2019届高考数学二轮复习 第二篇 专题通关攻略 专题7 解析几何 2.7.3 与椭圆、抛物线相关的轨迹方程、最值范围问题课件.ppt

第3课时与椭圆、抛物线相关的轨迹方程、最值范围问题,热点考向一轨迹方程问题考向剖析:本考向常在选择题、填空题及解答题的第一问中出现,基础题和中档题较多.主要考查圆锥曲线方程的几种常见求法,如定义法、待定系数法、交轨法以及曲线方程的一般求法等等.2019年高考本考向仍是考查热点,考查形式不会有大的变化.,【典例1】如图,在平面直角坐标中,过F(1,0)的直线FM与y轴交于点M,直线MN与直线FM垂直,且与x轴交于点N,T是点N关于直线FM的对称点,点T的轨迹为曲线C.,(1)求曲线C的方程.(2)椭圆E的中心在坐标原点,F为其右焦点,且离心率为,过点F的直线l与曲线C交于A,B两点,与椭圆交于P,Q两点,请问:是否存在直线使A,F,Q是线段PB的四等分点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.,【审题导引】(1)要求曲线C的方程,只要设T(x,y),设直线_的方程求出M的坐标,根据FMMN,进而求出N的坐标.由T是点N关于直线FM的对称点,即可得曲线C的方程.,FM,(2)假设存在直线l.设出直线l的方程,由图形可知,必有2AF=FB.联立方程,利用根与系数的关系,再分别验证即可.,【解析】(1)设T(x,y),可知FM的斜率必存在,故设直线FM的方程为y=k(x-1)令x=0,得M(0,-k),所以当k0时,直线MN的方程为y+k=-x.令y=0,得N(-k2,0),因为T是点N关于直线FM的对称点,所以T的坐标x,y满足消去k得y2=4x,当k=0时得T(0,0).曲线C的方程为y2=4x.,(2)因为椭圆E的中心在坐标原点,F(1,0)为其右焦点,且离心率为,所以椭圆的方程为假设存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点,当直线l的斜率不存在或为0时,显然不满足题意.设直线l的方程为y=m(x-1)(m0).由图形可知,必有2AF=FB.,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得my2-4y-4m=0;=16+16m20,所以y1+y2=,y1y2=-4;因为2AF=FB,所以=-2,又因为解得m=2.,当m=2时,直线l的方程为y=2(x-1),此时解得AB(2,2).由得可得yB2yQ,所以点Q不是FB的中点,所以A,F,Q不是线段PB的四等分点.,同理m=-2时,也可得A,F,Q不是线段PB的四等分点.综上,不存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点.,【名师点睛】求轨迹方程的常用方法(1)直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=0.(2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程.(3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.,(4)代入(相关点)法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而运动,常利用代入法求动点P(x,y)的轨迹方程.,【考向精练】1.已知抛物线的方程为C:x2=4y,过点Q(0,2)的一条直线与抛物线C交于A,B两点,若抛物线在A,B两点的切线交于点P.(1)求点P的轨迹方程.(2)设直线PQ与直线AB的夹角为,求tan的取值范围.,【解析】(1)由过Q的直线与抛物线交于两点可知,直线AB不与x轴垂直,故可设lAB:y=kx+2,则整理得:x2-4kx-8=0,=16k2+320,故kR时均满足题目要求.设交点坐标为则x1,x2为方程的两根,故由根与系数的关系可知,x1+x2=4k,x1x2=-8.,将抛物线方程转化为则故A点处的切线方程为整理得同理可得,B点处的切线方程为记两条切线的交点P(xP,yP),联立两条切线的方程,解得点P坐标为故点P的轨迹方程为y=-2,xR.,(2)当k=0时,xP=0,yP=-2,此时直线PQ即为y轴,与直线AB的夹角为.当k0时,记直线PQ的斜率又由于直线AB的斜率为k,且已知直线AB与直线PQ的夹角,2.(2018成都一模)已知点C为圆(x+1)2+y2=8的圆心,P是圆上动点,点Q在圆的半径CP上,且有点A(1,0)和AP上的点M,满足,(1)当P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程.(2)若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切,与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F,H,O是坐标原点,且时,求k的取值范围.,【解析】(1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线,所以|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2|CA|=2所以点Q的轨迹是以点C,A为焦点,焦距为2,长轴为2的椭圆,所以点Q的轨迹方程为+y2=1.,(2)设直线l:y=kx+b,F(x1,y1),H(x2,y2)直线l与圆x2+y2=1相切b2=k2+1,联立(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0,=16k2b2-4(1+2k2)2(b2-1)=8(2k2-b2+1)=8k20k0,=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2,所以,【加练备选】1.(2018南充市第一次高考适应性考试)已知椭圆(ab0)的左右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,|F1F2|=2,椭圆的离心率e=.(1)求椭圆的标准方程.