼近理想低通滤波器,例2对下图所示的低通滤波器，确定通带波纹、通带边缘频率、阻带波纹、阻带边缘频率、过渡带宽度、带宽、-3dB或截止频率。,4.3逼近理想低通滤波器,4.4窗函数,窗函数的作用是从理想低通脉冲响应的无限个采样点中选取有限个采样点，这个重要的步骤使脉冲响应采样值可实现为一个实际滤波器,4.4.1矩形窗,矩形窗函数由理想脉冲响应与有限长矩形窗相乘得到：N项矩形窗为其他处为零,4.4.1矩形窗,4.4.1矩形窗,4.4.1矩形窗,4.4.2汉宁窗,长度为N的汉宁窗定义为：其他处为零,4.4.2汉宁窗,4.4.2汉宁窗,4.4.3哈明窗,长度为N的哈明窗定义为：其他处为零,4.4.3哈明窗,4.4.3哈明窗,4.4.4布莱克曼窗,长度为N的布莱克曼窗定义为：其他处为零,4.4.4布莱克曼窗,4.4.4布莱克曼窗,4.4.5凯塞窗,长度为N的凯塞窗定义为：其他处为零I0(x)是零阶修正第一类贝塞尔函数,定义为:A所期望的阻带衰减值,4.4.5凯塞窗,4.4.5凯塞窗,4.5低通FIR滤波器的设计,窗函数法设计滤波器时，低通滤波器通带边缘频率1的选择必须考虑到所有项引起的模。,4.5低通FIR滤波器的设计,4.5低通FIR滤波器的设计,4.5低通FIR滤波器的设计,例3要求滤波器阻带衰减为75dB，过渡带宽度为1kHz。采样频率为16kHz。选择什么窗函数，长度为多少？,4.5低通FIR滤波器的设计,解由表可知有两个窗函数最符合阻带要求，即布莱克曼和=8的凯塞窗。布莱克曼窗需要的项数为：=8的凯塞窗需要的项数为：,4.5低通FIR滤波器的设计,注：如果向上近似，滤波器性能略高于设计要求；如果向下近似，滤波器性能将低于设计要求,4.5.1低通FIR滤波器设计步骤,加窗低通FIR滤波器的设计步骤：1、在过渡带宽度的中间，选择通带边缘频率（Hz）2、计算1=2f1/fs，并将此值代入理想低通滤波器的脉冲响应h1n中：,4.5.1低通FIR滤波器设计步骤,3、从表中选择满足阻带衰减及其他滤波器要求的窗函数，用表中N的公式计算所需窗的非零项数目。选择奇函数，计算窗函数n4、对于，从式计算脉冲响应，对于其他n值hn=0，此脉冲响应是非因果的将脉冲响应右移(N-1)/2,确保第一个非零值在n=0处,使此低通滤波器为因果,4.5.1低通FIR滤波器设计步骤,例4根据下列指标设计低通滤波器通带边缘频率2kHz阻带边缘频率3kHz阻带衰减40dB采样频率10kHz,4.5.1低通FIR滤波器设计步骤,解第一步:计算过渡带宽度过渡带宽度=3000-2000=1000Hz第二步:,4.5.1低通FIR滤波器设计步骤,第三步,选择窗函数.因为阻带衰减40dB,在表中选择汉宁窗,并且:选择N=33.窗函数变成:其中,4.5.1低通FIR滤波器设计步骤,第四步计算滤波器的脉冲响应,并移位,4.5.1低通FIR滤波器设计步骤,4.5.1低通FIR滤波器设计步骤,例5根据下列指标设计低通滤波器通带边缘频率10kHz阻带边缘频率22kHz阻带衰减75dB采样频率50kHz,4.5.1低通FIR滤波器设计步骤,解第一步,计算过渡带宽度过渡带宽度=22000-10000=12000Hz第二步.,4.5.1低通FIR滤波器设计步骤,第三步,选择窗函数.因为阻带衰减75dB,在表中选择布莱克曼窗(可以避免复杂的计算),并且:选择N=25.