三角函数总结

1 / 97 三角函数总结 高 1.特殊角的三角函数值： 2角度制与弧度制的互化： 3600?2?, 1800?, 1rad 180 =5718 1 ? 180 12 弧长公式： l?.r 扇形面积公式 :S= ?-是圆心角且为弧度制。 r-是扇形半径 2 / 97 4.任意角的三角函数 设 ?是一个任意角，它的终边上一点 p, r=x2?y2 yxy 余弦 cos?= 正切 tan?= rrx (2)各象限的符号： (1)正弦 sin?= y + y + + + + 3 / 97 sin? cos? tan? 5.同角三角函数的基本关系： 平方关系： sin2?+ cos2?=1。商数关系： k? ?的三角函数化为 ?的三角函数，概括为：奇变偶 2 不变，符号看象限。即 k 为奇数时，变形式，举例如下： ?1?sin?2k?sin? ， cos?2k?cos? ，tan?2k?tan?k? ?2?sin?sin? ，cos?cos?， tan?tan? ?3?sin?sin?，cos?cos? ， tan?tan? ?4?sin?sin? ，cos?cos?， tan?tan? 口诀：函数名称不变，符号看象限 ?5?sin? 4 / 97 ? ?cos?， cos?sin? ?2?2? ? ? ， 6sin?cos?cos?sin? ?2?2? 7 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 降幂公式： 1?cos2? 22 1?cos2? 5 / 97 1-cos?=2sin2 sin2? 22 正弦定理 ： abc ?2R. sinAsinBsinC 余弦定理： a2?b2?c2?2bccosA; b2?c2?a2?2cacosB; c2?a2?b2?2abcosC. 三角形第二面积公式： S?absinC?bcsinA?casinB. 121212 三角函数 任意角的三角函数及诱导公式 1任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置 OA，绕着它的6 / 97 端点 O 按逆时针方向旋转到终止位置 OB，就形成角 ?。旋转开始时的射线 OA 叫做角的始边， OB 叫终边，射线的端点 O叫做叫 ?的顶点。 为了区别起见，我们规定 :按逆时针方向旋转所形成的角叫正角 ,按顺时 针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转 ,我们称它形成了一个零角。 2象限角、终边相同的角、区间角 角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意 :如果角的终边在坐标轴上 ,就认为这个角不属于任何一个象限 ,称为非象限角。 终边相同的角是指与某个角 具有同终边的所有角，它们彼此相差 2k(kZ) ，即 |=2k+ ， kZ ，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 区间角是介于两个角之间的所有角，如 | ?5?5?= ， 。 7 / 97 6666 3弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角，记作1rad，或 1弧度，或 1(单位可以省略不写 )。 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如- ， -2 等等，一般地 , 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 角 ?的弧度数的绝对值是： ? l ，其中， l 是圆心角所对的弧长， r 是半径。 r ? 角度制与弧度制的换算主要抓住 180?rad。弧度与角度互换8 / 97 公式： 1rad 180=5718 ； ? 112 1 ? 。弧长公式： l?|?|r； 扇形面积公式： S?lr?|?|r。 180 22 4 三角函数的定义 :以角 ?的顶点为坐标原点，始边为 x轴正半轴建立直角坐标系，在角 ?的终边上任取一个异于原点 的点 P(x,y)，点 P 到原点的距离记为 r(r? ?0)，那么 sin? 9 / 97 yxyrxr； cos?； tan?； rrxxyy 利用单位圆定义任意角的三角函数，设 ?是一个任意角 ,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 : (1)y 叫做 ?的正弦 ,记做 sin?,即 sin?y； x叫做 ?的余弦 ,记做 cos?,即 cos?x； yy 叫做 ?的正切 ,记做 tan?,即 tan?(x?0)。 xx 5 三角函数的符号： 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们 可以得知： 正弦值 y 对于第一、二象限为正 r 10 / 97 ，对于第三、四象限为负； xy 对于第一、四象限为正，对于第二、三象限为负； 正切值对于第一、 rx 三象限为正，对于第二、四象限为负说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。 