《复数及复平面》PPT课件.ppt

第一章复数及复平面,本章给出复数的定义,运算及其运算性质.也讨论复平面的有关拓扑的概念.,第一节,复数及其几何表示,1.复数域,定义:形如x+iy的数称为复数,其中x,yR,i为虚数单位,合于i2=-1;x,y分别称为实部和虚部,分别记为x=Rez,y=Imz,这里z=x+iy.两个复数z1,z2相等当且仅当Rez1=Rez2,Imz1=Imz2.记作z1=z2.若Imz=0,则z为实数.若Imz0,则称z为虚数.若Imz0,Rez=0,则称z为纯虚数.,全体复数所成的集合称为复数集,记做C.而R是C的一个子集.对复数引进加,减,乘,除运算,这样在C上引进了代数结构,则复数集成为复数域,仍记之为C.运算定义如下:设a1,a2;b1,b2R,则定义:加法(a1+ib1)+(a2+ib2)=(a1+a2)+i(b1+b2)减法(a1+ib1)-(a2+ib2)=(a1-a2)+i(b1-b2),乘法(a1+ib1)(a2+ib2)=(a1a2-b1b2)+i(a1b2+a2b1)除法(a2+ib20),2.复平面,复数z=x+iy平面上点(x,y)平面上以0为始点,(x,y)为终点的向量.R2上的点看作复数后称平面为复平面,此时,横坐标轴及纵坐标轴分别称为实轴和虚轴.当复数z=x+iy与平面上以原点为始点,(x,y)为终点的向量相对应时(一一对应),复数的加,减运算与平面上向量的加,减法法则一致.在一般情况下,不再区分复数与其对应的点和向量.,7,在复平面上,复数z还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应,因此复数z也能用向量OP来表示.向量的长度称为复数z的模，记作,O,x,y,x,y,q,P,z=x+iy,|z|=r,8,显然,对于模有下列各式成立：,9,在z0的情况，即P点不是原点，以正实轴为始边,表示z的向量OP为终边的角的弧度q称为z的幅角,记作Argz=q。幅角的方向规定为：逆时针方向为正，顺时针方向为负。这时,有,10,任何一个复数z0有无穷多个幅角,如果q1是其中的一个,则Argz=q1+2kp(k为任意整数)(1.3)给出了z的全部幅角,在z(0)的幅角中,将满足-pq0p的q0称为Argz的主值,记作q0=argz,向量z=x+iy的长度称为复数z的模,记做|z|.显然实轴的正向与向量z之间的夹角(z0)称为z的辐角,记作,显然有无穷多个不同的值,记作Argz=+2k,kZArgz中的任一确定的值记作argz,其中只有一个值满足-,称它为z的辐角主值.,归纳：,对复数z(0),有Rez=|z|cos(Argz),Imz=|z|sin(Argz)且z=|z|(cos(Argz)+isin(Argz)=r(cos+isin)称之为复数z的三角表示.,称复数x-iy为复数x+iy=z的共轭复数,记作.显然,共轭是相互的.性质|z|=|,Argz=-Arg.(从集合的角度认识等式)|z1+z2|z1|+|z2|(两边之和大于第三边).|z1|-|z2|z1-z2|(两边之差小于第三边).|Rez|z|,|Imz|z|z|2=x2+y2=z,14,由复数运算法则,两个复数z1和z2的加减法和相应的向量的加减法一致.,z1,z2,z1+z2,成立不等式|z1+z2|z1|+|z2|(三角不等式),15,减法:,z1,z2,z1-z2,-z2,|z1-z2|z1|-|z2|,例1:试用复数表示圆的方程a(x2+y2)+bx+cy+d=0(a0)其中a,b,c,d是实常数(如果a=0,b及c不全为0,则方程退化为直线方程）,积、商之模与辐角,|z1z2|=|z1|z2|Arg(z1z2)=Argz1+Argz2注:关于辐角关系要从集合的角度来理解.,例3:设z1,z2是两个复数,求证:|z1+z2|2=|z1|2+|z2|2+2Re(z1)并利用这一等式证明:|z1+z2|z1|+|z2|例4:作出过复平面C上不同两点a,b的直线以及过不共线三点a,b,c的圆的表示式.,乘幂与方根,若z=rcos+isin,则zn=rn(cos(n)+isin(n)k=0,1,n-1.,例5.求的所有值,3.复球面及无穷大,本小节讨论复数在复球面上的几何表示.利用测地投影法.考虑球面S:x2+y2+u2=1.取球面上一点N(0,0,1),称为球极.作连接N与xy平面上的点A(x,y,0)的直线,此直线与球面交与点A(x,y,u),称A为A在球面上的球极射影.如此在复平面C与S-N之间建立双射.,22,复球面,N,O,y,P,z,x,S,约定:在复平面上有一个理想的点,称之为无穷远点,其球极射影为N.无穷远点以及N都看作非正常复数无穷大(记作).集C称为扩充复数集(记作C),复平面C称为扩充复平面,仍记作C.如此球面S与扩充复平面之间建立