旋转翻折解题方法总结

1 / 36 旋转翻折解题方法总结 巧旋转妙解题 【教学目标】经历观察、欣赏认识图形旋转的存在，理解图形旋转的意义；通过操作、观察、归纳、实践，探索旋转在中考试题中的巧妙应用。让学生通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神。通过学生观察、归纳、比较、抽象图形等数学活动，让学生感受数学的严谨性，图形中蕴含的规律性，提高学生学习数 学 的热情及大胆探究新知识的创新能力。 【教学重点】中考对旋转应用的基本考察要求 【教学难点】巧妙运用旋转解决问题 【教学过程】 【课堂引入】 2 / 36 请阅读下列材料 问题：如图 1，在等边三角形 ABC内有一点 P，且 PA=2， PB= BPC度数的大小和等边三角形 ABC 的边长 李明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将 BPC 绕点 B 逆时针旋转 60 ，画出旋转后的图形连接 PP ，可得 PPB是等边三角形，而 PPA 又是直角三角形 请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题： 图 2 中 BPC 度数的大小和等边三角形 ABC的边长 如图 3，在正方形 ABCD内有一点 P，且 PA= BPC度数的大小和正方形 ABCD的边长 若正六边形 ABCDEF 内有一点 P，且 PA=2 ， PB=4， PC=2，则BPC 3 / 36 的度数为 _，正六边形 ABCDEF的边长为 _。 ， BP=， PC=1求 ， PC=1求 图 4 【知识准备】 一个图形围绕某一点由一个位置转到另一个位置的运动叫旋转，这个点叫做旋转中心。确定图形旋转的三个要素是：旋转中心、旋转方向、旋转角度。图形旋转的主要特征是：图形中每一点 都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，图形的形状与大小没有发生变化。 我们在解题中运用图形旋转的主要目的是：把给定的图形绕某一点旋转后，图形会发生新的组合，重组后的图形能把题目中的条件相对集中，从而使问题得到解决。 【例题讲解】 4 / 36 一、以正三角形为基础的图形的旋转变换 例 1、如图 3，等边 ABC 中， O 为其内一点，且 OA 3， OB 5， OC 4，求 AOC 的度数。 二、以正方形为基础的图形的旋转变换 三、以等腰三角形为基础的图形的旋转变换 例 3、如图，在 ABC 中， AB AC， D 是三角形内一点， DC DB。 求证： ADB ADC 四、旋转 180 中心对称 例 4、如图，在 ABC 中， D 是 AB 的中点， E、 F分别是 BC、AC上的点。 求证： 【课堂总结】 小结：从以上数例可知 , 以正三角形 , 正方形 , 等腰三角形 , 5 / 36 线段的中点或中线为基础的图形的旋转变换 , 一般步骤是： 1确定旋转中心： , 正三角形 , 正方形一般以顶点为旋转中心 , 等腰三角形一般绕顶角的顶点旋转 , 中线一般绕中点旋转 1 确定旋转对象即被变换的图形 , 一般把某一个三角形旋转到新的位 罝 , 例 1, 例 2, 例 3, 例 4都是如此 , 2 确定旋转的方向和角度 , 旋转的方向 只有顺时针或逆时针 , 旋转的角度 正三角形旋转角一般 600, 正方形旋转角一般为 900, 等腰三角形旋转角一般为顶角的度数。 【课后作业】 已知 ABC 是等边三角形， E 是 AC 边上一点， F 是 BC边延长线上一点，且 CF=AE，连接 BE、 EF 如图 1，若 E 是 AC 边的中点，猜想 BE 与 EF 的数量关系6 / 36 为 . 如图 2，若 E是线段 AC上的任意一点，其它条件不变，上述线段 BE、 EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明 如图 3，若 E是线段 AC延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段 BE、 EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明 A E B FBBF F 中考常考题型 正三角形类型 7 / 36 在正 ABC 中， P 为 ABC 内一点，将 ABP 绕 A 点按逆时针方向旋转 60，使得 AB与 AC重合。经过这样旋转变化，将图中的 PA、 PB、 PC三条线段集中于图中的一个 PCP 中，此时 PAP 也为正三角形。 例 1. 如图：设 P 是等边 ABC 内的一点， PA=3， PB=4，PC=5， APB 的度数是 _. 