（凝聚态物理专业论文）低维关联无序系统中电子局域性质的研究.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 随着学者们对无序系统的进一步深入研究，以及关联截断等计算难 题的解决，无序系统的研究取得了很大进展。目前，关联无序系统的研 究吸引了很多学者的注意。关联无序系统分为对角关联无序系统、非对 角关联无序系统和复杂系统。其中学者们对对角关联无序系统研究的比 较多。长程幂率关联和高斯关联是两种被研究较多的关联形式，这里的 关联主要指的是格点位能或跃迁积分的空间关联。研究发现当考虑格点 位能或跃迁积分的空间关联时系统的性质与传统的安德森模型的结果有 很大不同。关联无序系统的研究进一步发展了安德逊的无序理论。长期 以来，对无序系统的研究经常采用局域长度、李雅普诺夫指数等测度。 也有学者考虑了并发纠缠作为无序系统测度的可能性，并发现短链幂率 关联无序系统并发纠缠随无序度的变化曲线中存在带结构。这种带结构 是否为长程幂率关联的自然结果目前还不能肯定。本文对这一问题进行 了进一步探讨。考虑长程幂率关联，研究了一维安德逊对角模型基态的 并发纠缠，验证了较长链情况下并发纠缠的带结构的存在。对此并发纠 缠的带结构进行了分析，讨论了并发纠缠带结构宽度随链长的变化。发 现随着链长的增加，并发纠缠带结构宽度逐渐变窄。 关键词：关联无序，并发纠缠，带结构 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t w i t ht h ef u r t h e ri n d e p t hr e s e a r c hi nt h ed i s o r d e r e ds y s t e ma sw e l la st h e a s s o c i a t e dp r o b l e m si nt e r m so fc u t o f fs o l u t i o n ，t h es t u d yo fd i s o r d e r e d s y s t e mm a k e sg r e a tp r o g r e s s a tp r e s e n t ，t h es t u d yo fc o r r e l a t e d d is o r d e r s y s t e ma t t r a c t sm o r er e s e a r c h e r s a t t e n t i o n c o r r e l a t e d , d i s o r d e rs y s t e mi s d i v i d e di n t od i a g o n a lc o r r e l a t e dd i s o r d e rs y s t e m ，o f f - d i a g o n a lc o r r e l a t e d d i s o r d e rs y s t e ma n dc o m p l e xs y s t e m ，a n dt h ed i a g o n a lc o r r e l a t e dd i s o r d e r s y s t e mi s s t u d i e dm o r eb ym a n ys c h o l a r s t h el o n g r a n g ep o w e r - l a w c o r r e l a t i o n sa n dg a u s s i a nc o r r e l a t i o n sa r et w of o r m so fc o r r e l a t i o n sa n dt h e c o r r e l a t i o ni st h es p a c ec o r r e l a t i o no fs i t ee n e r g yo rt r a n s i t i o ni n t e g r a l i ti s f o u n dt h a tt h es y s t e m sp r o p e r t yi sd i f f e r e n tf r o mt h er e s u l to ft r a d i t i o n a l a n d e r s o nm o d e lw h e nt h es p a c ec o r r e l a t i o no fs i t ee n e r g yo rt r a n s i t i o n i n t e g r a li sc o n s i d e r e d t h ed i s o r d e rt h e o r yo fa n d e r s o ni sd e v e l o p e db yt h e s t u d yo fc o r r e l a t e dd i s o r d e rs y s t e m o v e rt i m e ，l o c a l i z a t i o nl e n g t ha n d l y a p u n u o ve x p o