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9-2卡氏定理,一、卡氏第一定理,设梁上有n个集中荷载作用，相应的最后位移分别为。则梁内应变能,而,由,卡氏第一定理,卡氏第一定理,卡氏第一定理：弹性杆件的应变能U对于杆件上与某一荷载相应的位移之变化率，就等于该荷载的数值。,适用条件：适用一切受力状态下的弹性杆件，其中，作用在杆件上的广义力；与相应的广义位移。,例4抗弯刚度为EI的悬臂梁如图，试按卡氏第一定理，根据自由端已知转角确定施加于自由端的力偶m。梁的材料在线弹性范围内工作。,解：,梁内任一点的线应变为,(1),梁纯弯曲，挠曲线为圆弧,(2),于是(1)式改写为,(3),梁内任一点处的比能,(4),梁的应变能,由卡氏第一定理,(5),(6),二、卡氏第二定理,设梁上有n个集中荷载作用，相应的最后位移分别为。则梁内余能,而,由,(1),(2),(3),(4),卡氏第二定理,将(2)、(3)代入(4),余能定理,对线弹性杆件，,故有,卡氏第二定理：弹性杆件的应变能U对于杆件上某一荷载之变化率，就等于与该荷载相应的位移。,适用条件：适用一切受力状态下的弹性杆件，其中，作用在杆件上的广义力；与相应的广义位移。,用卡氏定理的注意事项,U整体结构在外载作用下的线弹性变形能,Pi视为变量，结构反力和变形能等都必须表示为Pi的函数,i为Pi作用点的沿Pi方向的变形。,当无与i对应的Pi时，先加一沿i方向的Pi，求偏导后，再令其为零。,三、线弹性变形杆的卡氏定理,例5结构如图，用卡氏定理求A面的挠度和转角。,变形,求内力,解：求挠度，建坐标系,将内力对PA求偏导,A,L,P,EI,（向下）,求转角A。,求内力,没有与A向相对应的力（广义力），加之。,“负号”说明A与所加广义力MA反向。,将内力对MA求偏导后，令MA=0,求变形（注意：MA=0）,L,x,O,A,P,M,例5结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。,解：求挠曲线任意点的挠度w(x),求内力,将内力对Px求偏导后，令Px=0,没有与w(x)相对应的力，加之。,P,A,L,x,C,变形（注意：Px=0）,例6等截面梁如图，用卡氏定理求B点的挠度。,求内力,解：1.依求多余反力，,将内力对RC求偏导,取静定基如图,卡氏定理解超静定结构,变形,能量法求解超静定结构，适用任意荷载作用下、线性或非线性
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