余弦值 1 6三角函数线 三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三 角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。 以坐标原点为圆心，以单位长度 1 为半径画一个圆，这个圆11 / 97 就叫做单位圆。当角 ?为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点 P(x,y)，过点 P 作 PM?x 轴交 x 轴于点 M，根据三角函数 的定义： |MP|?|y|?|sin?|； |OM|?|x|?|cos?|。 我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关 .当角 ?的终边不在坐标轴时 ,以 O 为始点、 M为终点，规定： 当线段 OM 与 x 轴同向时， OM 的方向为正向，且有正值 x；当线段 OM 与 x 轴反向时， OM 的方向为负向，且有负值 x；其中 x 为 P点的横坐标 .这样 ,无论那种情况都有 OM?x?cos? 同理 ,当角 ?的终边不在 x 轴上时 ,以 M 为始点、 P为终点， 规定：当线段 MP 与 y 轴同向时， MP 的方向为正向，且有正值 y；当线段 MP 与 y 轴反向时， MP 的方向为负向，且有负值 y；其中 y为 P 点的横坐标。 这样 ,无论那种情况都有 MP?y?sin?。像 MP、 OM 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。 如上图 ,过点 A(1,0)作单位圆的切线 ,这条切线必然平行于 y 轴 ,设它与 ?的终边交于12 / 97 点 T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识 ,借助有向线段 OA、 AT,我们有 tan?AT? y x 我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、 OM、 AT,分别叫做角 ?的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。 6同角三角函数关系式 sin2+cos2=1 ； sin? =tan ； tancot=1. cos? 使用这组公式进行变形时，经常把 “ 切 ” 、 “ 割 ” 用 “ 弦 ”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法。 几个常用关系式： sin+cos ， sin -cos ， sincos ； (三式之间可以互 相表示 ) 同理可以由 sin cos 或 sincos 推出其余两式。 13 / 97 7诱导公式 可用十个字概括为 “ 奇变偶不变，符号看象限 ” 。 诱导公式一： sin(?2k?)?sin?， cos(?2k?)?cos?，其中 k?Z? 诱导公式二： sin(180?)?sin?； cos(18?0?)?cos? 诱导公式三： sin(?)?sin?； cos(?)?cos? 诱导公式四： sin(180?)?sin?； cos(180?)?cos? ? 诱导公式五： sin(360?)?sin?； cos(360?)?cos? ? ? 2 14 / 97 ? 要化的角的形式为 k?180?； 记忆方法： “ 奇变偶不变，符号看象限 ” ； sin(k+)=( 1)ksin ； cos(k+)=( 1)kcos(kZ) ； sin?x? ? ? ? ?； ?cos?x?cosx?cosx?sin?x?。 4?4444? 15 / 97 ? 三角函数的图像与性质 1正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2. 3三角函数的单调区间： ?3? y?sinx 的递增区间是 ?2k?， 2k?(k?Z)，递减区间是 ?2k?，2k?(k?Z)； 22?22? y?cosx 的递增区间是 ?2k?， 2k?(k?Z)，递减区间是 ?2k?，2k?(k?Z); 16 / 97 3 ? y?tanx 的递增区间是 ?k?， k?(k?Z)， 22? 4对称轴与对称中心： ，对称中心为 (k?,0) k?Z； y?sinx 的对称轴为x?k?2 y?cosx 的对称轴为 x?k?，对称中心为 (k?； 2,0) 对于 y?Asin(?x?)和 y?Acos(?x?)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 5函数 y?Asin(?x?)?B 17 / 97 最大值是 A?B，最小值是 B?A，周期是 T?称轴是直线 ?x?k? 2? ? ，频率是 f? ? ，相位是 ?x?，初相是 ?；其图象的对 2? ? 2 (k?Z)，凡是该图象与直线 y?B 的交点都是该图象的对称中心。 