n e n ta r eo f t e nu s e da st h em e a s u r e st os t u d yt h ep r o p e r t i e so f t h ed i s o r d e rs y s t e m s o m eo t h e r st h i n l ( t h a tt h ec o n c u r r e n c em a yb eu s e da sa n e wm e a s u r eo ft h ep r o p e r t i e so fd i s o r d e r e ds y s t e ma n df i n dt h e r ei sb a n d s t r u c t u r ei nt h ec u r v e so fa v e r a g ec o n c u r r e n c ew i t hd i s o r d e rd e g r e ew h e nt h e y c o n s i d e rt h ep o w e r l a wc o r r e l a t i o n si nt h es h o r tc h a i n s b u ti ti s n ts u r et h a t t h eb a n ds t r u c t u r ei sn a t u r a lr e s u l to fl o n g r a n g ep o w e r - l a wc o r r e l a t i o n s i ti s a n a l y z e di nt h i st h e s i s w ea n a l y z et h ec o n c u r r e n c eo ft h eg r o u n ds t a t ei n 1d a n d e r s o nd i a g o n a l - d i s o r d e rm o d e la n dd e m o n s t r a t et h ee x i s t e n c eo ft h eb a n d s t r u c t u r eo ft h ec o n c u r r e n c ei nt h el o n g e rs e q u e n c ec a s e w ea n a l y z et h eb a n d s t r u c t f i r eo f t h ec o n c u r r e n c e a n 正d i s c t - s s 耐w i d t h ，南薪浩- s e q u e n c e w e 内蒙古师范大学硕士学位论文 s h o wt h a tt h ew i d t ho ft h eb a n ds t r u c t u r eb e c o m e sn a r r o ww i t ht h ei n c r e a s eo f t h es e q u e n c e k e yw o r d s ：c o r r e l a t e d d i s o r d e r ；c o n c u r r e n c e ；b a n ds t r u c t u r e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论。文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名：日期：年月日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学位 论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容 和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名： 导师签名：屯砷矿以l 日期： 明年多月 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 近年来，对于无序系统的研究引起了许多学者的兴趣，尤其是关于无序系统中电 子状态的研究更引起了学者们的广泛关注。安德逊、米泽、莫特等人在这些方面做了 大量的工作，为无序系统中电子状态的进一步研究奠定了基础。安德逊n3 首先在某 些无规格中扩散的缺失中论证了由于无序导致电子局域化的观点，后来根据米泽口3 的准粒字模型哈密顿量 1 ：1 = 毛筋6 刀+ 乞筇乞 n ( 其中嚣( 磊) 是n 格点上的准粒子产生( 湮灭) 算符，巳是准粒子在n 格点上的能量， t 描述准粒子在，与，格点之间转移的跃迁矩阵元) 只考虑短程跳跃中的最近邻跳跃， 构造了著名的安德逊模型。安德逊3 、莫特h 3 以及许多学者深入的研究了无序系统中 电子波函数局域化、标度理论随3 、局域态与扩展态的转化阳刮以及电子输运等特性n n l 4 3 。 传统的安德逊模型是不考虑无序系统格点之间的相互作用等因素的，然而，随着 人们对无序材料以及自然现象的进一步研究，在许多无序领域如d n a 序列口置1 引、心脏 跳动n 引、气候变化n 引、材料科学等，发现它们的空间无序是互相关联的，也就是系统 中格点之间的能量并不是独立的无规变量，而是存在有相互作用，即关联作用。 