信号与系统实验四.doc

实验四 连续时间傅立叶变换 基本题1 求CTFT的解析表达式。可将看作，。g=sym(exp(-2*t)*Heaviside(t); g2=subs(g,-t,t); x=g+g2; fx=fourier(x); g=sym(exp(-2*t)*Heaviside(t); g2=subs(g,-t,t); x=g+g2; fx=fourier(x); 结果：fx =4/(4+w2)2 创建一个向量，它包含了在区间t=0:tau:T-tau 上（其中和），信号的样本。clc; t=0:0.01:10-0.01; y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(t-5)+exp(2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(-t+5); plot(t,y); 3 键入y=fftshift(tau*fft(y)计算样本。因为对于基本上为零，就能近似用个样本分析中计算出信号的CTFT。clc;t=0:0.01:10-0.01;y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(t-5)+exp(2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(-t+5);y=fftshift(0.01.*fft(y);y=abs(y); plot(t,y);axis(4,6,-0.1,1.2);4构造一个频率样本向量w，它按照 w=-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau);与存在向量Y中的值相对应。5 因为是通过时移与相联系的，所以CTFT就以线性相移项与相联系。利用频率向量w直接由Y计算的样本，并将结果存入x中。clc;t=0:0.01:10-0.01;tau=0.01;N=10/0.01;y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(t-5)+exp(2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(-t+5);y=fftshift(0.01.*fft(y);w=-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau);x=exp(j*5*w).*y6利用abs和angle画出在w标定的频率范围内X的幅值和相位。对于相同的值，也画出在1中所导出的解析式表达式的幅值和相位。CTFT的近似值与解析导得的相符吗?若想在一张对数坐标上画出幅值，可以用semilogy，这是会注意到，在较高的频率上近似不如在较低的频率上好。因为用了样本近似，所以在时间段长度内，信号变化不大的那些信号的频率分量近似程度会更好一些。7利用abs和angle画出Y的幅值和相位，它们与X的图比较后怎样？能估计到这一结果吗？4.2连续时间傅立叶变换性质目的 这个练习要借助于在频域和时域分析与操作声音信号来加深理解连续时间傅立叶变换CTFT。相关知识 在MATLAB中声音信号是用含有连续时间声音信号样本的向量表示的，采样率定为8192Hz，也即声音信号是每隔采样一次。更仔细一些，对于一个声音信号，在区间上，以8192Hz采样，代表该声音信号的N个元素向量y由下式给出： 然后，函数sound能用来在计算机的扬声器上放出该信号。 虽然这是一个连续时间声音信号的采样表示，倘若在采样区间以外是零，而且采样率是足够快的，那么y就能认为是的一个准确表示。在开始这个练习之前，必须首先装入一个采样的声音信号，这可键入 load splat y=y(1:8192);为了确认已准确无误地装入了这个声音数据，并证实这个MATLAB向量y能正确地代表一个声音信号，可键入 N=8192; fs=8192; sound(y,fs) 函数fft取出该已采样的表示y，并在的样本点上计算近似的CTFT。若键入 Y=fftshift(fft(y);那么向量Y就包含了区间上N个等分频率点处的近似值。事实上，Y包含的仅是的近似值，这里c是一个常数，但是不必担心这个近似，或这个加权系数，这仅是为本练习的需要而设定的。有关和Y之间关系的更为全面的讨论，请参考练习4.1。 函数fftshift将fft的输出重新排序，以使得的样本在Y中的排序是从最负频率到最正的频率。现在，与CTFT有关的大多数性质都能在向量Y上得到证实。基本题1键入Y=fftshift(fft(y)，计算向量Y的傅立叶变换。键入 w=-pi:2*pi/N:pi-pi/N*fs;将对应的频率值存入向量w中。利用w和Y在区间内画出该连续时间傅立叶变换的幅值。 函数ifft是fft的逆运算。对于偶数长度的向量，fftshift就是它本身的逆。对于向量Y，N=8192，这个逆傅立叶变换能用键入以下命令而求得 y=ifft(fftshift(Y); y=real(y);由于原时域信号已知是实的，所以这里用了函数real。然而，在fft和ifft中的数值舍入误差都会在y中引入一个很小的非零虚部分量。一般说来，逆CTFT不必是一个实信号，而虚部可以包含有显著的能量。当已知所得信号一定是实信号时，并且已经证实所除掉的虚部分量是没有意义的，real函数才能用于ifft的输出上load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;Y=fftshift(fft(y);sound(y,fs);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;subplot(211)plot(w,Y);title(Y);y=ifft(fftshift(Y);y=real(y);subplot(212)plot(w,y);title(y);2置Y1=conj(Y)并将Y1的逆傅立叶变换存入Y1中，用real(y1)以确保y1是实的，用sound(y1,fs)将y1放出。