一维均匀分布随机数序列的产生方法.doc

一维均匀分布随机数序列的产生方法【摘要】 利用混沌的随机数产生算法和线性同余发生器以及MATLAB产生一维均匀分布随机数序列.经过检验,随机数列的统计性质有了很大提高， 【关键词】 混沌；线性同余发生器；MATLAB；随机数1 引言随机数在信息加密、数值运算及医学中基因序列分析等研究中有着广泛的应用。比如数值运算中,Monte Carlo方法占有重要的地位,随机数是该方法的基础.随机数的质量影响了信息的安全和计算结果的精度。特别是一些安全级别比较高的应用,对随机数提出了很高的要求。随机数可由硬件和软件两种方式产生。在计算机中广泛使用的是软件方式,通过计算机利用数学模拟随机过程产生随机数。此方法有着自身的不足,数据之间有着关联性,存在周期,并非真正的随机数,因此被成为伪随机数。生成随机数的方法繁多，从产生机理来说，可分为数学方法和物理方法两种，其所产生的随机数分别被称之为伪随机数和真随机数，前者易被破解，后者取自物理世界的真实随机源，难以破解，但这并不代表基于真随机源产生的随机数质量就很高，要取决于产生算法如何利用这个真随机源，相反的，许多用数学方法产生的随机数质量比较好。因此，若能将数学方法和物理方法结合起来，则可能产生高质量的真随机数。常见的产生随机数的方法有【1】线性同余法（LCG,Linear Congruent Generators）、Tarsworthe位移计数器法、Fibonacci延迟产生器法等。为了克服以上方法的缺陷,人们还发展了许多新的方法。组合发生器就是著名的一种。它是将两个随机数发生器进行组合,以一种发生器产生一个随机数列,再用另一个随机数发生器对随机数列进行重修排列,得到一个更为独立,周期更长的随机数列。已有一些利用混沌序列转换伪随机数列的报道【2】,文献【3】虽然提出了一种由logistic映射构造具有均匀性数列的好方法,但数据之间的独立性较差。本研究中提出了一种新的方法,利用混沌算法【4】和线性同余发生器相组合得到随机数列,并就数据的均匀性和独立性进行了检验。从实现方法来说，有以软件为主、以硬件为主以及软硬结合等方法【5】。相比于伪随机数发生器的研究而言，真随机数发生器的研究还相当初步。设计一个真随机数发生器包括两步：首先是获取真随机源；然后是利用真随机源依照特定的数学方法获得真随机数。2 理论基础一维均匀分布随机数的产生2.1 算法1 在vc的环境下，为我们提供了库函数rand()来产生一个随机的整数.该随机数是平均在0RAND_MAX之间平均分布的，RAND_MAX是一个常量，在VC6.0环境下是这样定义的：#define RAND_MAX 0x7fff它是一个short 型数据的最大值，如果要产生一个浮点型的随机数，可以将rand()/1000.0这样就得到一个032.767之间平均分布的随机浮点数.如果要使得范围大一点，那么可以通过产生几个随机数的线性组合来实现任意范围内的平均分布的随机数.例如要产生-10001000之间的精度为四位小数的平均分布的随机数可以这样来实现.先产生一个0到10000之间的随机整数.方法如下 ： int a = rand()%10000;然后保留四位小数产生01之间的随机小数：double b = (double)a/10000.0;然后通过线性组合就可以实现任意范围内的随机数的产生，要实现-10001000内的平均分布的随机数可以这样做：double dValue = (rand()%10000)/10000.0*1000-(rand()%10000)/10000.0*1000;则dValue就是所要的值. 但是，上面的式子化简后就变为：double dValue = (rand()%10000)/10.0-(rand()%10000)/10.0; 这样一来，产生的随机数范围是正确的，但是精度不正确了，变成了只有一位正确的小数的随机数了，后面三位的小数都是零，显然不是我们要求的，什么原因呢，又怎么办呢. 先找原因，rand()产生的随机数分辨率为32767，两个就是65534，而经过求余后分辨度还要减小为10000，两个就是20000而要求的分辨率为1000*10000*2=20000000，显然远远不够.下面提供的方法可以实现正确的结果：double a = (rand()%10000) * (rand()%1000)/10000.0; double b = (rand()%10000) * (rand()%1000)/10000.0; double dValue = a-b;则dValue就是所要求的结果.在下面的函数中可以实现产生一个在一个区间之内的平均分布的随机数，精度是4位小数.double AverageRandom(double min,double max) int minInteger = (int)(min*10000); int maxInteger = (int)(max*10000); int randInteger = rand()*rand(); int diffInteger = maxInteger - minInteger; int resultInteger = randInteger % diffInteger + minInteger; return resultInteger/10000.0; 但是有一个值得注意的问题，随机数的产生需要有一个随机的种子，因为用计算机产生的随机数是通过递推的方法得来的，必须有一个初始值，也就是通常所说的随机种子，如果不对随机种子进行初始化，那么计算机有一个缺省的随机种子，这样每次递推的结果就完全相同了，因此需要在每次程序运行时对随机种子进行初始化，在vc中的方法是调用srand（int）这个函数，其参数就是随机种子，但是如果给一个常量，则得到的随机序列就完全相同了，因此可以使用系统的时间来作为随机种子，因为系统时间可以保证它的随机性. 