根据米泽的准粒子模型哈密顿量表达式( 卜1 ) 中占。或t 一的性质，可以对关联无 序系统进行分类乜1 。如果6 取为无规变量，即格点能量s 。之间存在关联函数n ( 巳，厶) = c ( 1 ) ，其中，是格点，z 和格点m 之间的距离，且f 。仍具有平移对称性，那么 这样的无序系统称为对角关联无序系统：如果f ，为无规变量，格点能量占。之间不存 在相互作用，则这样的无序系统称为非对角关联无序系统；如果占。和t 都是无规变 量，则称为关联完全无序系统( 或复杂无序系统) 。因此当安德逊模型中计入关联作用 内蒙古师范大学硕士学位论文 时，可以分为三类：对角关联无序安德逊模型、非对角关联无序安德逊模型、完全无 序安德逊模型。 目前由于受到计算水平的限制，对于完全无序系统的研究很少，而对于对角关联 无序系统的研究比较多。在对角无序系统中主要考虑两种长程关联：( 1 ) 长程高斯关 联：( 2 ) 长程幂率关联。长程高斯关联的产生方法如下n 引： 1 、在卜w ，w 1 区间产生一组均匀分布的无序随机位能民： 2 、高斯关联随机位能可以通过下列求平均值公式产生： 形= 墨墨型二! 竺二坚塑 “小 。e x p ( - i m - n 1 2 7 7 2 ) ( 1 2 ) 其中7 1 表示局域长度。 长程幂率关联位能可以用傅立叶滤波法产生，一维长程幂率关联位能产生的具体 过程是2 0 1 ： 1 、产生一组具有一定分布( 如高斯分布或均匀分布) 的一维关联随机数序列 【“( 亏) 】，计算出它的傅立叶变换系数 ，且= p ( 亏) e 嘶西，其中亏为第f 个格点 的位置矢，孑是波矢； 2 、计算关联函数c “) 的傅立叶变化( 即谱密度) ：s ( q ) = i c ( 亏) e - 辱孵，然后可以 得出 乞】的傅立叶变化系数 ：6 q = s ( g ) 】啦； 3 、计算出白的逆傅立叶变换【q 】：岛2 专；白p 矛5 ，其中n 为一维系统的总格点 数，由此得到一组具有长程幂率关联的格点能量。 产生长程幂率关联的格点能量的另一种方法是利用表达式抽3 ： n | 2气 占= 尼川阱卜】c o s ( 等+ 政) ( 1 - 3 ) 通过改变指数口来产生幂率关联位能，这里是位数，苁是2 个独立随机相，他 们均匀分布在【o ，2 疗 范围内一查寥吏我们隹用这种方法，并挹长程幂率关联垡熊标准 2 第一章绪论 化到 了w ，i w 博围内。 关联的引入可视为从无序向有序的转化，随着研究的不断深入，发现电子的局域 性被进一步破坏，系统表现出新的物理性质瞳卜2 钔。对一维二元无序系统等简单模型的 计算结果显示，在某些能量本征值和特定关联指数下，系统的局域程度大于或等于系 统的大小，即电子的波函数变成了扩展态，系统表现为金属行为，证明随着关联强度 的逐步增加，一维无序体系中也能观察到安德逊转变。 对角无序系统的研究结果对安德逊定域化理论是一个大的发展，通过对关联情况 下电子的波函数、局域长度、电导的计算，可以进一步讨论无序系统的输运性质以及 相变问题。 局域长度、李亚普诺夫指数、纠缠等作为无序系统中电子局域化程度的定量描述， 对研究无序系统中电子的局域性质有着非常重要的意义。 1 2 安德逊模型嘲 无序是相对于有序定义的，在固体系统中无序是指相对于完整晶体中原子排列的 高度有序状态的偏离，完整晶体的特点是源自排列具有严格的周期重复性，可以用点 阵描述理想晶体的结构特征，在这里不仅每个原子周围原子的排列有一定的规律，而 且相距任意正格矢珀勺两个原子周围的环境相同，这就是严格的周期性，又称为固体 结构的长程有序。当系统的理想周期性被破坏时，就失去了长程序，成为无序系统。 有序晶体与无序系统电子态特征的主要区别在于具有严格周期性的有序晶格是 平移不变的，单电子态可用波矢量k 标记并形成能带，能带电子的状态由布洛赫函数 表示： 虮( 尹) = 魄( 尹) e 肼 ( 1 - 4 ) 所有的电子均在有序晶格中作公有化运动，且各格点周围振幅( 尹) 相同，这种状态 在整个晶体中的扩展特征是长程序效应的反映，因此布洛赫态又可称为扩展态。具有 扩展态是有序晶格的特点。当有序品格中( 如半导体) 掺入少量杂质后，周期性被局 内蒙古师范大学硕士学位论文 部破坏，这时将有电子或空穴被束缚在杂质上，并在导带之下或价带之上( 能隙区中) 形成施主和受主能级，这些电子( 或空穴) 的波函数是指数衰减型的局域函数 帆( 尹) e x p ( 一尹f ) ( 1 - 5 ) f 称为局域化长度。这时电子在杂质附近作局域化的运动，有别于扩展在整个晶体中 的公有化运动，称为电子的局域态，由此可知存在局域态是无序的标志。 根据米泽的准粒子模型哈密顿量表达式( 卜1 ) 式，安德逊假定占。在宽度内是 连续均匀分布的，各格点上的s 。是独立无规变量，其分布概率为 盹) = 般乌 ( 1 - 6 ) 如图卜l 所示。 对于近邻交迭积分0 ，假设它仍与，无关由f 表示，这就是安德逊设计的无序模 型。