6由 y sinx 的图象变换出 y sin(x ?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后18 / 97 平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 x而言，即图象变换要看 “ 变量 ” 起多大变化，而不是 “ 角变化 ” 多少。 途径一：先平移变换再周期变换 (伸缩变换 ) 先将 y sinx的图象向左 (? 0)或向右 (? 0平移 ?个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的便得 y sin(x ?)的图象。 途径二：先周期变换 (伸缩变换 )再平移变换。 先将 y sinx的图象上各点的横坐标变为原来的便得 y sin(x ?)的图象。 三角函数图象的平移和伸缩 函数化 1 ? 19 / 97 倍 ( 0)， 1 ? 倍 ( 0)，再沿 x 轴向左 (? 0)或向右 (? 0平移 |?| ? 个单位， ， ?， ?， k 来相互转 y?Asin(?x?)?k 的图象与函数y?sinx 的图象之间 可以通过变化 A A， ?影响图象的形状， ?， (转 载于 : 海达 范文 网 :三角函数总结 )k影响图象与 x轴交点的位置由 A引起的变换称振幅变换，由 ?引起的变换称 周期变换，它们都是伸缩变换；由 ?引起的变换称相位变换，20 / 97 由 k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换既可以将三角函数的图象先 平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移 变换方法如下：先平移后伸缩 ?得 y?sin(x?) y?sinx 的图象横坐标伸长 (01) ?得 y?sin(?x?) y?sin(x?)的图象 1 (纵坐标不变 ) 向左 (?0)或向右 (?0)平移 ?个单位长度 ? ?得 y?sin(?x?)的图象 ?为原来的 A 倍 (横坐 标不变 ) 纵坐标伸长 (A?1)或缩短 (0 y?Asin(?x?) 向上 (k?0)或向下 (k?0) ?得 y?Asin(x?)?k图象 y?Asin(?x?)的图 象平移 k21 / 97 个单位长度 先伸缩后平移 ?得 y?Asinxy?sinx 的图象 ? 4 纵坐标伸长 (A?1)或缩短 (0?A?1)为原来的 A倍 (横坐标不变 ) ?得 y?Asin(?x) y?Asinx 的图象 ?1 到原来的 (纵坐标不变 ) 横坐标伸长 (0?1)或缩短 (?1) ? 向左 (?0)或向右 (?0) 22 / 97 ?y?Asinx(?x?)?y?Asin(?x)的图象得 平移个单位 ? 向上 (k?0)或向下 (k?0) ?得 y?Asin(?x?)?k 图象 y?Asinx(?x?)的图象平移 k 个单位长度 ? 例 1 将 y?sinx 的图象怎样变换得到函数 y?2sin?2x?1 的图象 4? ? 解： 把 y?sinx 的图象沿 x 轴向左平移个单位长度，得y?sin?x?的图 象； 将所得图象的横坐标缩 4?4? 23 / 97 ?1? 小到原来的，得 y?sin?2x?的图象； 将所得图象的纵坐标伸长到原来的 2倍，得 y?2sin?2x?的图象； 4?4?2? ? 最后把所得图象沿 y 轴向上平移 1 个单位长度得到y?2sin?2x?1 的图象 4? 把 y?sinx 的图象的纵坐标伸长到原来的 2倍，得 y?2sinx的图象； 将所得图象的横坐标缩小到原来 的 ?1 ? 24 / 97 ，得 y?2sin2x 的图象； 将所得图象沿 x 轴向左平移个单位长度得 y?2sin2?x?的图象； 最后把图象沿 8?28? ? y 轴向上平移 1个单位长度得到 y?2sin?2x?1 的图象 4? 个单位长度得 到的函数图象的解析式是 8 ?1? y?sin2?x?而不是 y?sin?2x?，把 y?sin?x?的图象的横坐标缩小到原来的，得到的函数图象的解析式 8?8?4?2? 25 / 97 是 y?sin?2x?而不是 y?sin2?x? 4?4? 对于复杂的变换，可引进参数求解 ? 例 2 将 y?sin2x 的图象怎样变换得到函数 y?cos?2x?的图象 4? 分析 ：应先通过诱导公式化为同名三角函数 ? os2?x?中以 x?a代 x， y?cos?2(x?a)?cos?2x?2a?解：y?sin2x?cos?2x?cos?2x?，在 y?c 2?2?2?2?2?说明：无论哪种变换都是针对字母 x 而言的由 y?sin2x的图象向左平移 26 / 97 ?2x?，得 a? 248 ? 所以将 y?sin2x 的图象向左平移个单位长度可得到函数y?cos?2x?的图象 4?8? 5由 y Asin(x ?)的图象求其函数式 ： 根据题意，有2x?2a? 给出图象确定解析式 y=Asin 的题型，有时从寻找 “ 五点 ”中的第一零点作为突破口，要从图象 ? 的升降情况找准第一个零点的位置。 