正方形类型 在正方形 ABCD 中， P 为正方形 ABCD 内一点，将 ABP 绕 B点按顺时针方向旋转 900，使得 BA 与 BC 重合。经过旋转变化，将图中的 PA、 PB、 PC三条线段集中于图中的 CPP 中，此时 BPP 为等腰直角三角形。 例 2 . 如图： P 是正方形 ABCD 内一点，点 P 到正方形的三个顶点 A、 B、 C的距离分别为 PA=1， PB=2， PC=3。求此正方形 ABCD面积。 8 / 36 等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形 ABC 中， C=Rt , P 为 ABC 内一点，将 APC 绕 C 点按逆时针方向旋转 900，使得 AC 与 BC重合。经过这样旋转变化，在图中的一个 P CP 为等腰直角三角形。 例 3如图，在 ABC 中， ACB =900 ， BC=AC， P为 ABC内一点，且 PA=3， PB=1， PC=2。求 BPC 的度数。 平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形 (或其一部分 )施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系这类实体的特点是：结论开放，注重考查学生的猜想、探索能力；便于与其它知识相联系，解题灵活多变，能够考察学生分析问题和解决问题的能力在这一理念的引导下，近几年中考加大了这方面的考察力度，特别是 XX 年中考，这一部分的分值比前两年大幅度提高。 为帮助广大考生把握好平移，旋转和翻折的特征，巧妙利用平移，旋转和翻折的知识来解决相关的问题，下面以近几年9 / 36 中考题为例说明其解法，供大家参考。 一平移、旋转 平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移 “ 一定的方向 ” 称为平移方向，“ 一定的距离 ” 称为平移距离。 平移特征：图形平移时，图形中的每一点的平移方向都相同，平移距离都相等。 旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角 旋转特征：图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角。 例 1如图，将 ABC 绕顶点 A 顺时针旋转 60o 后得到ABC ，且 C 为 BC的中点，则 CD:DB= A 1:2 B 1: C 1: D 1:3 10 / 36 分析： 由于 ABC 是 ABC 绕顶点 A 顺时针旋转 60o 用 “ 旋转 ” 来破百思不解题 江苏省盐城市阜宁县明达中学 李响 邮 :224400 联系 随着新课改的进一步深入 ,在初中教材中也出现了很多利用旋转知识进行有关计算或证明的题目 ,然而很多学生在解题时往往忽略这种方法，致使对某些题目找不到解题的瓶颈，甚至无从下手 ,而针对某些题目 ,利用旋转这一数学思想就能打破常规使较为复杂的问题得以顺利求解。下面就几个例题分析和大家一起探讨 . 例 1. 如图 1， P是正三角形 ABC内的一点，且 PA=6， PB=8，PC=10。求 APB 的度数。 图 1 解析：由于已知条件与 APB 没有直接的联系，同时给人以条件分散的感觉，因此考虑通过旋转使条件集中起来。 11 / 36 将 PAC 绕点 A 逆时针旋转 60 后，得到 FAB ，连接 PF，则 BF=PC=10， FA=PA=6， FAP=60 。 FAP 是等边三角形， FP=PA=6。 在 PBF 中， BPF=90 APB=APF+FPB=60+90=150 图 2 例 2、 如图 3，四边形 ABCD 中， AB=4， BC=7,CD=2,AD=x 则x 的取值范围是 A、 1 图 3 图 4 图5 分析：这道题如果用三角形边的性质来解十分抽象，难度很大。如果能运用旋转思想， 12 / 36 便会十分简便。把四边形 ABCD中的 B、 C两点看做固定的，AB、 CD可绕着它们旋转。当 AB按顺时针、 CD按逆时针方向旋转时，可发现 AD 的长度越来越大 (如图 4)。当 AB、 BC、CD共线时， AD达到最大， 但这时构不成四边形，所以可得 AD 针， CD 按逆时针方向旋转时， AD的长度就越来越小。当 AB、 CD重合在 BC 边上时， AD达到最小，这时四边形也不存在，可 得 AD7-4-2=1。所以 1 例 3. 如图 6，正方形 ABCD 中， DAF=15 ，求 AEF 的面积。 ，点 E、 F 分别在 BC、 CD上，且 BAE=30 ， 图 6 13 / 36 解析：由于该题中含 15 ， 30 等特殊角度，通过旋转 ADF ，可构作出 45 角，构造三角形全等，通过等积变形而获解。 