在安德逊模型中哈密顿量写成 青= 乞嚣乞+ 万分 聆 ( 1 - 7 ) 其中无规变量是巳，它的变化宽度形可当作反映系统“无序程度”的参量，而各格 点的近邻交迭积分均取相同值t 则表示无序系统的“短程有序”特性。因此，这个简 化的模型概括了无序系统的主要特点。 第一章绪论 0 0 w 1 2 岛 国1 1 维无序二元固体模型乜5 3 是显示安德逊局域的最简单模型n 2 p 驯。 2 0 世纪6 0 年代，e l e y 等人认为d n a 分子链子可以看成一维系统，更有一些学者 认为d n a 可以被描绘成无序二元固体模型，并可以用安德逊模型来模拟计算。 我们知道d n a 中核苷酸位能只能有4 个值，即四个不同的核苷酸：鸟嘌呤( g ) 、 腺嘌呤( a ) 、胞嘧啶( c ) 、胸腺嘧啶( t ) 。对于d n a ，公式( 1 - 1 ) 中的参数占。描述 位托处空穴的能量，由各自基的电离势给出，取作 毛= 8 2 4 e v ，e t = 9 1 4 e v ，s c = 8 8 7 e v ，& = 7 7 5 e vd o ，而且f = f 删，在0 4 1 o e v 3 之间。这四个值的分布依赖于序列：即它们即不是有序的，也不是完全无序的啪3 ，因 此，我们很自然的考虑到准周期位能序列。a l b u q u e r q u e 等人用r _ s 模型产生一个 准周期序列强。四种元素( g ，c ，a ，t ) 的膨胀规律是： g g c ：c g a ：a 斗t c ：t 哼以，从g 开始( 第一代) ，前七代是g ，g c ，g c 例， g c g a g c t c ，g c g 么g c 兀t g c g 么删g a ，用f 作用于元第i 代的卜s 模型的元素 上，当i 1 时，我们得到e + = 2 曩，因此前几代的位数是1 ，2 ，4 ，8 ，1 6 ，第 1 3 代的位数是4 0 9 6 ，这就是d n a 的准周期模型。 1 3 在一维非关联或关联( 考虑长程幂率关联) 无序系统中安德逊模 型中位能分布情况对比 安德逊在其设计的无序模型中，当不考虑格点之间的相互作用即不考虑长程关联 内蒙吉师范大学硕士学位论文 作用时，假设占咒在形宽度内是连续均匀分布的，如图卜l 所示所有的格点位能锄都 在i 一詈，詈l 范围内且均匀分布，每一个格点位能占，z 在图中方框内出现的次数相同， 其分布概率是谚1 ，而在i 一手，等l 范围外没有格点位能出现，其分布概率为0 0 这种 假设显然是一种理想化的考虑，忽略了粒子之间的相互作用。 当考虑格点之间的相互作用时，我们这里只考虑格点之间的长程幂率关联相互作 用，为了方便画图我们取链长t = 5 0 0 0 ，关联指数a = 1 。5 ，无序度形= 3 0 的情况， 利用长程幂率关联公式( 1 - 3 ) 产生一组( 5 0 0 0 个数) 随机位能。然后对这组随机位 能做如下处理： 1 、把区间l 一手，詈i 等分成9 9 份，每个区间为 一_ + 1 ) ，其中一，- + 。分别是第 个区间的上下限，只有第9 9 个区间为【b ，要】，是完全闭区间。 2 、把5 0 0 0 个随机位能放入对应区间。因为我们在计算中已经把公式l 一8 中产生 的随机数标准倒睁导舾内，所以这组随机数必然都在区间一罢卜 3 、数出每个区间内随机位能数，z ，。 4 、关联无序系统的随机位能分布概率就可以表示为： 雕) = 南 ( 1 9 ) p ( 占) 表示随机位能的分布概率。 从图卜2 可以看出，长程幂率关联的格点位能不再是均匀分布，位能主要集中在 f 一1 o ，1 0 1 区间内，在此区间外位能出现的几率几乎为零，而在零点附近位能出现的 _ 几率最高。这与无序系统的实际情况符合的比较好。当无序系统中计入格点之间位能 的相互作用时，原有的位能分布体系被破坏，无序系统中的位能将重新分布，重新达 到平衡的系统，其格点位能大部分将分布在能带中心附近，而在带尾处，格点位能出 现的几率且l 垩为零。因此，在研究长程关联无序系统过程中，大部分学者利用长程幂 6 第一章绪论 率关联和高斯关联作为产生随机位能的数学工具。 10 0 ，_ 、 o9 0 o o 钆 4 0 1 5- 1 0- o 5 图1 - 2考虑长程幂率关联时。 a _ 1 5 ，种= 3 0 ) 1 4 本文的研究意义和主要内容 0 口口51 01 5 格点位能的分布概率图( n 5 0 0 0 非关联无序系统是一种理想化的、简化了的模型，它的研究成果，对我们深入研 究无序系统起到了积极作用，为我们进一步开展关联无序系统的研究打好了扎实的基 础，而我们实际接触的许多无序领域如d n a 序列、心脏跳动、气候变化、材料科学等， 其实它们的空间无序是互相关联的，因此我们进行关联无序系统的研究有着更重要的 现实意义。目前，学者们把目光集中到了长程高斯关联和长程幂率关联两种关联形式 上，并在考虑两种关联的情况下，进行了大量有意义的工作，特别是目前，在研究蛋 白质、d n a 等生物系统的导电性时口2 删，很多学者曾提出，具有随机碱基序列的d n a 内蒙古师范大学硕士学位论文 双螺旋链可以看成一维无序系统d n a 一维随机碱基序列模型，若将上述方法运用 到该模型中，研究其电子的局域化特征、电子沿一维链在这些局域混杂状态中跳跃对 系统的电导所起的作用等问题，就可以帮助我们揭示生命的某些奥秘。 