（数学专业论文）美式期权定价的几种数值解法.pdf

摘要 期权是人们为了规避市场风险而设计出来的一种金融衍生工具期权定价是金融 衍生工具理论研究和实际应用的核心期权定价理论是目前金融工程、金融数学研究的 前沿和热点问题美式期权可以提前执行，在实践中具有更大的灵活性一般情况下， 美式期权价格却没有精确的解析定价公式，因此研究美式期权定价问题的数值解法具 有重要的意义 本文研究了美式期权定价问题的几种数值解法，主要内容如下t 第一章简要介绍了期权知识、美式期权定价问题模型与美式期权价格的性质，以及 美式期权定价问题数值解的研究现状 第二章用紧差分方法求解美式期权定价问题从抛物型方程自由边界问题出发，首 先对问题进行变量变换，转换为抛物型初边值问题，再进行紧有限差分，并给出了差分 格式的稳定性证明，然后给出数值求解的具体算法最后进行数值实验，并与二叉树、 p s o r 、有限元数值方法进行比较，证明算法是非常高效和收敛的 第三章用记忆梯度投影方法求解美式期权定价问题首先把线性互补问题转换为 变分不等式问题，并进行变量变换，然后给出变分不等式问题的等价极值问题，用记忆 梯度投影算法进行求解最后进行数值实验，并与二叉树、p s o r 数值方法进行比较，证 明算法是非常高效和收敛的 第四章借鉴有限元方法求解美式期权定价问题首先把线性互补问题限制到有限 区域上，进行热变换，再转换为变分不等式问题，对时间跟空间区域进行离散，给出了 离散格式的稳定性证明，然后给出算法并进行数值求解最后进行数值实验，并与二叉 树、p s o r 等数值方法进行比较，证明算法是非常高效和收敛的 关键词：美式期权定价，数值方法，自由边界问题，变分不等式问题，紧差分方法， 记忆梯度投影方法。有限元方法 s e v e r a ln u m e r i c a lm e t h o d sf o ra m e r i c a n o p t i o np r i c i n g l i um i n ( m a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f l ir o n g h u a a b s t r a c t o p t i o ni so n ek i n do ff i n a n c i a ld e r i v a t i v e sp e o p l ed e s i g n e dt oa v o i dt h em a r k e tr i s k o p t i o np r i c i n gi st h ec o r eq u e s t i o no ft h e o r yr e s e a r c ha n dp r a c t i c a la p p l i c a t i o no ff i n a n c i a l d e r i v a t i v e s t h eo p t i o np r i c i n gi saf r o n t i e rp r o b l e ma sw e l la sah o ti s s u eo ff i n a n c i a l e n g i n e e r i n ga n df i n a n c i a lm a t h e m a t i c sa tp r e s e n t f o ra m e r i c a no p t i o n sc a nb ee x e r c i s e da t a n yt i m eu pt o t h em a t u r i t yd a t e s ，t h e ya r em o r ef l e x i b i l i 锣i np r a c t i c e h o w e v e r , n o c l o s e d f o r ms o l u t i o n se x i s tf o ra m e r i c a no p t i o n so ft h e i rv a l u a t i o ni ng e n e r a lc a s e t h e r e f o r e i ti si m p o r t a n tt os t u d yt h en u m e r i c a lm e t h o d sf o ra m e r i c a no p t i o np r i c i n g i nt h i sp a p e r , w ep r o p o s es e v e r a ln u m e r i c a lm e t h o d sf o ra m e r i c a no p t i o np r i c i n g t h e m a i nc o n t e n to ft h et h e s i si sp r e s e n t e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r l ，w eb r i e f l yi n t r o d u c es o m eb a s i co p t i o nk n o w l e d g e ，t h ea m