将 ADF 绕 A点顺时针旋转 90 到 ABG 的位置， 由旋转性质可知： AG=AF， BAG=FAD=15 ， 故 GAE=15+30=45 。 EAF=90 GAE=FAE 又 AE=AE AEGAEF EF=EG ， AEF=AEG=60 在 RtABE 中， 在 RtEFC 中， FEC= 14 / 36 即 ， BAE=30 ，则 BE=1， ， 图 7 下面我们再一起来看一下例 4,用常规法解题和用旋转法解题作个比较 例 4、如图 1所示，在 ABC 中， AB=AC， BAC=90 ， D是 BC15 / 36 上任一点，试说明 0 BD2?CD2?2AD2。 B D A(1) C B D E C (2) 证法一：过 A点作 AEBC 于 E，如图 2,则容易证明 AE=BE=EC，又 BD=BE DE， DC=CE+DE， 所以 BD2?BE?DE?AE?DE?， DC2?CE?DE?AE?DE?， 2222 所以 BD?CD=?AE?DE?+?AE?DE?=2AE2?DE2 ，而在直角三角形ADE2222? 222中 ,存在 AE?DE?AD，所以 BD?CD?2AD，这是传统的证明方法。 222 本题考虑到 BD、 DC、 AD三线段分散在两个三角形中 ,而且构成平方和的条件不明显 ,若利用旋转变换 ,将 BD、 DC 放到一个三角形中 ,若这个三角形是直角三角形 ,则创造 BD2?CD2就16 / 36 更能接近所证的目标了 . 证法二 (旋转法 ): 将 ADC 绕 A 点顺时针方向旋转 90 到AEB, 如图 3, 连 DE, 易知 0 ADE 、 DBE 均为直角三角形 ,且 AE=AD,BE=DC, 所以在RtEBD 中有 BD?BE?DE?BD?DC， 222在 RtAED 中有 DE?2AD，所以 BD?DC?2AD。 2222222E B D (3) C 针对下面这个问题就更能体现旋转法的妙用了：如图，四边形 ABCD 中， AB=AD， A=C=90 ，其面积为 16，求 A 到BC的距离。通过旋转变换，将图变成图，答 AE 案可以脱口而出：距离为 4 D 17 / 36 D B(1) C BF (2) C 综上可见，正确利用图形的旋转不仅可以让你柳暗花明更是可以大大提高解题效率 . 既然旋 转是我们生活中常见的一种运动现象也是我们中考当中的一个考查点 ,在以后的学习过程当中 ,我们就要活学活用 ,把旋转这个数学思想充分的运用起来 . 旋转问题 考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。 旋转性质 -对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。 一、直线的旋转 1、 (2016 年浙江省嘉兴市 )如图，已知 A、 B 是线段 MN 上的两点， MN?4， MA?1， MB?1以 3、 在 ?ABCD 中，过点 C 作 CECD 交 AD 于点 E,将线段 EC绕点 E逆时针旋转 90得到线段 EF(如图 1) 18 / 36 在图 1中画图探究： 当 P 为射线 CD上任意一点时，连结EP1-绕点 E 逆时针旋转 90 得到线段 EC1.判断直线 FC1 与直线 CD的 位置关系，并加以证明； 当 P2为线段 DC 的延长线上任意一点时，连结 EP2,将线段EP2绕点 E 逆时针旋转 90得到线段 EC2.判断直线 C1C2与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论 . 若AD=6,tanB= ? ? A 为中心顺时针旋转点 M，以 B为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成 ABC ，设 AB?x 求 x 的取值范围； 19 / 36 若 ABC 为直角三角形，求 x的值； 2、如图，在 RtABC 中， ACB=90, B =6 0 ， BC=2点0 是 AC的中点，过点 0的直线 l 从与 AC重合的位置开始，绕点 0作逆时针旋转，交 AB边于点 D.过点 C 作 CEAB 交直线 l 于点 E，设直线 l 的旋转角为 . (1) 当 =_ 度时，四边形 EDBC 是等腰梯形，此时AD的长为 _ ； 当 =_ 度时，四边形 EDBC 是直角梯形，此时 AD的长为 _； (2)当 =90 时 ,判断四边形 EDBC是否为菱形，并说明理由 4 20 / 36 ,AE=1,在 的条件下，设 CP1=x， S?P1FC1=y，求 y与 x 之间的函数关系 3 式，并写出自变量 x 的取值范围 . 分析：此题是综合开放题 -已知条件、问题结论、解题依据、解题方法这四个要素中缺少两个或两个以上，条件需要补充，结论需要探究，解题方法、思考方向有待搜寻。 