大部分学者目前在研究无序系统性质过程中，把局域长度作为描述无序系统的测 度，还有一些学者聆鄙把李亚普诺夫指数作为无序系统的一种测度，也有一些学者认为 m 删纠缠也可以作为无序系统的- 种定量描述，也可以被用来研究无序系统的性质， 本文就尝试着利用并发纠缠来研究无序系统。 还有一些学者m 1 对长程高斯关联和长程幂率关联在研究关联无序系统中的不同点 产生了兴趣，并通过计算进行了对比，发现在考虑长程幂率关联时，在并发纠缠随无 序度的变化图中存在着带结构，而长程高斯关联中没有这种现象。但其计算的链长比 较短。本文讨论了考虑较长链情况时安德逊模型的并发纠缠随无序度、关联指数的变 化，深入研究在长程幂率关联无序系统中是否仍然存在着带结构，以及这些带结构的 一些变化规律。 第二章无序系统测度分析 2 1 序言 第二章无序系统测度分析 学者们在很早以前就开始了对无序系统中电子态的研究工作，但由于数学计算 工具的不发达，极大的限制了这方面的研究，一时之间使得研究陷入困境，尤其是对 于长程关联无序系统的研究更是寸步难行。随着科学的不断发展，安德逊无序模型的 建立，傅立叶滤波法的改进，关联截断等问题的解决，对无序系统中电子态的研究工 作重新引起学者们的注意，学者们尝试着用各种方法讨论、分析无序系统中电子态的 性质n 1 2 2 3 啪5 1 。在众多作为无序系统电子态的局域化性质定量描述的物理量中，用的 比较多的是局域长度。局域长度作为一种定量描述无序系统中电子态局域化性质的物 理量，已经被大多数学者所认同。李亚普诺夫指数被用来研究无序系统中局域化一退 局域化现象，也得出了很好的结论。近期，有一些学者认为纠缠也可以作为一种对无 序系统电子态局域化性质进行定量描述的物理量，并在这些方面做了一些工作。下面 就将这三种描述无序系统中电子态局域化性质的测度进行对比分析。 2 2 无序系统中测度( 一) 局域长度 局域长度作为系统中电子局域化程度的定量描述，是反映系统的导电性能的重要 参数，也是衡量系统的局域相和绝缘相转变的关键指标幢1 ，对局域长度随系统的本征 能量、无序度及系统大小变化关系的研究是目前许多作者所关注的内容。 如果系统的波函数表示成格点轨道波函数基的线性组合 沙= 矽小 l ( 2 1 ) 其中办为波函数在第f 个格点上的振幅。则系统的局域长度兄( e ) 在给定的能量e 处被 定义为门明 内蒙古师范大学硕士学位论文 志a ( e = n n - m ，o o 土nh 引) l 死i ( 2 2 ) 其中为系统的格点数。这样通过改变系统的能量值e ，再结合系统的薛定谔方程 和式( 2 - 2 ) 就可以得到相应的局域长度值a ( e ) 。局域长度越大，表示系统的局域化 程序越弱，当局域长度大到一定程度时，系统就由局域态转变为扩展态，系统表现出 金属性。反之，局域长度越小，表示系统的局域化程度越强，可认为是一个绝缘体。 刘等他5 3 钔学者分别计算了引入长程关联和不引入长程关联情况下一维无序安德逊 模型，得出了一些非常有意义的结论。 从图2 1 中我们可以看出，系统的局域长度a ( e ) 随本征能量e 的变化而变化， 在能带的中心部分，局域长度大，而在远离中心的部分，局域长度小，说明在能带的 中心附近，电子波函数的局域化程度要弱，这一结论和莫特的关于迁移率边缘的理论 相一致，莫特认为系统中的扩展态总是率先出现在能带的中心，而局域态则往往出现 在带尾处。 从图2 2 中容易看出，局域长度随着无序度的增加而减小，完全符合一般的电子 输运理论。当无序度增加时，电子受到的散射作用加强，扩散受阻，局域化程度就越 强：当无序度趋向零时，局域长度趋向于无穷大，则对应于有序条件下的扩展态。同 样我们对比一下a 和b 两条曲线，可以发现，本征能量越小，即越接近能带中心，局 域长度越长，与图2 - 1 中结论一致。 图2 - 3 是不考虑长程关联情况下一维无序安德逊模型中局域长度a ( e ) 随本征能 量e 的变化关 o 第二章无序系统测度分析 系，图2 - 4 、图2 - 5 、图2 - 6 是考虑长程幂率关联情况下一维无序安德逊模型中局域 长度a ( e ) 随本征能量的变化关系图。系统格点数为n = 2 1 3 ，从图2 3 看出，由于 不考虑格点之间的长程关联作用，局域长度远远小于系统长度，系统处于局域态。当 系统计入关联后，即关联指数p 0 时，如图2 4 ，取p = 1 5 时，系统局域长度普遍 增大，当关联指数进一步增大时，如图2 5 ，当p = 2 0 时，系统局域长度明显增大， 而且在能带中心e = 0 0 附近出现了局域长度大于系统尺寸的扩展态，也就是在能带 中心出现了关联诱导的金属一绝缘体转变。当关联指数进一步增加时，如图2 - 6 ，取 p = 2 5 时，这种退局域化现象更加明显，在能带中心附近出现了更多的扩展态，系 统的退局域化现象更加明显。 。 这样的计算结果有很多，这些计算结果中大部分都很好的与理论吻合，从这些计 算结果中我们得出了一些非常有意义的结论，有助于进一步分析关联无序系统。