e r i c a no p t i o n p r i c i n gm o d e la n dt h ep r o p e r t yo fa m e r i c a no p t i o np r i c e i na d d i t i o n ，t h er e s e a r c hs t a t u so f n u m e r i c a ls o l u t i o nf o ra m e r i c a no p t i o np r i c i n gp r o b l e mi si n t r o d u c e dt o o i nc h a p t e r2 ，ac o m p a c tf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o df o ra m e r i c a no p t i o np r i c i n gi sp r o p o s e d b y t r a n s f o r m a t i o n sw ec h a n g et h ef r e eb o u n d a r yp r o b l e mo f p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni n t o a no r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni n i t i a lv a l u ep r o b l e m a n dt h e nw ea p p l yt h ec o m p a c t d i f f e r e n c es c h e m et ot h en e wp r o b l e m m o r e o v e r , s t a b i l i t yo ft h em e t h o di sp r o v e da n dt h e a l g o r i t h mi sg i v e n s o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t sh a v eb e e nc a r r i e do u t a n dac o m p a r i s o n ， m a d ea m o n gt h eb i n a r yt r e ea l g o r i t h m ，p r o j e c t i v es u c c e s s i v eo v e r - r e l a x a t i o nm e t h o da n d f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，s h o w st h a tt h en e wm e t h o di sh i g he f f i c i e n ta n dc o n v e r g e n t i nc h a p t e r3 ，am e m o r yg r a d i e n tp r o j e c t i o nm e t h o df o ra m e r i c a no p t i o np r i c i n gi su s e d f i r s t l y , w ec o n v e r tt h el i n e a rc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e mi n t oav a r i a t i o n a li n e q u a l i t yo n e ，a n d t h e nm a k ev a r i a b l et r a n s f o r m a t i o nf o rt h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m s e c o n d l y , w es t u d y t h ee q u i v a l e n to p t i m i z a t i o np r o b l e mw i t ha ni n e q u a l i t yc o n s t r a i n ta n db o u n d a r yc o n d i t i o n s ， w h o s en e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h eo p t i m a l i t yi st h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r e s e n t a t i o no f a m e r i c a no p t i o n s t os o l v et h eo b t a i n e do p t i m i z a t i o np r o b l e m ，w eb s et h em e m o r yg r a d i e n t p r o j e