解决此类问题，一般要经过观察、实验、分析、比较、类比、归纳、推断等探究活动来寻找解题途径。可从简单、特殊的情况入手，由此获得启发和感悟，进而找到解决问题的正确途径，是我们研究数学问题，进行猜想和证明的思维方法。华罗庚说： 善于退，足够地退，退到最原始而不失重要性的地方，这是学好数学的一个诀窍。 提示：运用三角形全等， 按 CP=CE=4将 x取值分为两段分类讨论；发现并利用好 EC、EF相等且垂直。 4、 BC?AC，已知：在 ?ABC中，动点 D绕 ?ABC 的顶点 A逆时针旋转，且 AD?BC，连结 DC过 21 / 36 AB、 DC 的中点 E、 F 作直线，直线 EF 与直线 AD、 BC 分别相交于点 M、 N 如图 1，当点 D旋转到 BC的延长线上时，点N 恰好与点 F重合，取 AC的中点 H，连结 HE、 HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论 ?AMF?BNE 当点 D 旋转到图 2 或图 3 中的位置时， ?AMF 与 ?BNE 有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明 图 1 图 2 图 3 1 二、角的旋转 5、如图 1，圆心接 ABC 中， AB?BC?CA， OD、OE为 O 的半径， OD?BC于点 F， OE?AC于点 G，求证：阴影部分四边形 OFCG的面积是 ABC 的面积的 交于点 G如果 DF 与中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 6 ，那么 EF=2GO是否成立？ 5 22 / 36 1 3 如图 2，若 ?DOE保持 120 角度不变， 求证：当 ?DOE 绕着 O 点旋转时，由两条半径和 ABC 的两条边围成的图形 对于中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、 G 构成的 PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由 x 1 面积始终是 ABC 的面积的 3 23 / 36 如图，在梯形 ABCD 中， ADBC ， AD?2， BC?4，点 M 是 AD的中点， MBC 是等边三角形 求证：梯形 ABCD是等腰梯形； 动点 P、 Q分别在线段 BC和MC上运动，且 MPQ?60? 保持不变设 PC?x， MQ?y，求 y与x 的函数关系式； 在中： 当动点 P、 Q 运动到何处时，以点 P、 M 和点 A、 B、 C、 D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数； 当 y 取最小值时，判断 PQC 的形状，并说明理由 A D 60 B C P 提示 :第 问，两种情形 - PMAB , PMCD 第 问， 求出 y最小值为 3，此时 x=PC=2,点 P到 BC中点，PMBC . 6 、已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC的边 OA在 y 轴的正半轴上， OC在 x轴的正半轴上，OA=2， OC=3过原点 O作 AOC 的平分线交 AB于点 D，连接DC，过点 24 / 36 6 题图 提示：第问， PGC 为等腰三角形按哪两边相等分类讨论，求出点 P 坐标，再求点 Q 坐标。 三、三角形的旋转 7、如图，将 RtABC( 其中 B 34， C 90）绕 A 点按顺时针方向旋转到 AB1 C1 的位置，使得点 C、 A、 B1 在同一条直线上，那么旋转角最小等于 0000 1 8、如图，已知 ACB 与 DFE 是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为 10cm，较小锐角为 30 ，将这两个三角形摆成如图所示的形状，使点 B、 C、 F、 D在同一条直线上，且点 C 与点 F 重合，将图中的 ACB 绕点 C 顺时针方向旋转到图的位置，点 E 在 AB 边上， AC 交 DE 于点 G，则线段 FG的长为 cm 25 / 36 2 图 D 作 DEDC ，交 OA于点 E 求过点 E、 D、 C的抛物线的解析式； 将 EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F，另一边与线段 OC D 9、如图 9， ABC 的顶点坐标分别为 A(3， 6)B(13)， C(4，2)若将 ABC 绕 C 点顺时针旋转 90，得到 A?B?C? ，则点A 的对应点 A?的坐标为 ? 再将 A1B1C1 绕点 A1 逆时针旋转 90 得到 DA1B2C2，请依次作出 A1B1C1 和 A1B2C2 。 