同时 我们也可以看出，局域长度是反映无序系统中电子定域化程度的一个非常好的测度。 嘲2 一广1 计及缀近邻时局域长度与本诬能攮的变化关泵 内蒙古师范大学硕士学位论文 国2 2 1 考堪堆近邻时局域长度随无咿度的变化芙幕 e 图2 3 叫布考虑关联隋况下局域长度量随能量f 的变化若系 黜 m 啪 加 。 第二量无序系统测屋丹枷 点 图2 - 4 。”长程筹鞋最辱囊妩中局域长度五随自l 量鲫q 受化关舞 0 0 ，50 00 51 0i 5 图2 l b 删长程关联无序系统中局域长度工随能量层的变化关系 吣 吣 吣 o 吣 帅 蛐 内蒙古师范大掌硕士学位论文 6 上 图2 萨”长程关联无序系统中局域长度三随能量点的变化关系 23 无序系统中测度( 二) 李亚普诺夫指数 李亚普诺夫指数，( d 作为描述无序系统中电子局域化性质的另外一个测度，它 有一个非常重要的特性：如果在系统的整个能区范围内，( e ) 的取值都是不为零的有 限值，则表明该系统中所有的电子态都为局域态，如果在系统的某一能量范围内y ( z 1 的取值为零，则表明在该能量范围内系统中出现了局域长度大于系统尺寸的扩展态。 根据李亚普诺夫指数，( f ) 的这一特性，完全可以计算出无序系统中局域化一退局域 化转变中的一些重要性质，因此，引起了许多学者的兴趣。 邓等”人在一维长程关联无序系统中利用李亚普诺夫指数y ( e ) 研究了关联指数 p 和无序度。 在一维长程关联无序系统中李亚普诺夫指数y f e l 用重整化群的方法处理后定义 为”“ y ( e ) = 一。l i r a ，。l ( 1 l n l 杼( e ) 0 ( z 一。 第二章无序系统测度分析 其中蟹( e ) 是有效跳跃积分。 在这里考虑到关联指数p 和无序度形是决定长程关联能量序列 e i ) 无规性、体现 无序系统电子性质的重要物理量，其中关联指数p 决定了能量分布曲线的粗糙程度， 而无序度形则关系到能量序列 乞 的分布宽度，即能量振幅。而利用长程幂率关联公 式产生的关联能量序列 s ， 并不能体现无序度对无序系统性质的影响。因此他们对由 傅里叶滤波法产生的长程幂率关联能量序列 乞 进行了修正： ，、形 t ( 形) = 意 ( 2 - 4 ) 其中修正项叫1 2 是高斯分布的标准偏差，这样修正后的长程关联能量序列f q ( 矿) 就可以通过无序度形来控制格点能量的振幅，也恰好体现了无序度能够决定能量序 列的无规性。 从图2 - 7 可以看出，在无序度形一定时，当p 较小( p = 1 0 ) 时，在所取的整 个本征能量范围内，y ( e ) 均为有限值，表明系统中所有的电子态都为指数衰减形式 的局域态，当p = 2 0 时，系统中出现了局域态向退局域态转变的临界状态，当p = 3 0 时，可以很明显的看到在较大能量范围内出现了r ( e ) = 0 的情况，此时系统中出现了 大量的扩展态。 从图2 - 8 可以看出，无序度w = 2 0 时，李亚普诺夫指数y ) 在很大的本征能量 范围内都等于零，这说明较小的无序度对系统中出现的退局域化状态不会产生影响， 系统中仍有大量的扩展态存在。当w = 3 0 时李亚普诺夫指数y ( ) 逐渐变大，系统中 扩展态的能量范围逐渐变小，说明此时有扩展态向局域态转变。当扩展态完全消失时， 系统中也就发生了退局域化向局域化的转变。图2 9 、图2 - 1 0 中分别取p = 2 5 和 p = 3 0 进行与图2 - 8 中类似的计算，结果发现他们变化的趋势几乎相同：随着无序 度的增加，退局域态逐渐消失，直到系统中所有的电子态都成为局域态，但是当关联 指数p 不同时，无序系统中出现退局域化向局域化转变过程中，无序度的临界值不同。 通过对李亚普诺夫指数，( 鳓、无序度以及关联指数p 三者之间的计算发现： 内蒙古师范大学硕士学位论文 无序系统的局域态随着无序度形的增加而增加，随着无序度矽的减小而减小；随着 关联指数p 的增加而减小，随着关联指数p 的减小而增加。而且当无序度形和关联 指数p 取某些值时，无序系统会出现局域化一退局域化转变。从分析中我们可以看出 李亚普诺夫指数y ( e ) 对于研究系统的局域化一退局域化转变以及无序度形和关联指 数p 对无序系统的影响是非常有益的。 ， 【站 、 k 占 鞠2 7 咖无序度w 一定丽关联指数p 不同时l y a p u n o v 指数y ( e ) 隧本征能量e 的变化关系 1 6 第二章无序系统测度分析 、 国 、， k 互 图2 8 嘲关联指数p = 2 0 而无序度w 不同时l y a p u n o v 指数y ( 历) 随本征能量e 的变化关系 w 。= 3 4 8 ，、 吣 、_ ， k 0 3 0 2 0 1 o 0 e 图2 9 嘲关联指数p = 2 5 而无寄度彬不同时l y a l 川r i i l 、指数y ( 髟) 随本征能最f 的变化关系 w 。= 4 1 8 1 7 内蒙古师范大学硕士学位论文 ，_ 、 吣 、 k e 圈2 1 0 晡1 关联指数p ：3 0 而无序度w 不同时l y a p u n o v 指数y ( e ) 随本征能壁e 的变化关系 w 。