窗函数变成:其中,4.5.1低通FIR滤波器设计步骤,第四步计算滤波器的脉冲响应,并移位,4.5.1低通FIR滤波器设计步骤,4.6带通和高通FIR滤波器,带通和高通滤波器可以先设计低通滤波器,再进行频率移位来获得待求的滤波器.,4.6带通和高通FIR滤波器,4.6带通和高通FIR滤波器,4.6带通和高通FIR滤波器,由低通滤波器转换为高通或带通滤波器,低通滤波器的脉冲响应必须与余弦函数相乘:得到:0为双边滤波器形状的待求中心频率,4.6带通和高通FIR滤波器,低通滤波器的设计过程做两个修改1、在第三步和第四步之间，数字频率f0是待求滤波器的中心频率对于带通滤波器,这个频率将介于0到fs/2之间对于高通滤波器,此中心频率应等于奈奎肆特界限fs/2,4.6带通和高通FIR滤波器,2、第四步中必须包含因子这时高通滤波器的脉冲响应为:,4.6带通和高通FIR滤波器,例6为采样频率22kHz的系统设计FIR带通滤波器,带通滤波器如图所示,中心频率4kHz,带通边缘在3.5和4.5kHz处.过渡带宽度500Hz,阻带衰减50dB,4.6带通和高通FIR滤波器,4.6带通和高通FIR滤波器,解:由于采样频率为22kHz,所以只画出0到11kHz这段频率.带通滤波器的通带边缘频率为3.5和4.5kHz,中心4kHz,所以低通滤波器的通带边缘必须在500Hz.由于带通滤波器过渡带宽度为500Hz,所以低通滤波器的过渡带宽度也为500Hz,得通带边缘频率和等效数字频率为:,4.6带通和高通FIR滤波器,脉冲响应为,4.6带通和高通FIR滤波器,查表知,所需得阻带衰减要求用哈明窗:最近奇整数为N=151,所以窗函数为:,4.6带通和高通FIR滤波器,因为带通滤波器得中心频率要求为4kHz,故余弦函数得中心频率0,必须位于最后脉冲响应下式得:,4.6带通和高通FIR滤波器,4.6带通和高通FIR滤波器,例7需要一个通带边缘8kHz,阻带边缘为6kHz得高通滤波器,阻带增益至少比带通增益低40dB.采样频率为22kHz,设计滤波器并给出他得脉冲响应,4.6带通和高通FIR滤波器,4.6带通和高通FIR滤波器,设计第一步是求出高通滤波器得低通等效。高通滤波器得中心频率f0选在1/2采样频率处,即11kHz.高通滤波器的通带处在8kHz到11kHz之间.过渡带宽度为8-6=2kHz,所以低通滤波器的通带边缘在3kHz,阻带边缘在5kHz,4.6带通和高通FIR滤波器,低通滤波器通带边缘频率及相应得数字频率为脉冲响应为,4.6带通和高通FIR滤波器,查表知,所需得阻带衰减要求用汉宁窗:最近奇整数为N=37,所以窗函数为:,4.6带通和高通FIR滤波器,因为带通滤波器得中心频率要求为11kHz,故余弦函数得中心频率0,必须位于最后脉冲响应下式得:,4.6带通和高通FIR滤波器,4.7带阻FIR滤波器,带阻滤波器抑制了一个范围得频率，而其他部分可以通过.设计方法:正确选择通带边缘频率,通过把低通和高通滤波器结合起来,来构造出带阻滤波器,4.7带阻FIR滤波器,4.7带阻FIR滤波器,两种滤波器的脉冲响应h低n和h高n,4.7带阻FIR滤波器,总传输函数为滤波器的脉冲响应为,4.8无限脉冲响应滤波器基础,4.8无限脉冲响应滤波器基础,例8求递归滤波器的脉冲响应解：用hn代替yn,n代替xn,则得到脉冲响应:,4.8无限脉冲响应滤波器基础,递归滤波器的传输函数假定NM,且每项乘以zN,有:,4.9低通模拟滤波器,在连续域中,滤波器用s表示而不用z表示.简单的低通模拟滤波器的传输函数为:模拟滤波器的频率响应为:幅度响应为,4.9低通模拟滤波器,若很大,趋于0;很小,就趋近于1.若=1,等于,4.9低通模拟滤波器,可以改变传输函数使-3dB频率变为不是=1,而是其他频率对这个模拟传输函数进行傅立叶变换为:,4.9低通模拟滤波器,幅度为:这仍然是一个低通滤波器.但-3dB的频率在,4.9低通模拟滤波器,4.9低通模拟滤波器,通常模拟滤波器包括巴特沃斯、切比雪夫型、切比雪夫型和椭圆滤波器等。