c t i o nm e t h o d t h ed e t a i l e da l g o r i t h mi ss u g g e s t e d f i n a l l y , w et e s tt h ea l g o r i t h ma n d c o m p a r ei tw i t ht h eb i n a r yt r e ea l g o r i t h ma n dp r o j e c t i v es u c c e s s i v eo v e r - r e l a x a t i o nm e t h o d n u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h en e wm e t h o di sh i 曲e f f i c i e n ta n dc o n v e r g e n t i nc h a p t e r4 ，w ep r o v i d ean e wm e t h o df o ra m e r i c a no p t i o np r i c i n gb yd r a w i n gl e s s o n s f r o mf i n i t ee l e m e n tm e t h o d f i r s t ，w er e s t r i c tt h el i n e a rc o m p l e m e n t a r y p r o b l e mt oa l i m i t e d a r e a a n dt h e nav a r i a b l et r a n s f o r m a t i o ni sm a d e a f t e rt h a tw ec o n v e r tt h ep r o b l e mi n t oa v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m s e c o n d ，w ed i s c r e t i z et h et i m ea n ds p a c ea r e a a tt h es a m e t i m e ，w ep r o v et h es t a b i l i t yo ft h i ss c h e m e a f t e rt h a t ，w eg i v eaa l g o r i t h ma n ds o l v et h e p r o b l e mb yi t a tl a s t w ec a r r yo u ts o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t st oc o m p a r ew i t hb i n a r yt r e e a l g o r i t h ma n dp r o j e c t i v es u c c e s s i v eo v e r - r e l a x a t i o nm e t h o d r e s u l t ss h o wt h a tt h i sa l g o r i t h m i s1 1 i g he f f i c i e n ta n dc o n v e r g e n t k e y w o r d s ：a m e r i c a no p t i o np r i c i n g ，n u m e r i c a lm e t h o d s ，f r e eb o u n d a r yp r o b l e m ， v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m ，c o m p a c tf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，m e m o r yg r a d i e n tp r o j e c t i o n m e t h o d ，f m i t ee l e m e n tm e t h o d m 关于学位论文的独创l 生声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名： 主1 3 数 日期：即加年6 月ie t 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印 刷版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门 ( 机构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被 查阅、借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用 影印、缩印或其他复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签名：童! l 达 指导教师签名：i 巨彳1 日期：如，口年月，日 e t 期：7 口ip 