8求三 角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意 A、 ?的正负三角函数大小一般要27 / 97 化为同名函数 ,并且在同一单调区间； 9求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成 “y?Asin(?x?) 、 y?Acos(?x?)” 的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法 。 10五点法作 y=Asin的简图： 5 三角函数 ?正角 :按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角 :按顺时针方向旋转形成的角 ? ?零角 :不作任何旋转形成的角 2、角 ?的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，28 / 97 终边落在第几象限，则称 ?为第几象限角 第一象限角的集合为 ?k?360?k?360?90?,k? 第二象限角的集合为 ?k?360?90?k?360?180?,k? 第三象限角的集合为 ?k?360?180?k?360?270?,k? 第四象限角的集合为 ?k?360?270?k?360?360?,k? 终边在 x轴上的角的集合为 ?k?180?,k? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?k?180?90?,k? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?k?90?,k? 3 、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?k?360?,k? 4、已知 ?是第几象限角，确定 ? n?所在象限的方法：先把各象限均分 n 等份，再从 x轴的正半 ?n * 轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则 ?原来是第几象限对应的标号即为在的区域 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度 29 / 97 6、半径为 r的圆的圆心角 ?所对弧的长为 l，则角 ?的弧度数的绝对值是 ? ?180? 7、弧度制与角度制的换算公式： 2?360?， 1?， 1? 180? ?n 终边所落 lr ? ? C?2r?l， 8、若扇形的圆心角为 ?为弧度制 ?，半径为 r，弧长为 l，周长为 C，面积为 S，则 l?r?， 30 / 97 S? 12 lr? 12 2 ?r 9、设 ?是一个任意大小的角， ?的终边上任意一点 ?的坐标 是 ?x,y?，它与原点的距离是 rr? ? ?0 31 / 97 ? ，则 sin? yr ， cos? xr ， tan? yx ?x?0? 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正 - 1 - 32 / 97 11、三角函数线： sin?， cos?， tan? 12、同角三角函数的基本 关系： ?1?sin2?cos2?1 ?sin ?2? 2 22222 ?1?cos?,cos?1?sin?； 1?tan?sec?;1?cot?csc? 2 2 sin?cos? ?tan? sin? 33 / 97 sin?tan?cos?,cos? tan? (3)tan?cot?1;cos?sec?1;sin?csc?1 13、三角函数的诱导公式： ?1?sin?2k?sin? ， cos?2k?cos? ，tan?2k?tan?k? ?2?sin?sin? ，cos?cos?， tan?tan? ?3?sin?sin?，cos?cos? ， tan?tan? ?4?sin?sin? ，cos?cos?， tan?tan? 口诀：函数名称不变，符号看象限 ?5?sin? ? ? 34 / 97 ?cos?2? ? ?cos?2? ， cos? ? ? ?sin?2? ?6?sin?， cos? ? ?sin?2? 35 / 97 口诀：奇变偶不变，符号看象限 重要公式 cos?cos?cos?sin?sin? ； cos?cos?cos?sin?sin? ； sin?sin?cos?cos?sin? ； sin? ?sin?cos?cos?sin?； tan? tan?tan?1?tan?tan?tan?tan?1?tan?tan? ； tan? 二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin2?2sin?cos? - 2 - 36 / 97 cos2?cos2?sin2?2cos2?1?1?2sin2? tan2? 公式的变形： tan?tan?tan(?)?1?tan?tan?， cos ?2 ? 1?cos? 2 ； tan 37 / 97 ?2 ? 