调用方法是srand(GetTickCount(),但是又不能在每次调用rand()的时候都用srand(GetTickCount()来初始化，因为现在计算机运行时间比较快，当连续调用rand()时，系统的时间还没有更新，所以得到的随机种子在一段时间内是完全相同的，因此一般只在进行一次大批随机数产生之前进行一次随机种子的初始化.下面的代码产生了400个在-11之间的平均分布的随机数.double dValue400; srand(GetTickCount(); for(int i= 0;i 3.57 时,进入混沌状态。特征是表现为初值敏感性,既使初值相差非常小,经过几十次迭代，得到的值也会相差非常大，并且毫无关联。当=4 时,序列xi 的概率分布服从P(xi)=1xi(1-xi)(2)所以xi 序列分布并不均匀，通过代换ri=2arcsinxi(3)就可以得到均匀的ri 数列。2.4 线性同余发生器线性同余发生器是现在使用最多的随机数发生器之一，该方法利用同余运算产生随机数。Ii+1=(aIi+b)mod mxi=Iim (4)其中m 为模数, a为乘子, b为增量,并且a,b,m,I1 均为非负整数。如何选择他们就决定了产生器的质量。在计算中取a=16807,b=0,m=231-1,I1=12546863 。显然,由公式(4)得到的Ii 满足：0Ii m,所以0xi1 。线性同余法的优点就是速度快,每次调用只需几个操作步骤即可,因此最为常用.缺点就是数据序列的有着关联性,表现为高维稀疏网格结构【6】。特别是当a 和m 的值较小时,这种现象更为明显。2.5 组合发生器20世纪70年代就有人提出用用组合发生器来产生高质量的伪随机数。有文献【7】对此进行了理论分析并指出：几个独立且近似的随机变量的线性组合也是一个近似均匀的随机变量,其分布比组成它的任何一个变量更接近U（0，1）。该算法是分别用两个发生器各自产生一组随机数列,然后再把它们进行相互组合,以期得到一个统计结果更好的随机数列。具体步骤如下：N个不同的随机数发生器各自产生一组随机数列 Xi（j)(i=1,2,L, j=1,2,N)。令c1,c2,cN 为N个非负整数。Ui=Nj=1c(j)Xi(j)ri=Ui mod 1 i=1,2, (5)按上述算法把混沌算法和线性同余产生的随机数组合在一起。在计算中,取c1=2,c2=5。每个发生器都有其各自的周期Period(Xi) ,如果它们互素,则组合后周期是各自周期的最小公倍数（LCM）。Period(Xi)=LCM(Period(Xi(1)）,Period(Xi(2),)。因此组合发生器产生数据的周期会大大增加,实际应用中可视为无穷大。3 随机数的统计检验随机数的好坏是通过各种统计检验来确定的,这些检验包括均匀性检验、独立性检验、参数检验等。其中最基本的是均匀性检验和独立性检验。在随机数的检验中独立性检验是首要的,如果不存在独立性就无所谓随机。也希望得到的随机数在区间0，1上出现的概率是相同的,所以均匀性检验也起着决定作用。3.1 均匀性检验假设区间0，1上的随机数列Xi(i=1,2,n)。如果随机数分布均匀,则把区间分成k 个相等的子区间后,落在每个子区间的随机数个数ni 近似等于n / k 。统计量2 按定义为:2=ki=1(ni-n / k)2n / k (6)2 应服从2(k-1) 分布,在给定一个显著水平 下,可查表得到临界值2(k-1)。如果22 ,则拒绝均匀假设。3.2 独立性检验对独立性检验中的相关检验基于相关系数r，把随机数列ri(i=1,2,2n) 分成两部分Xi(i=1,3,2n-1),Yi(i=2,4,2n ,相关系数r 为:r=1nni=1(Xi-)(Yi-)1nni=1(Xi-)2 1nni=1(Yi-)2 (7)当=(1.96)2+n-2 |r|1.96 时, 认为线性回归效果显著,拒绝独立检验。 3.3 参数检验随机数列Xi(i=1,2,n) ,其一阶矩、二阶矩和二阶中心矩分别为:=1nni=1Xi, 2=1nni=1Xi2, s2=1nni=1(Xi-12)2 (8)对于均匀分布的数列,其值分别为12, 13,112如果与理论值没有显著差别，则通过参数检验。检验中,3种发生器分别生成100000个数据,对其统计性质进行了分析。取检验的置信度=0.05 ,在均匀检验中，检验区间k=500 ,2(500)552.78 时拒绝均匀假设【8】；独立性检验中=(1.96)2+n-2 |r|1.96,拒绝独立假设。表1 随机数列的统计结果 从表1的统计结果可以看出,组合后的发生器表现出了更为优秀的统计结果.在数据的独立性和均匀性上都大大增加。混沌算法虽然可以通过均匀性检验,但独立性较差,没有通过独立性检验,不宜单独作为随机数发生器使用.如果把数列中相邻两个数据作为（x,y) ,分别作出各个数列的二维散布图。不难看出,图1混沌算法得到的随机数列,数据之间有着强烈的关联,数据之间并不独立。图2和图3数据分布则比较均匀。4 结论计算机模拟、信息加密或Monte Carlo方法成功的基础是实现真正的随机抽样,随机抽样的基础是随机数。从以上统计结果可以看出,两种发生器组合之后,得到的随机数列具有更好的统计结果,在保持均匀性的基础上,独立性有了较大的提高。并且组合后,随机数列的周期可视为无穷大。因此该方法具有良好的统计性质,符合随机数的要求。【参考文献】【1】杨自强,魏公毅. 产生伪随机数的若干新方法.数值计算机应用,2001,3:210216.【2】 孙霞,吴自勤,黄畇,分形原理及其应用.中国科学技术大学出版社 2003,122.【3】 盛利元,肖燕予,盛喆,将混沌序列变换成均匀伪随机序列的普适算法.物理学报,2008,57：44074412.【4】周燕,覃朝玲用混沌法产生随机数发生器的研究.西南师范大学学报,2000,25：150154.【5】王相生, 甘骏人. 一种基于混沌的序列密码生成方法J.