年厂月，日 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第一章前言 期权具有良好的规避风险、风险投资和价值发现等功能，而且表现出灵活性和多样 性等特点，已成为最具活力的金融衍生产品，得到了迅速发展和广泛利用用期权可以 构造新型金融产品，各种各样的期权、新型金融产品和技术手段使金融市场能够更充分 地转移风险和进行套期保值，同时也为大规模的金融投机活动创造许多新的机会和提 供新的工具 期权交易在全球越来越流行，我国正在逐步发展期权交易市场，于是对期权理论的 研究对我国的金融发展具有重要的指导意义期权的思想也已经渗入到现实经济中，例 如各种实际项目的投资等可以用期权理论去评价，一些金融资产如股票、可转换债券及 认股权证等也蕴含了期权的思想，也可以用期权理论进行分析，从而对于期权理论的研 究具有重要的现实意义 期权理论研究的重点有两个方向：一个方向是如何构造出新型的期权，以满足不断 变化的市场投资的需求；另一个方向是如何确定这些日趋复杂的期权的价值，即期权的 定价问题 1 9 7 0 年以来，伴随着期权市场的迅速发展，期权定价理论的研究取得了突破性进展 1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s 1 1 发表了题为“t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s 的 论文，给出了不支付红利股票下的欧式期权的定价公式；同年，m e n o n 【2 1 发表了另一篇 论文“t h e o r yo f r a t i o n a lo p t i o np r i c i n g ，这两篇论文奠定了期权定价的理论性基础从此 之后，许多学者专家对期权定价理论进行研究期权定价理论是目前金融工程、金融数 学研究的前沿和热点问题 由于美式期权可以提前执行，持有人拥有比欧式期权更多的获利机会，在实践中具 有更大的灵活性，而且在美国交易的期权大部分是美式的，所以美式期权的定价问题便 成为广泛的研究课题 一般情况下，美式期权没有精确的解析定价公式，只能使用近似解析方法或数值方 法进行求解计算机软硬件技术的发展使得计算速度得到极大的提高，为数值方法求解 美式期权提供了保障 1 1 期权相关知识 期权( o p t i o n ) 是赋予其持有者在一个特定的时间或之前以预先指定的价格买入或卖 第一章前言 出标的资产的权利，它是期权购买者拥有的一种权利，而并非一种义务即对于期权的 买方来说有这样的权利：在一个特定的时间或之前以预先指定的价格选择是否买入( 或 卖出) 一定数量和规格的标的资产，而对于卖方来说有义务按规定满足买方未来买卖的 要求 期权的标的资产( u n d e r l y i n ga s s 鳓包括债券、股票、货币、股票指数、外汇、商品 和期货合约等等 根据买入和卖出的不同，期权分为看涨期权( c a l lo p t i o n ) 和看跌期权( p u to p t i o n ) 看 涨期权的持有者有权在某一确定时间以某一确定的价格购买标的资产看跌期权的持 有者有权在某一确定时间以某一确定价格出售标的资产 根据具体执行时间的限制，期权又分为美式期权( a m e r i c a no p t i o n ) 和欧式期权 ( e u r o p e a no p t i o n ) 欧式期权规定期权持有者只能在到期日那一天才能履行合约美式 期权可以在到期日之前的任何时刻执行，具有更大的灵活性 期权合约是期权交易双方确定贸易关系的正式法律文件，是标准化的契约 期权的要素包括： ( 1 ) 标的资产：期权合同规定的双方买入或卖出的资产； ( 2 ) 执行价格：期权合同规定的购入或售出标的资产的价格，在签订期权合同时就 已经固定，不再随标的资产的市场价格变化而变化； ( 3 ) 到期日：期权合同所规定的有效期限或合同持有者行使权力的时间； ( 4 ) 期权金：买卖双方购买或出售期权的价格 期权的特点包括： ( 1 ) 独特的损益结构 期权具有非线性损益结构，通过不同期权、期权与其他投资工具的组合，投资者可 以构造出不同风险收益状况的投资组合 ( 2 ) 期权交易的风险 对于期权交易者来说，买方与卖方均面临着期权金不利变化的风险期权买方的风 险底线已经确定和支付，其风险控制在期权金范围内期权卖方的风险则存在不确定 性 期权买方的风险有限，但其亏损有可能是1 0 0 期权卖方可以收到期权金，但是 一旦资产价格发生较大的不利变化或者波动率大幅升高，对于卖方来说，此时的损失相 当于“无限” 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 由于美式期权可以提前执行，持有人拥有比欧式期权更多的获利机会，在实践中具 有更大的灵活性，而且美式期权的应用更为普遍目前世界各主要交易所买卖的期权合 约大部分为美式期权，尤以股票期权市场最为突出，所以美式期权的定价问题是期权理 论无法回避的核心内容本文即对美式期权定价问题进行研究 1 2 美式期权定价问题的模型及其性质 1 2 1b l a c k s c h o l e s 期权定价模型 b