1?cos?1?cos? ? sin?1?cos? ? 1?cos?sin? 辅助角公式 ?sin?cos? ?，其中 tan? 38 / 97 ? 万能公式 万能公式其实是二倍角公式 的另外一种变形： 2tan sin? 1?tan ?2 1?tan 2 ? 39 / 97 ， tan?2 2tan1?tan ?2 ?2 ， cos? 1?tan 2 ?2 14、函数 y?sinx的图象上所有点向左平移 ?个单位长度，得到函数 y?sin?x?的图象；再将函数 y?sin?x?的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 1 40 / 97 ? 倍，得到 函数 y?sin?x?的图象；再将函数 y?sin?x?的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 ?倍 ，得到函数 y?sin?x?的图象 函数 y?sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 y?sin?x的图象；再将函数 y?sin?x 1 ? 倍，得到函数 ? 的图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数 41 / 97 y?sin?x?的图象；再将函数 y?sin?x?的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 ?倍 ， 得 到 函 数 y?sin?x? 的图象 函数y?sin?x?0,?0?的性质： 振幅： ?； 周期： ? 2? ? ； 频率： f? 1? ? ?2? ； 相位： ?x?； 初相： ? 42 / 97 函数 y?sin?x?B，当 x?x1 时，取得最小值为 ymin ；当 x?x2时，取得最大值为 ymax，则 ? 12 ?ymax? y ， ?ymax min? 2 1 ?ymin?， ?2 43 / 97 ?x2?x1?x1?x2? 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： - 3 - 三角函数题型分类总结 一求值 1、 sin330?= tan690 = sin585o 2、 (07 全国 ) ? 是第四象限角， cos?若 sin? 45 1213 ，则 sin? ,tan?0，则 cos? 44 / 97 - 4 - 已知 ABC 中， cotA?(4) ?是第三 象限角， sin(?)? 5 12 125 ，则 cosA? . 5?2 ?)= ，则 cos?= cos( 3、 (1) (07陕西 ) 已知 sin? 45 / 97 ? 44 ,则 sin?cos?= . (2)设 ?(0,)，若 sin? 2 35 ，则 ? ? 4 ? 4 46 / 97 )= . 已知 ?( ? 2 ,?),sin? 35 ,则 tan(?)= 4 下列各式中，值为 32 的是 ( ) 2sin15?cos15? 47 / 97 cos215?sin215?2sin215?1sin215?cos215? 5. (1)(07 福建 ) sin15?cos75?cos15?sin105?= (2)cos43ocos77o?sin43ocos167o 。 sin163?sin223?sin253?sin313? 。 1 6.(1) 若 sin cos ，则 sin 2= 5 已知 sin( ?4?x)? 35 ，则 sin2x 的值为 sin?cos?sin?cos? (3) 若 tan?2 ,则 = 7. 若角 ?的终边经过点 P(1， ?2)，则 cos?= tan2?= 48 / 97 ? 22 8 已知 cos(?)? 2 ，且 |?|? ?2 ，则 tan? 9. 若 cos2? 49 / 97 sin? 4? ?cos?sin?= 10.下列关系式中正确的是 A sin11?cos10?sin168 B sin168?sin11?cos10 C sin11?sin168?cos10 D sin168?cos10?sin11 11已知 cos(? A 725 ? 2 50 / 97 )? 3 B ? 1213 5 16 ，则 sin?cos?的值为 C ? 2 22 925 51 / 97 25 D ? 725 ? 4 12已知 sin= ， ，则 cos的值为 - 5 - 高中数学第四章 -三角函数 考试内容： 52 / 97 角的概念的推广弧度制 任意角的三角函数单位圆中的三角函数线同角三角函数的基本关系式 .正弦、余弦的诱导公式 两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切 正弦 函数、余弦函数的图像和性质周期函数函数y=Asin(x+) 的图像正切函数的图像和性质已知三角函数值求角 正弦定理余弦定理斜三角形解法 考试要求： 理解 任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角53 / 97 的正弦、余弦、正切公式 能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用 “ 五点法 ” 画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(x+) 的简图，理解 A. 