= 4 5 4 2 。4 无序系统中测度( 三) 并发纠缠 纠缠是量子理论中一个非常基本的概念，它是只存在于量子系统的非局域、非经 典的关联，它可以用来测量这种非局域的关联，这样我们就可以很容易理解强的局域 可以降低纠缠。因此，一些学者认为纠缠可以作为一种新的研究无序系统的测度。 g u o 等1 人出于这样考虑，把纠缠作为一种新测度对无序系统的性质进行了研 究。平均并发纠缠的定义式为 n ( c ) = 上 ( 川) 2 - 1 ( 2 - 5 ) 这里m = n ( n 一1 ) 2 ，是f 处基态波函数。 图2 - 1 1 是考虑长程高斯关联情况下平均并发纠缠随无序度的变化关系，图2 - 1 2 是考虑长程幂率关联情况下平均并发纠缠随无序度的变化关系。从两个图中我们可以 看出平均并发纠缠随着无序度的增加而减小，反之增加。在长程高斯关联中平均纠缠 第二章无序系统测度分析 随着关联指数的增大而增大，随着关联指数的减小而减小。这与前面两种测度得出的 结论相似。但是在考虑长程幂率关联情况时，平均纠缠并不总是随着关联指数的增大 而增大，减小而减小，而是当无序度比较大的时候，对应不同的关联指数的平均并发 纠缠随无序度的变化曲线会发生跳跃现象，即平均并发纠缠随无序度变化的关系曲线 会发生交叉。不仅如此，如图2 一1 3 中，当无序度比较大的时候并发纠缠随无序度变 化的关系曲线中出现了明显的带结构。这些现象都是利用前面几种测度研究无序系统 没有出现的现象，也正是我们需要进一步研究的工作。 w 图2 1 1 嘲考虑长程高斯关联时平均并发纠缠随无序度的变化关系 内蒙古师范大学硕士学位论文 、 甘 l o h 、_ 4 、 b 、一， ，、 吲 i o f l 叫 、- ， ， b 、， 0 1 图2 1 2 呻1 平均并发生1 缠与关联指数、无序度之问的变化关系图 w 图2 13 西考虑长程幂率关联时，平均并发圳缠随无序度的变化关系 第三章一维长程幂率关联无序系统中并发纠缠的带状结构 第三章一维长程幂率关联无序系统中并发纠缠的带状结构 3 1 引言 最近人们对关联无序安德逊模型( t h ec o r r e l a t e d d i s o r d e ra n d e r s o nm o d e l ) 产生了浓厚兴趣m j 吼删。对其进行了大量的研究，也得出了许多有意义的结论。但大 部分学者只把局域长度和李亚普诺夫指数作为研究无序系统性质的测度，而对并发纠 缠和纽曼熵等测度没有足够的研究。g u o 等n 3 町在无序系统中引入并发纠缠，对比 了考虑长程幂率关联和高斯关联情况下一维安德逊模型基态的并发纠缠，计算了短链 ( n = 2 0 0 0 ) 情况下的并发纠缠。发现考虑长程幂率关联时，并发纠缠曲线中出现了带 结构，并且发现长程幂率关联对无序系统的影响更大一些。但其只计算了n = 2 0 0 0 的 短链情况，对较长链和长链系统没有进行说明，本文中我们适度扩大链长，讨论了较 长链情况下一维安德逊模型基态的并发纠缠，进一步讨论了并发纠缠带结构中带宽的 变化规律。通过计算进一步讨论把并发纠缠作为无序系统的测度、来对无序系统进行 研究的可能性。 3 2 模型的建立 安德逊模型的哈密顿量应用式( 卜i ) ，其中，z ( ，) 是点阵位能，茸( 4 ) 是产生( 湮 灭) 算符，占。是随机对角位能，它的变化范围是 了w ，了w ，w 是无序度，气是最近邻 位，与，之间的跳跃矩阵元。 我们知道利用式( 2 2 ) 产生的随机位能并不在区间 了w ，w 了】内，而且与无序度 w 无关，不能体现无序度w 对系统局域化程度的影响，也不符合安德逊模型的要求【2 ， 因此我们根据安德逊模型对式( 2 - 2 ) 产生的随机位能进行修正，修正公式为 内蒙吉师范大学硕士学位论文 = 孚( 兰+ 毪 睁。， z g m 觚一占m i n占m a ) ( 一占m i n j 、。“ 其中w 表示无序度，占。表示公式( 2 2 ) 产生的随机位能，s 一表示随机位能中最大 的位能值，。表示随机位能中最小的位能值，表示经公式( 3 一1 ) 修正后的位能， 如图卜2 所示，经修正后的随机位能全部在区间【- w 虿，了w 内。 考虑紧束缚近似，安德逊模型的哈密顿量： 百= 占以弧+ 弧+ ，净2 ， ，z 本文只考虑对角无序系统，所以取t 为常数。 只考虑最近邻格点之间的跳跃积分，取k 1 ，上式为： 即 疗= 占以6 麓+ f 6 k 。 ( 3 _ 3 ) 疗 疗= 占甩弧+ ( 弧+ 。6 ) ( 3 _ 4 ) 系统的本征值方程可以表示为 h v = e v 把式( 3 - 5 ) 带入薛定谔方程中得到式 拍) 中 ( 3 - 5 ) 第三章一维长程幂率关联无序系统中并发纠缠的带状结构 一f ( 沙以+ 1 + 妙刀一1 ) + 占聆少咒= e 妙n ( 3 - 6 ) 这个方程可以写成矩阵的形式： 占l t0 一t 占2 - t 0 一t 占3 0 0 一t ooo o o o 三0 骓 ? 舭 占| 一lt | ly | 一l i | 一t 占li 吵 = e 沙1 y2 3 y4 yn l 沙n 取t = 1 ，上面方程的哈密顿量很容易被对角化从而得到本征值和本征矢m 1 。 