l a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) t 1 1 开创性地推导出不支付红利股票下欧式期权的价格满足一 个线性的抛物型偏微分方程即著名的b l a c k s c h o l e s 方程通过求解这个问题得到了欧式 期权的解析定价公式 我们按照b l a c k 和s c h o l e s 在1 9 7 3 年那篇奠定诺贝尔经济学奖的经典论文的思路来推 导b l a c k s c h o l e s 微分方程 为了描述方便，记( 本文后续章节继续沿用) k ：期权的当前价格( 简记为v ) ： 墨：标的资产的市场价格( 简记为s ) ； k ：买权合同的执行价格： ，：按连续复利计算的无风险利率： ：标的资产价格期望： 仃：标的资产价格波动率： t ：到期日； t ：当前定价日： t t ：距离到期时间 b l a c k 和s c h o l e s 在推导b l a c k s c h o l e s 模型时做了以下7 条基本假设： ( 1 ) 无风险利率厂已知，且为常数，不随时间变化； ( 2 ) 只包括两种资产：一种是风险资产，其价格墨的变化为几何布朗运动，即 a s , = s , a t + t t s t d b ( t ) ， 另一种是无风险资产掣，它的价格过程为d s o , = 科d t ； ( 3 ) 在衍生证券的有效期内，标的资产没有红利支付； 3 第一章前言 ( 4 ) 期权为欧式期权； ( 5 ) 资本市场完善，即不存在交易手续费、税收及保证金等因素； ( 6 ) 投资者可以自由借入和贷出资金，借入利率和贷出利率相等，均为无风险利率 而且所有证券都是高度可分的，即投资者可以购买任意数量的标的资产； ( 7 ) 对卖空没有任何限制，允许使用全部所得卖空衍生证券 假设形是期权的当前价格，显然，k 一定是标的资产当前市场价格墨和当前时刻t 的某种函数 由b l a c k s c h o l e s 模型的基本假设，风险资产价格s 遵循随机过程： 姆= s , d t + 仃墨皿( 1 1 ) 方程( 1 1 ) 的离散形式为： 越= j u s t a t + 盯墨丝 ( 1 2 ) 由疡公式，期权价值是标的资产价格墨的函数，应有： 晔( 詈懈sa 弧v , + j 1c r 2 s 2 等胁啦o 强v , a b ， ( 1 - 3 ) 简记魍= d z 方程( 1 3 ) 的离散形式为： y = c 警+ 詈筇+ 三豢盯2 趵h 警仃s 缸 m 4 ， y 是s 与t 的函数，所以方程( 1 2 ) 与方程( 1 4 ) 遵循相同的维纳过程，即& ( = s 垃) 相同所以我们可以选择该风险资产和期权的组合来消除维纳过程 构造如下的投资组合： ( 1 ) 卖出一份期权 ( 2 ) 买入面o v 份风险资产 则该证券组合的价值为： = 一矿+ o 秽s vs (1-5) & 时间后，该证券组合的价值变化n 为： 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 ：一y + 旦! s d s 将方程( 1 2 ) 和( 1 4 ) 代入上式，得： _ ( 一瓦o v 一三筹内2 皿 ( 1 - 6 ) 因为这个方程不含有& ，经过a t 时间后证券组合必定没有风险因此，该证券组 合的瞬时收益率一定与其它短期无风险证券的收益率相同否则，将存在无风险的套利 机会所以： 兀= 玎1 t 其中，为无风险利率 将方程( 1 5 ) 和( 1 6 ) 代入上式可得： c 罾+ 丢筹a t = r c y 一纂m r ， 化简得： 百c o v + r sa s + 22 祟o s 圳 ( 1 - 7 ) 8 t8 s 1 、 式( 1 7 ) 就是著名的b l a c k s c h o l e s 微分方程 有红利支付时，上述方程变为 警竹刊s 等+ 2 警圳 对于欧式看跌期权，解下面的偏微分方程： 警+ 心筹+ 2 筹圳， i 矿b = m a x ( k s t ，o ) 得欧式看跌期权的b l a c k s c h o l e s 定价公式：尸( s ，f ) = k e 盯一( 一畋) 一心( 一面) 其中： dl：一ln(sk)+(r+吉cr2)(t-t)，d2：吐一盯再 a 4 t t 州) = 去一，妣 5 第一章前言 1 2 2 美式期权定价问题模型 美式看涨期权的价格与美式看跌的期权价格之间存在对称关系3 1 ： 设圪( s ，t ；r ，g ) ，名( s ，t ；r ，g ) 以及p ；，g ) ，0 ( f ；，g ) 分别是具有相同期限丁和相同 执行价格k 的支付红利的美式看涨和看跌期权的价格与最佳实施边界，则 吣咖) = i s 了k 2 朋，r ) 和厨丽丽= k ，( 1 - 8 ) 这里k 是期权的执行价格，是无风险利率，g 是红利率 本文只考虑美式看跌期权的定价问题，看涨期权的价格可以通过上式直接得出 美式期权定价模型一般说有三种：自由边界问题，线性互补问题，变分不等式问题 下面分别给予介绍 ( 1 ) 从数学上来说，美式期权的定价问题是一个自由边界问题，这里的自由边界是 一条需要确定的交界线，它把区域 o s o 。