、 的物理意义 会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinxarc-cosxarctanx 表示 掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形 “ 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 ： sin2+cos2=1 ，sin/cos=tan,tan?cos=1” 04. 三角函数 知识要点 1. 与 ?终边相同的角的集合： ?|?k?360?,k?Z? 终边在 x轴上的角的集合： ?|?k?180,k?Z? 54 / 97 ? 终边在 y 轴上的角的集合： ?|?k?180?90?,k?Z? 终边在坐标轴上的角的集合： ?|?k?90?,k?Z? 终边在 y=x轴上的角的集合： ?|?k?180?45?,k?Z? 终边在 y ?x SINCOS三角函数值大小关系图 轴上的角的集合： ?|?k?180?45?,k?Z? 1、 2、 3、 4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 若角 ?与角 ?的终边关于 x 轴对称，则角 ?与角 ?的关系： ?360?k? 若角 ?与角 ?的终边关于 y 轴对称，则角 ?与角 ?的关系： ?360?k?180? 若角 ?与角 ?的终边在一条直线上，则角 ?与角 ?的关系： ?180?k? 角 ?与角 ?的终边互相垂直，则角 ?与角 ?的关系： ?360?k?90? 2. 角度与弧度的互换关系： 360=2? 180=? 1= 1=5718 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 . 55 / 97 、弧度与角度互换公式： 1rad 180=5718 1 ? ?180 3、弧长公式： l?|?|?r. 扇形面积 公式： s扇形 ? 12 lr? 12 |?|?r 56 / 97 2 4、三角函数：设 ?是一个任意角，在 ?的终边上任取 P 与原点的距离为 r，则 sin? cot? xy 原点的）一点 P ? yr ； cos? ? 57 / 97 tan? yx ； ； sec? ? rx ； . csc? ? ry . 5、三角函数在各象限的符号： 58 / 97 正弦、余割 余弦、正割 正切、余切 6、三角函数线 正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： 16. 几个重要结论 :(3) 若 o 2 cos? ?tan? 8、同角三角函数的基本关系式： sin? tan?cot?1 csc?sin?1 59 / 97 2 2 2 cos?sin? ?cot? 2 sec?cos?1 2 2 sin?cos?1 sec?tan?1 csc?cot?1 9、诱导公式： 60 / 97 把 k?2 ?的三角函数化为 ?的三角函数，概括为： “ 奇变偶不变，符号看象限 ” 三角函数的公式：基本关系 公式组二 公式组三 公式组一 sinxcscx=1tanx= sinxcosx sinx+cosx=122 sin2(k?x)?sinxcos2(k?x)?cosxsin?(x)?sinx cos x 2 2 cos?(x)?cosx cosxsecx=1x= 61 / 97 sinx 1+tanx=secx tan2(k?x)?tanxtan?(x)?tanxtanxcotx=1 1+cot2 x=csc2 x cot2(k?x)?cotx cot?(x)?cotx 公式组四 公式组五 公式组六 sin(?x)?sinxsin2(?x)?sinx sin?(?x)?sinx 62 / 97 cos(?x)?cosx cos2(?x)?cosx cos?(?x)?cosxtan(?x)?tanxtan2(?x)?tanxtan?(?x)?tanx cot(?x)?cotx cot2(?x)?cotx cot?(?x)?cotx 角与角之间的互换 公式组一 公式组二 cos(?)?cos?cos?sin?sin? sin2?2sin ?cos? cos(?)?cos?cos?sin?sin? cos2?cos2?sin2?2cos2?1?1?2sin2 ? sin(?)?sin?cos?cos?sin? 63 / 97 tan2? 2tan? 1?tan 2 ? sin(?)?sin?cos?cos?sin? si? 2 ? ?cos? 2 tan(?)? 64 / 97 tan?tan?1?tan?tan? co? 2 ? 1?cos? 2 tan(?)? tan?tan? tan ?cos?sin?1?cos?1?tan?tan? 2 ? 