我们只考虑基态波函数，平均并发纠缠公式m 4 ： ( c = - 【1 ( 善n 帅2 1 这里m = n ( n 一1 ) 2 ，是i 处基态波函数。 3 3 一维安德逊模型基态的平均并发纠缠 ( 3 7 ) ( 3 - 8 ) 首先我们计算了维安德逊模型基念的平均并发纠缠，这里只考虑关联对角无序 系统，系统长度分别取n = 1 0 0 0 、2 0 0 0 5 0 0 0 ，计算结果如图3 1 到图3 6 所示 2 3 一 一 一 一 一 一 0 0 o 气；0 0 内蒙古师范大学碗士学位论文 口0 7 5 ， = 0 唧 w 圈3 qn - 1 0 0 。对，平均并发纠缠随无序度的变化曲线 w 圈3 2n = 2 0 0 0 时平均并发纠壤髓无序度的变化曲线 第三章一维长程幂幸关联无序系统中并发q 缠的带状结构 一0 0 0 8 毛 凸d o 口b1 誉- a - a = 2 0 w 圈3 3r r 3 0 0 0 时平均并发纠缠醚无序度的变化曲线 w b 9 3 - 4r | - 3 5 0 9 时平均并发纠缠随无序度的变化曲线 内蒙古师范太学硕士学位论文 4 68+ 1012 w 图3 5n = 4 0 0 0 对平均并发纠埋随无序度的变化血筑 图3 6n = 5 0 0 0 时，平均并发纠缠随无序度的变化曲线 从图31 一图3 - 6 可| 三e 看出，总体上并发纠缠随着无序度的增加而碱小，随着无序度 的减小而增加，这与理论是相符的。同时我们也发现正如g u o 等人。 。”所预测的，在 第三章一维长程幂率关联无序系统中并发纠缠的带状结构 维安德逊模型中考虑长程幂率关联时，随着w 的增加，并发纠缠不仅在短链 ( n = 1 0 0 0 ，n = 2 0 0 0 ) 情况下出现带结构( 如图3 1 ，图3 - 2 所示) 而且在较长链中也 出现了带结构( 如图3 - 6 所示) 。上面的带与较高的并发纠缠对应，下面的带与较低 的并发纠缠对应。同样在较长链中我们也可以看到曲线的跳跃，跳跃可以发生在带间 ( 如图3 4 中g = 15 的曲线) ，也可以发生在带内( 如图3 r 5 中口= 5 0 的曲线) ，而 且这些跳跃总是从平均并发纠缠高的地方向平均并发纠缠低的地方跳跃。根据公式 ( 3 1 0 ) 我们知道并发纠缠反映系统波函数的性质，因此可以确定存在跳跃的地方， 系统状态的局域程度会有很大变化，需进一步研究。我们从图中也可以明显看出，随 着n 值的变化，每组曲线中带的宽度也不同。实际上这种带结构在相关文献中也存在。 如图3 7 ，在关联指数p 比较小( 例p = 15 ) 时，局域长度在能带中心附近有最大值， 从图3 7 中看出其值小于3 0 0 ，再看图38 ，当关联指数p 增加时( 例p = 2 0 ) ，局 域长度在能带中心附近有展大值，其值接近1 1 0 0 0 ，而能带中心附近其它值也远远大 于3 0 0 ，如果把两个图放在一起，我们可以发现在两个图中间有一个根大的空间，由 此我们推断在计算对应于不同关联指数的局域长度随本征能量变化图中，也存在着类 似的带结构。 点 圈3 呵长程* 联无序系统中局域长度随雒量的变化关系 内蒙古师范大学硕士学位论文 ：萋2 0 0 0 一 34 本章小结 本章我们从安德逊模型入手，考虑长程幂率关联，计算了安德逊模型链的并发纠 缠、无序度和关联指数三者之间的变化关系。我们将长程幂率关联产生的随机位能标 准化到了区间 w _ ，半 内，从而与无序度建立关系。并旋纠缠作为研究长程关联无 zz 序系统新的测度，已经被一些学者认同。通过计算我们发现，考虑长程幂率关联时， 对应于，定的关联指数p ，并发纠缠是随着无序度的增加而减小的随着无序度的减 小而增加，我们知道无序度越大，无序系统的局域化程度就越强，强的局域将降低纠 缠，计算结果与理论一致。但是有趣的是当无序度一定时，并发纠缠与关联指数并没 有发现存在类似局域长度与关联指数的关系。同时我们也发现在并发纠缠随无序度的 变化关系中存在着带结构，这种并发纠缠的带结构在短链中和较长链中都存在。而且 在较长链中也存在着带间或带内跳跃。对此，我们查阅了有关资料，发现在一些文章 中似乎也存在着类似的带结构，但其并没有对这些带结构进行说明。考虑到并发纠缠 反映的是波函数的性质囡此我们可以推断出在发生跳跃的地方，系统状态一定存在 着某种较大的变化。这需要我们做更加深入的研究。 第四章并发纠缠的平均宽带 4 1 引言 第四章并发纠缠的平均带宽 对于图3 一l 一图3 - 6 中出现的带结构，我们还需要进一步查阅资料，寻找理论支 持，并做更深入的研究。本章的主要内容就是要考察图中出现这种带结构的带宽的走 势。我们从图3 1 一图3 - 6 中可以明显的看到考虑长程幂率关联的情况时，平均并发 纠缠随无序度的变化曲线中出现的带结构在每组图中的宽度不同，上面带中的曲线数 也不同，而且带间或带内曲线的跳跃规律也不同，所以我们对带宽的变化规律做了进 一步讨论，计算了平均带宽的变化情况。 4 2 平均带宽的计算 在图3 1 一图3 6 中，口取1 5 、1 7 、2 o 、2 0 5