26 / 36 14、 (2016 年达州 )如图 7，在 ABC 中， AB 2BC，点 D、点E 分别为 AB、 AC的中点，连结 DE，将 ADE 绕点 E 旋转 180得到 CFE. 试判断四边形 BCFD 的形状，并说明理由 . 15、如图所示，在 RtABC 中， ABC?90? 将 RtABC 绕点 C 顺时针方向旋转 60?得到 DEC ，点 E 在 AC 上，再将RtABC 沿着 AB所在直线翻转 180?得到 ABF 连接 AD 求证：四边形 AFCD 是菱形； 连接 BE并延长交 AD于 G，连接 CG，请问：四边形 ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？ G A D ? 10、如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移， D1 与 D2 的和总是保持不变，那么 D1与 D2的和是 _度 2 27 / 36 11、如图，三角板 ABC中， ?ACB?90?， ?B?30?， BC?6 三角板绕直角顶点 C 逆时针旋转，当点 A 的对应点 A 落在 AB边的起始位置上时即停止转动，则 B F ）将 ABC 绕点 B逆时针旋转到 A?BC? 使 12、 13、如图 6，在下面的方格图中，将 ABC 先向右平移四个单位得到 A1B1C1 ， 3 E B C 16、如图，在 Rt?OAB 中， ?OAB?90?， OA?AB?6，将 ?OAB 绕点O 沿逆时针方向旋转 90?得到 ?OA1B1 线段 OA1的长是 28 / 36 ?AOB1 的度数是； 连结 AA1，求证：四边形 OAA1B1 是平行四边形； 求四边形OAA1B1 的面积 D E G B 17、如图，直角梯形 ABCD中， ADBC ， ?BCD?90 ，且 CD?2A，Dta?nAB?C，过点 2D作 DEAB ，交 ?BCD的平分线于点 E，连接 BE 求证： BC?CD； 将 BCE 绕点 C，顺时针旋转 90 得到 DCG，连接 EG.求证： CD 垂直平分 EG. 延长 BE 交 CD 于点 P求证： P 是 CD的中点即 BC?CD 18、 C C 19、 29 / 36 A A D D E F C E B C B F C E 图 3 图 1 图 2 ?EDF绕 D 点，已知 RtABC 中， AC?BC， C?90? ， D为 AB边的中点， ?EDF?90 旋转，它的两边分别交 AC、 CB于 E、 F当 ?EDF绕 D 点旋转到 DE?AC 于 E时，易证 SDEF?SCEF? 1 SABC 2 当 ?EDF 绕 D点旋转到 DE和 AC不垂直时，在图 2和图 3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不30 / 36 成立， SDEF 、 SCEF 、 SABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 分析：此类题的特点是 -提供问题的一个特殊的情况，让你探索使结论成立的证明过程，然后通过运动变换 ,使题设条件改变，图形随之发生变化产生新的问题情景，再去探究新情景中原来的结论是否成立，还是又有新的关系。 解题方法思路一般是 -先探究特殊情景下的解题方法，再内化感悟、类比、猜想与探究。 提示：图 2、图 3 按退还到图 1 位置作辅助线，证明方法思路一样。 20、 C1 D A1 A 31 / 36 D 1 ，在 ABC 中， AB?BC?2， ?ABC?120 将 ABC 绕点 B顺时针旋转角 ?(0?90) AC、 BC 于 D、 F 两点 得 A1BC1， A1B 交 AC 于点 E， AC11分别交 如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 EA1与 FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论； 如图 2，当 ?30 时，试判断四边形 BC1DA 的 形状，并说明理由； 在的情况下，求 ED 的长 提示：考查三角形旋转过程中的不变量再导出图形各线段间的各种关系； 在特殊条件下， 得到线段间的特殊关系。 4 图 9 图 10 图 11 32 / 36 如图 9，若 ABC 和 ADE 为等边三角形， M， N 分别 EB， CD的中点，易证： CD=BE， AMN 是等边三角形 当把 ADE 绕 A点旋转到图 10的位置时， CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由； 当 ADE 绕 A点旋转到图 11的位置时， AMN 是