65 / 97 1?1?cos? ?1?cos? ? sin? 公式组三 公式 组四 1 公式组五 sin?sin? 2tan ? sin?cos? 2 ?cos( 66 / 97 1sin? 2 ? cos ?sin? ? 12?sin?sin? ?2?)?sin?1?tan 2 12 cos?cos? 12 67 / 97 ?cos? ?cos? ?sin(2?)?cos?1?tan 2 ? 1cos? 2 sin?sin? 12 ?cos?cos? ? 68 / 97 tan( 2 ?)?cot? 1?tan 2 ? 2 sin?sin?2sin? cos? cos(1?)?sin? sin?sin?2cos 69 / 97 ?2?sin?2?2?2tan ? 1?2? ?)?cot?tan? 2 cos ?2? tan(21?tan 2 ? cos? 70 / 97 ?cos?2cos 2 cos?cos?2?22 sin ?sin( 12 ?)?cos? 2 sin ? 2 71 / 97 sin15 ? ?cos75 ? ? 6?,? ? ? ? sin 75 72 / 97 ? ?cos15 ? ? 6?2,tan15 ?cot75?2? 3,tan75?cot15?2? 3 . 4 4 73 / 97 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： y?sinxy?sinxy?cosxy?cos ，则 y?f(x)在 a,b上递减 . y?f(x)在 a,b上递增y? x x 与 y ?cosx 的周期是 ?. ?cos(?x?) ?y?sin(?x?) 或 y 74 / 97 y?tan x2 的周期 T? 2? ? . 的周期为 2?. ? 2 y?sin(?x?) 的对称轴方程是 x x?k? 75 / 97 ?k? 12 ，对称中心； y?(soc?x?) 的对称轴方程是 ，对称中心 ?x?)的对称中心 . y?cos2x?y?cos(?2x)?cos2x tan? 当 tan? ?1,?k? ? 76 / 97 2 (k?Z) tan?； tan? ?1,?k? ? 2 (k?Z) . y ?cosx ?与 y?sin?2k?是同一函数 ,而 y?(?x?)是偶函数，则 ?x? 77 / 97 ? 2 ? 12 y?(?x?)?sin(?x?k? ?)?cos(?x). 函数 y?tanx在 R 上为增函数 . 只能在某个单调区间单调递增 . 若在整个定义域， y?tanx为增 函数，同样也是错误的 . 定义域关于原点对称是 f(x)具有奇偶性的必要不充分条件 .，二是满足奇偶 性条件，偶函数： f(?x)? f(x)，奇函数： f(?x)?f(x)） 78 / 97 奇偶性的单调性：奇同偶反 . 例如： y?tanx 是奇函数，y?tan(x?1?)是非奇非偶 . 奇函 数特有性质：若 0?x 的定义域，则 f(x)一定有 y ?sinx f(0)?0. 不是周期函数； y?x 为周期函数； y?cosx 是周期函数； y?cosx 为周期函数，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： y=|co2sx+21/|图象 y?f(x)?5?f(x?k),k?R. y 79 / 97 ?acos?bsin?a?b 22 sin(?)?cos? ba 有 a2?b2?y. 11、三角函数图象的作法： ）、几何法： ）、描点法及其特例 五点作图法，三点二线作图法 . ）、利用图象变换作三角函数图象 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等 函数 y Asin 的振幅 |A|，周期 T ?2?|?| ，频率 f 80 / 97 ? 1T ? |?|2? ，相位 ?x?;初相 ?， 由 y sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短到原来的 |A|倍，得到 y Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换 由 y sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长或缩短到原来的 | 1 ? 81 / 97 | 倍，得到 y sin x 的图象，叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换 (用 x 替换 x) 由 y sinx的图象上所有的点向左或向右平行移动 个单位，得到 y sin 的图象，叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移 (用 x 替换 x) 由 y sinx 的图象上所有的点向上或向下平行移动 b个单位，得到 y sinx b 的图象叫做沿 y轴方向的平移 由y sinx 的图象利用图象变换作函数 y Asin 的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。 