区别:巴特沃斯滤波器在通带和阻带都单调的,意味着他们在一个方向上平滑变化;切比雪夫型在阻带内是单调的,但在通带内是有波纹的切比雪夫型滤波器在通带内是单调的,但在阻带内是波纹的椭圆滤波器在通带和阻带内都有波纹,4.9.1双线性变换,双线性变换为模拟滤波器和数字滤波器之间的转换提供了一种方法,定义:fs是采样频率,用ej代替z,4.9.1双线性变换,运用欧拉等式进一步简化为:,4.9.1双线性变换,带回原式,s变为j,然后将j消去.得:此方程称为预扭曲方程注意模拟频率和数字频率的范围,4.9.1双线性变换,4.9.1双线性变换,例:9下列习题说明这样把z域复平面上的点通过双线性变换映射到s域复平面上a、进行双线性变换,4.9.1双线性变换,b、z=0进行双线性变换C、z=2+j进行双线性变换,4.9.1双线性变换,例10一阶模拟低通滤波器的传输函数滤波器的-3dB频率是2000弧度/秒(或2000/2=318.31Hz).求出此滤波器相对应的数字滤波器的传输函数H(z),采样率为1500Hz,4.9.1双线性变换,解模拟域原传输函数H(s)为:滤波器形状为,4.9.1双线性变换,要设计的数字滤波器必须与该模拟滤波器相匹配.采样频率1500Hz,双线性变换要求模拟传输函数中的每个s都要用来代替.数字域的传输函数为:,4.9.1双线性变换,滤波器的频率响应为:,4.9.1双线性变换,4.9.1双线性变换,例11模拟传输函数所表示的简单模拟低通滤波器要转换为数字滤波器,数字滤波器的-3dB频率为318.3Hz,采样频率为1500Hz.求数字滤波器的传输函数和频率响应表达示.解:-3dB频率fp1=318.3Hz,采样频率1500Hz,数字截止频率为:,4.9.1双线性变换,考虑到双线性变换的扭曲,预扭曲模拟频率:用这个频率代替未扭曲的原型模拟滤波器的传输函数为:,4.9.1双线性变换,用双线性变换,转换为数字滤波器，得到传输函数:该扭曲的数字滤波器的频率响应为:,4.9.1双线性变换,4.9.1双线性变换,例12在例11中,预扭曲的模拟滤波器转换成1500Hz采样系统的数字滤波器.用预扭曲的模拟滤波器形状表达示求出数字滤波器的形状解模拟滤波器的形状为,4.9.1双线性变换,将连同1500Hz的采样频率代入模拟滤波器形状表达示,得到数字滤波器形状:,4.10.1巴特沃斯滤波器设计,传输函数为:特性为:这是一阶的巴特沃斯滤波器.,4.10.1巴特沃斯滤波器设计,n阶的巴特沃斯滤波器的滤波器形状为:该滤波器具有低通特性,而且阶数越高，他的滚降越陡峭.,4.10.1巴特沃斯滤波器设计,4.10.1巴特沃斯滤波器设计,4.10.1巴特沃斯滤波器设计,4.10.1巴特沃斯滤波器设计,滤波器设计通带从选择满足要求的模拟滤波器阶数开始,对于n阶模拟巴特沃斯滤波器,满足通带和阻带设计要求所需的阶数为:是模拟滤波器预扭曲的通带边缘频率,是模拟滤波器预扭曲的阻带边缘频率,4.10.1巴特沃斯滤波器设计,传输函数为:,4.10.1巴特沃斯滤波器设计,低通巴特沃斯滤波器的设计步骤:1、确定待求通带边缘频率、待求阻带边缘频率和待求阻带衰减,通带边缘频率必须对应-3dB2、用式把由Hz表示的待求边缘频率转换成由弧度表示的数字频率和3、计算预扭曲模拟频率以避免双线性变换带来的失真。由求得和,单位弧度/秒,4.10.1巴特沃斯滤波器设计,4、由已定得阻带衰减确定阻带边缘增益5、用下式计算所需滤波器的阶数:,4.10.1巴特沃斯滤波器设计,6、把代入n阶模拟巴特沃斯滤波器传输函数H(s)中,并对H(s)进行双线性变换得到n阶数字传输函数H(z).滤波器实现所需的差分方程可直接从传输函数H(z)求出,把代入:即可得到滤波器形状,4.10.1巴特沃斯滤波器设