已知的逆傅立叶变换是如何与联系的，能解释刚才听到的是什么吗？load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;Y=fftshift(fft(y);Y1=conj(Y);y1=ifft(fftshift(Y1);sound(y1,fs);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;plot(w,y1);中等题 的CTFT可以用它的幅值和相位写成 式中。对于许多信号，单独用相位或幅值都能构造出一个有用的信号的近似。例如，考虑信号和，其CTFT为 3只要是实信号，用解析方法说明和一定是实的。4构造一个向量Y2等于Y的幅值，并将Y2的逆傅立叶变换存入向量y2中，用sound放出这个向量。代码：load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;Y=fftshift(fft(y);sound(y,fs);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;Y2=abs(Y);y2=ifft(fftshift(Y2);sound(y2,fs);plot(w,y2);5构造一个向量Y3，它有与Y相同的相位，但是幅值对每个频率都等于1。并将Y3的逆傅立叶变换存入向量y3中，用sound放出这个向量。load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;Y=fftshift(fft(y);sound(y,fs);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;Y3=Y./abs(Y);y3=ifft(fftshift(Y3);sound(y3,fs);plot(w,y3);6根据刚才听到的这两个信号，代表一个声音信号你认为傅立叶变换的那个部分是最关键的：幅值或相位？答：相位是最关键的。深入题 这些习题要考虑时间轴的变换在CTFT上的效果，也就是说要考察变换，如何影响信号的傅立叶变换。对于，对应于时间轴的压缩；而，对应于时间轴的扩展。另外，将会看到如果采样得足够密集，就能直接处理y而得到通过采样，所得到的样本，不需要利用连续时间信号来完成。对于，也将看到能在离散时间内处理y以近似本应经由而得到的样本。 若和是定义在这个无限区间内的话，那么被恰当的定义。然而，向量y包含的样本仅在区间上，为了从y导出对应于，样本的向量ya，要作下面两个假设(i)在区间以外是零；(ii)是一个整数。第2个假设确保了每隔个y的样本一定在ya中。7用向量y创建一个向量y4，它包含有本该以8192Hz从采样所得到的样本。load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;sound(y,fs);y4=y(1:2:8192);sound(y4,fs);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;w4=(-pi:2*pi/(N/2):pi-pi/(N/2)*(fs/2);subplot(211)plot(w,y);title(y);subplot(212)plot(w4,y4);title(y4);8用y4=sound(y4,fs)放出y4。利用比较y4的傅立叶变换与y的傅立叶变换，能说明在高音上的变化吗？信号压缩是如何影响它的傅立叶变换的？设向量y5中包含在区间内，在8192Hz对采样所得的样本值。load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;sound(y,fs);y4=y(1:2:8192);sound(y4,fs);Y=fftshift(fft(y);Y4=fftshift(fft(y4);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;w4=(-pi:2*pi/(N/2):pi-pi/(N/2)*(fs/2);subplot(211)plot(w,Y);title(Y);subplot(212)plot(w4,Y4);title(Y4);9创建向量x，它由下式给出 注意，x是一个长度为2*N的向量。load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;sound(y,fs);j=1;for i=1:2:(2*8192) x(i)=0; x(i+1)=y(j); j=j+1;end10利用函数filter完成在x上的线性内插。这里要用到的线性内插器的单位冲激响应是h=1 2 1/2。load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;sound(y,fs);j=1;for i=1:2:(2*8192) x(i)=0; x(i+1)=y(j); j=j+1;endh=1 2 1;a=2;y=filter(h,a,x);11用sound(y5,fs)放出y5。用比较y5和y的傅立叶变换，能解释在音调上的变化吗？load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192