，1 t 丁) 分成两部分，一部分是继续持 有区域，另一部分是终止持有区域，这条自由边界在金融上称为最佳实施边界显然对 每个美式期权的持有者来说，需要知道曲线的位置，以便制订出最佳的实施方案 对于终止期为t = t 的美式看跌期权，存在两个区域： 继续持有区域l = ( s ，f ) is ( f ) s ( k - s ) + ， 终止持有区域2 = ( s ，圳0 s s ( f ) ，0 f 丁) ：v ( s ，f ) = ( k - s ) + ， 最佳实施边界f ：s = s ( t ) 在这两个区域中间 对于美式看跌期权的定价，就是要在。中寻找函数对 矿( s ，f ) ，s ( f ) ) ，使得它适合定 解问题： z 矿= 警+ 譬s 2 筹竹_ g ) s 面o v 州一o ，( e 1 ) y ( s ) ，f ) = k s ( f ) ， 面o v ( 荆，f ) = 一1 由于s ( t ) 是自由边界，所以这是一个抛物型方程的自由边界问题 ( 2 ) 美式看跌期权定价问题是一个最优停止问题： 他x ) _ m 埘a 。x 童z e - r ( r - t ) ( k s ( 7 ) ) 雠) = 工】 6 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 由变分不等式跟最优停时的关系4 1 ，得美式看跌期权定价的变分不等式问题模型 求y ( s ，f ) 罐，使得 m i n 一么矿，v - ( k - s ) + ) = o ， ( ) v ( s ，t ) = ( k s ) + ，( 0 s o o ) 矿_ 0 ( s _ 。) 其中 = o s o ，吲呱驯， ( 哪h k 删+ ) ( 儿詈呻_ g ) s 箬2 筹) _ o 1 2 3 美式期权价格的各种性质 首先考虑永久美式期权永久美式期权是没有终止期的美式期权 ( 1 ) 不考虑红利情况的永久美式看跌期权价格v ( s ) 满足如下定解问题 生s2而d2v+心div一，矿：o，(sos)2d s zd s 。 矿( s o ) = k 一& ， v ( o o ) = 0 上述问题是二阶常微分方程边值问题，用下面的方法求解【6 】： 令v = s 。，得o l 满足方程 詈2q 2 竹一争q 一，= o 一“十i 厂一一，“一厂= u 2 、 2 。 求得 旷，心一事 从而 v ( s 1 = a s + b s0 , 2 7 第一章前言 由边界条件得 从而上述问题的解为 一旦 a = o ，b = s o ，2 ( k s o ) ， 矿( s ；& ) = ( 誓 7 ( k 一氐) ， 这个解依赖于& 下面求最佳实施边界s = 式即求s = s o ，使得 求得 y ( s ；g ) = o ( m 氏a s x x 矿( s ；& ) = o m 岛a s x k 【f s s oj ( k 一孓) 令，( & ) = ( 誓 7 ( k 一氐) ，由 篆：娴仃2 f r k 盼】1 = o ， 得 = 而k ( 2 ) 支付红利情形下，若红利率q 与时间无关，则永久美式看跌期权的数学模型为： 求i v ( s ) ，s o ，使得 孚s 2 窘竹- g ) s 等州_ o ，( & s 。) y ( s o ) = k s o ， y ( s o ) = 一1 ， 矿( ) = 0 令v = s 。，得q 满足方程 妥a 2 + ( ，一g 一了0 2 ) q 一，：o ， 2 、 1 2 。 a 一士孵， 8 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 其中 - 一件g + 害 u 2 广 从向矿( s ) = 彳s u + + 召s 由边界条件，求出 肛一圭 击1 r qil qi 氏= 击( 1 - 9 ) 从而得 圭 击卜t 下面对美式期权的最佳实施边界s = s ( t ) 作定性的分析，包括s ( t ) 的位置，s ( t ) 的 单调性，s ( t ) 的上下界等讨论这些性质将有助于对美式期权定价问题进行数值求解 定理1 1 【3 1 设f ：f s = s ( f ) ，( o t 丁) ) 是支付红利的美式期权的最佳实施边界，则 s ( 丁) = m i n 卜抖 c 看跌期权， m 觚 k ，斟 c 看涨删 定理1 2 3 1 设r ： s = s ( f ) ，( o t 丁) ) 是美式期权的最佳实施边界，则 f 毛o ) 单调非减， ( 看跌期权) 【( f ) 单调非增 ( 看涨期权) 且对看跌期权有估计： s p o o 0 ) l i 、 i i i ： ， ： ： 1 j i ： ： ；1 iii-l m a x ( k ，k r q ) s 图1 - 1 美式期权的最佳实施边界 f i 9 1 - 1 t h eo p t i m a le x e r c i s i n gb o u n d a r yo fa m e r i c a no p t i o n s 1 3 美式期权定价问题数值解的研究现状 