4、反三角函数： ?函数 y sinx，记作 y arcsinx，它的定义域是1， 1，值 域是 ? ? ? ?的反函数叫做反正弦函数， ?x? ? ? 82 / 97 2 ?2? ? ? 2 2? 函数 y cosx，的反应函数叫做反余弦函数，记作 yarccosx，它的定义域是 1， 1， 第三章 三角函数 任意角三角函数 一、知识导学 1角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到83 / 97 另一个位置所形成的几何图形 .角的三要素是：顶点、始边、终边 .角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角 . 2弧度制：任一已知角 ?的弧度数的绝对值 ?l，其中 l 是以 ?作为圆心角时所对圆弧的长， r为圆的半径 .规定： r ?正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 .用 “ 弧度 ” 做单位来度量角的制度叫做弧度制 . ?180?； 1rad?3弧度与角度的换算： 360?2?rad；1?用弧度为单位表示角的 180? 大小时，弧度可以省略不写 .度 4弧长公式、扇形面积公 式： l?不可省略 . ?r,S 扇形lr?121|?|r2,其中 l 为弧长， r 为圆的半径 .圆的周长、面积公式是 2 弧长公式和扇形面积公式中当 ?2?时的情形 . 5任意角的三角函数定义：设 ?是一个任意大小的角，角 ?终边上任意一点 P 的坐标是 ?x,y?，它与原点的距离是84 / 97 r(r?0)，那 么角 ?的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是 si?n?yxyxrr,co?s,ta?n?,co?t,se?c?,cs?c?.这六个函数统称为三角函数 . rrxyxy 7三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示 可以简记为 “ 一全、二正、三切、四余 ” 为正 . 二、疑难知识导析 1在直角坐标系内讨论角 角的顶点在原点，始边在 x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第 几象限角 .它的前提是 “ 角的顶点为原点，角的始边为 x轴 的非负半轴 .否则不能如此判断某角为第几象限 .若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不 85 / 97 属于任何象限 . 与 ?角终边相同的角的集合表示 . ?k?360?,k?Z，其中 ?为任意角 .终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角有无 ?数多个，它们相差 360整数倍 . 2值得注意的几种范围角的表示法 ?“0 90 间的角 ” 指 0?90； “ 第一象限角 ” 可表示为 ?k?360?k?360?90,k?Z； “ 小于 90的 ? ?角 ” 可表示为 ?90. ? 3在弧度的定义中 l 与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关 . r 4确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键 .当终边在坐标轴上时点 P 坐标中必有一个86 / 97 为 0. 5根据三角 函数的定义可知：一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角 ?与 ?k?360(k?Z)的 ?同名三角函数值相等； x?r,y?r，故有 cos?1,sin?1，这是三角函数中最基本的一组不等关系 . 6在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论 .因此，在解答此类问题时要注意：角的范围是什么？对应角的三角函数值是正还是负？与此相关的定义、性质或公式有哪 些？ 三、经典例题导讲 ?)，则下列结论中正确的个数是 2 .sinA?sinC .cotA?cotC .tanA?tanC .cosA?cosC 例 1 若 A、 B、 C 是 ?ABC 的三个内角，且A?B?C(C? A 1 87 / 97 错解： ?A?C sinA?sinC ， tanA?tanC 故选 B 错因：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误 正解：法 1?A?C在 ?ABC 中，在大角对大边， ?c?a,?sinC?sinA 法 2 考虑特殊情形， A为锐角， C为钝角，故排除 B、 C、 D，所以选 A . 例 2已知 ?,?角的终边关于 y 轴对称，则 ?与 ?的关系为 . 错解： ?,? 角的终边关于 y轴对称， ? 2? 2+2k?，若 ?,?角的终边关于 x