(2)若P是椭圆上任意一点,求的取值范围.,【解析】(1)由已知可得2c=2,所以a=2,c=1,因为a2=b2+c2所以b=,所以椭圆的标准方程为,(2)设P(x0,y0),又A(-2,0),F1(-1,0)所以因为P点在椭圆上,所以且-2x02,所以,函数f(x0)=在-2,2上单调递增,当x0=-2时,f(x0)取最小值为0;当x0=2时,f(x0)取最大值为12.所以的取值范围是0,12.,2.已知M是直线l:x=-1上的动点,点F的坐标是(1,0),过M的直线l与l垂直,并且l与线段MF的垂直平分线相交于点N.,(1)求点N的轨迹C的方程.(2)设曲线C上的动点A关于x轴的对称点为A,点P的坐标为(2,0),直线AP与曲线C的另一个交点为B(B与A不重合),是否存在一个定点T,使得T,A,B三点共线?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.,【解析】(1)由题意可知:|NM|=|NF|,即曲线C为抛物线,焦点坐标为F(1,0),准线方程为l:x=-1,所以点N的轨迹C的方程为y2=4x.,(2)设A则A直线AP的斜率直线AP的方程y=(x-2),由,整理得:ay2-(a2-8)y-8a=0,设B(x2,y2),则ay2=-8,则y2=,x2=,则B又A所以AB的方程为y+a=-令y=0,则x=-2,直线AB与x轴交于定点T(-2,0),因此存在定点(-2,0),使得T,A,B三点共线.,热点考向二圆锥曲线中的最值范围问题高频考向考向剖析:本考向考查的形式为解答题,是压轴大题,主要考查与圆锥曲线有关的范围、最值问题,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数,形结合、函数与方程、化归与转化等数学思想在解题中的应用.2019年高考该考向仍是考查热点.,类型一圆锥曲线中参数的最值范围问题【典例2】(2018衡水二模)如图,椭圆C1:(ab0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率为;过抛物线C2:x2=4by焦点F的直线交抛物线于M,N两点,当|MF|=时,M点在x轴上的射影为F1,连接NO,MO并延长分别交C1于A,B两点,连接AB;OMN与OAB的面积分别记为,SOMN,SOAB,设=,(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程.(2)求的取值范围.,【大题小做】,【解析】(1)由抛物线定义可得M因为点M在抛物线x2=4by上,所以c2=即c2=7b-4b2又由得c2=3b2,将上式代入,得7b2=7b,解得b=1,所以c=,所以a=2,所以曲线C1的方程为+y2=1,曲线C2的方程为x2=4y.,(2)设直线MN的方程为y=kx+1,由消去y整理得x2-4kx-4=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4,设kON=m,kOM=m,则mm=所以m=,设直线ON的方程为y=mx(m0),由解得xN=4m,所以|ON|=|xN|=4m,由可知,用代替m,可得|OM|=,由解得xA=所以|OA|=|xA|=用-代替m,可得|OB|=,所以=,当且仅当m=时等号成立.所以的取值范围为2,+).,类型二圆锥曲线中面积的最值范围问题【典例3】(2018绵阳二模)如图,已知抛物线C1:y2=4x的焦点为F,椭圆C2的中心在原点,F为其右焦点,点M为曲线C1和C2在第一象限的交点,且|MF|=.世纪金榜导学号,(1)求椭圆C2的标准方程.(2)设A,B为抛物线C1上的两个动点,且使得线段AB的中点D在直线y=x上,P(3,2)为定点,求PAB面积的最大值.,【审题导引】(1)要求C2的方程,设左焦点为E,只要求出_的长度即可.(2)要求PAB面积的最值,只要将面积表示成参数的函数,然后求函数最值即可.,ME,【解析】(1)设椭圆C1的方程为(ab0),半焦距为c,由已知得点F(1,0),则c=1,设点M(x0,y0)(x00,y00),由抛物线的定义,得:|MF|=x0+1=,则x0=.,从而y0=,所以点M设点E为椭圆的左焦点,则E(-1,0),|ME|=根据椭圆定义,得2a=|ME|+|MF|=6,则a=3.从而b2=a2-c2=8,所以椭圆C2的标准方程是,(2)设点D(m,m),A(x1,y1),B(x2,y2),则=4x1,=4x2,两式相减,得-=4(x1-x2),即因为D为线段AB的中点,则y1+y2=2m,所以直线AB的斜率k=,从而直线AB的方程为y-m=(x-m),即2x-my+m2-2m=0,联立得y2-2my+2m2-4m=0,则y1+y2=2m,y1y2=2m2-4m.,所以|AB|=|y1-y2|设点P到直线AB的距离为d,则d=所以SPAB=|AB|d=|6-4m+m2|,由4m-m20,得00,得00)的短轴长为2,离心率为,点A(3,0),P是C上的动点,F为C的左焦点.(1)求椭圆C的方程.(2)若点P在y轴的右侧,以AP为底边的等腰ABP的顶点B在y轴上,求四边形FPAB面积的最小值.,【解析】(1)依题意得解得所以椭圆C的方程是,(2)设P(x0,y0)(-0),设线段AP中点为M,因为A(3,0),所以AP中点M直线AP斜率为由ABP是以AP为底边的等腰三角形,所以BMAP,所以直线AP的垂直平分线方程为,令x=0,得B因为所以B由F(-2,0),得四边形FPAB面积S=,当且仅当2|y0|=即y0=时等号成立,四边形FPAB面积的最小值为5.,2.(2018江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点焦点F1(-,0),F2(,0),圆O的直径为F1F2.世纪金榜导学号,(1)求椭圆C及圆O的方程.(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;直线l与椭圆C交于A,B两点.若OAB的面积为,求直线l的方程.,【解析】(1)因为椭圆C的焦点为F1(-,0),F2(,0),可设椭圆C的方程为(ab0).又点在椭圆C上,所以解得,因此,椭圆C的方程为+y2=1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.,(2)设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x00,y00),则所以直线l的方程为y=-(x-x0)+y0,即