用于求解美式期权定价问题的数值方法主要有： ( 1 ) 二叉树方法由c o x 、r o s s 和r u b i n s t e i n ( 1 9 7 9 ) 7 1 在著名的c r r 模型中引入，随后 扩展出三叉树方法以及切片法 ( 2 ) 有限差分方法是把微分方程转化为差分方程，再用迭代法求解这些差分方程 b r e n n a n 和s c h w a r t z ( 1 9 7 7 ) 瞄】将有限差分法应用到美式期权定价中j a i l l e t 、l a m b e r t o n 和 l a p e y r e ( 1 9 9 0 ) 9 基于变分不等式框架研究了b r e n n a n s c h w a r t z 算法 1 0 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 ( 3 ) m o n t ec a r l o 模拟方法是利用随机数对许多不同的路径进行抽样最早使用其对 期权定价的是b o y l e ( 1 9 7 7 ) t 10 1 g r a n t 、v o r a 和w e e k ( 1 9 9 7 ) 1 1 】将动态规划思想融人m o n t e c a r l o 方法中l o n g s t a f fs c h w a r t s ( 2 0 0 1 ) t 1 2 1 提出最小二乘蒙特卡罗( l s m ) 模拟法能很好 的为美式期权定价 美式期权定价问题可以写成多种形式，然后再求解具体采用何种形式，取决于拟 选取的方法下面回顾一下与本课题相关的最新研究进展情况： ( 1 ) 美式期权的定价问题是一个自由边界问题 李莉英、金朝嵩( 2 0 0 5 ) 【1 3 1 用快速傅里叶变换加龙格库塔法对美式看跌期权进行计算 c h u n g k ic h o 、s u n b uk a n g 、t a e k k e u n 飚m 和y o n 曲o o nk w o n ( 2 0 0 6 ) t 1 4 使用参数估计法， 获得了美式看涨期权的最佳执行曲线及价格吴强( 2 0 0 6 ) 【”1 对解的性质进行了研究，引 入人工边界，使得求解区域变小，数值求解速度加快j i c h a oz h a o 、m a rd a v i s o n $ 1 r o b e r t m ( 2 0 0 7 ) 1 6 】发展了三种紧有限差分法t a n g m a n 、g o p a u l 和b h u m t h ( 2 0 0 8 ) t 1 7 1 8 】用有限差分 高阶紧格式求解方程 ( 2 ) 美式期权定价问题可以转化为一个依赖于时间的线性补问题 h u a n g 和p a n g ( 1 9 9 8 ) 1 1 9 给出了离散线性补问题的格式，并给出了美式期权定价的 p s o r 方法，l _ e r n k e 算法和p p p 算法k o u l i s i a n i s 和p a p a t h e o d o r o u ( 2 0 0 0 ) 2 0 】提出了自由指 数( m i ) 方法张超( 2 0 0 5 ) t 2 1 1 用线性补问题的连续性算法来研究美式期权定价i k o n e n 和 t o i v a n e n ( 2 0 0 7 ) t 2 2 】对方程用中心差分进行空间离散，对时间用两步向后差分的c n 格式 离散，然后数值求解s t i l i a n o s 和m a r k o l e f a s ( 2 0 0 8 ) 2 3 1 用半离散g a l e r k i n 公式逼近偏微分 方程，与高阶l a g r a n g 有限元结合，得到一个好的数值方法 ( 3 ) 美式期权定价问题可以转化为一个变分不等式问题 j a i l l e t 、l a m b e r t o n 和l a p e y r e ( 1 9 9 0 ) 9 研究了基于变分不等式的美式期权定价函数的 正则性质，给出了计算美式看跌期权的b r e n n a n s c h w a r t z 算法d e m p s t e r 和 h u r o n ( 1 9 9 7 ) 2 4 】用线性规划方法研究了美式期权定价张铁等( 2 0 0 2 ) 2 5 】建立了半离散和 全离散有限元逼近格式，并给出了有限元解的收敛性和稳定性分析z h a n g 、y a n g 和 t e o ( 2 0 0 6 ) t 2 6 1 用有限元法进行离散，用a l m 方法进行数值求解k w o n 和f r i e s z ( 2 0 0 8 ) t 2 7 】 把变分不等式问题转化为极值问题，然后用梯度投影方法进行求解vp - i s r a e l ，m a r i n c o n ( 2 0 0 8 ) 2 8 3 把远空间用正则化方法映射到一个简单的空间上，然后用有限元法和有 限差分法进行求解 ( 4 ) 对原问题进行变换得到美式期权价格满足的积分方程 第一章前言 m a c m i l l a n ( 1 9 8 6 ) 2 9 】、b a r o n e a d e s i 和w h a l e y ( 1 9 8 7 ) 3 0 1 给出了美式期权价格的积分表 示b r o a d i e 和d e t e m p l e ( 1 9 9 6 ) 3 13 从这一基本思想出发点提出了基于美式期权价格的上 下边界的数值逼近方法p a n i n i 和s r i v a s t a v ( 2 0 0 4 ) 3 2 1 运用m e l l i n 积分变换方法，得到期权 价格的积分方程和自由边界的积分方程，并运用数值方法进行求解l i uy a p i n g 和l u t a o ( 2 0 0 4 ) 3 3 1 应用l a p l a c e 变换获得了支付连续红利的美式看涨期权的积分表示，以及最 优执行边界满足的一个非线性的第二类v o l t e r r a 积分方程，用数值积分公式得到了积分 方程的数值解 ( 5 ) 由美式期权的分解定理出发进行求解 j a c k a ( 1 9 9 1 ) 3 4 l 和c a r r 、j a r r o w 和m y n e n i ( 1 9 9 2 ) 3 5 1 推出了美式看跌期权价格可以分解 为欧式看跌期权价格和由于合约提前实施条款而需要增付的期权金梁嘉文( 2 0 0 6 ) p 6 】把 加法模型方法与美式期权定价分解公式相结合得到美式期权价格的近似值h a n s p e t e r b e r m i n 、a i t u l ok o h a t s u h i g a 和j o s e pp e r e l l o ( 2 0 0 5 ) t 3 7 1 从提前执行所付的保证金出发进行 定价 ( 6 ) 通过引入惩罚函数法解决美式期权定价问题 z v a n 等( 1 9 9 8 ) t 3 8 1 通过在离散方程中引入一项，把惩罚函数法引入到美式期权定价中 n i e l s e n 等( 2 0 0 2 ) 3 9 1 补充了上面的工作，在连续方程中引入惩罚项，给出了数值格式 k h a l i q 、v o s s 年i k a z m i ( 2 0 0 6 ) 删在原方程中引入一个小的连续惩罚项用惩罚方法逼近自由 边界k h a l i q 、v o s s 年- 1 k a z m i ( 2 0 0 8 ) 4 1 1 发展了适应0 方法来解决美式期权定价问题一般 的方法需要每步进行牛顿迭代，适应p 方法避免了这个缺陷 1 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第二章美式期权定价问题的紧差分方法 美式期权定价问题的数学模型一般可归结为抛物型方程自由边界问题本章即对 自由边界问题进行变换，转换为抛物型初边值问题，然后进行有限差分，从而数值求解 最后进行数值实验，并与二叉树、p s o r 、有限元等数值方法进行比较，证明本章算法是 一个非常高效和收敛的算法 2 1 自由边界问题及变换 美式看跌期权的价格v = v ( t ，s ) 满足以下抛物型方程自由边界问题 l + ；仃2 s 2 + ( r - q ) s g s - r v = 0 ，se s o ) ，。) ，t ( o ，丁】， 矿( s ：丁) = m a x 饭- 。s , o ) ，s 掣丁) ，。) ，( 2 - 1 ) v ( s + ( 力，t ) = k s + ( f ) ，坛( s ( f ) ，f ) = 一1 ，t ( o ，丁 ， l i r a ，+ 。v ( s ，f ) = 0 这里，s ( f ) 是未知的自由边界，它是t 的单调增函数，在执行日有 r ( r ) ：m i n ( k ，坚) g 下面对问题( 2 1 ) 进行变换，将变系数方程化为常系数方程，将反向时间问题化为正 向时间问题引入变量变换 7 - = 仃2 ( 丁一f ) 2 ， x = i n ( s k ) + ( 七一1 ) r ，工= m ( s 。k ) + ( 七一1 ) 7 - ，( 2 2 ) u ( x ，7 - ) = p ( y ( s ，t ) + s - k ) k ， 其中k = 2 ( r - q ) a 2 ，岛= 2 r a 2 在上述变换下，问题( 2 1 ) 转化为如下问题： u ，= u 。+ g ( x ，7 - ) ，x ( x 0 - ) ，o 。) ，7 - ( o ，互 ， z ( 0 ) = m i n ( o ，i n ( r q ) ) ， u ( x ，0 ) = m a x ( e 5 1 ，0 ) ，x i x ( o ) ，o 。) ，( 2 - 3 ) u ( x ( 7 ) ，7 ) = 0 ，u x ( 工( 丁) ，7 ) = 0 ，7 ( 0 ，五】， l i r a 。+ + 。u ( x ，7 - ) = e k l r ( p 。一一1 p 一1 ) ，7 - ( o ，石 ， 其中g ( x ，丁) = p 岛7 ( ( 岛- k ) e 。一1 p 一毛) ，五= a 2 t 2 1 3 第二章美式期权定价问题的紧差分方法 2 2 紧差分方法 紧差分方法能快速精确的求解偏微分方程f 面介绍如何应用紧差分方法求解美 式看跌期权定价问题 为了便于构造数值方法，需将上述问题限制