华工高数下习题册测试题答案.pdf

院 系班级姓 名作业编号 1 高等数学 （下册）测试题一高等数学 （下册）测试题一 一、选择题（每小题 3 分，本大题共 15 分） （在括号中填上所选字母） 1设有直线 3210 : 21030 xyz L xyz + = += 及平面，则直线（A）:4220 xyz+ =L A平行于平面；B在平面上； C垂直于平面；D与平面斜交. 2二元函数在点处（C） 22 ,( , )(0,0) ( , ) 0, ( , )(0,0) xy x y xyf x y x y += = (0,0) A连续、偏导数存在；B连续、偏导数不存在； C不连续、偏导数存在；D不连续、偏导数不存在. 3设为连续函数，则（B）( )f x 1 ( )d( )d tt y F tyf xx= (2)F A；B；CD.2 (2)f(2)f(2)f0 4设是平面由，所确定的三角形区域，则曲1 32 =+z yx 0x0y0z 面积分 （D）(326 )dxyzS + A7；B；C；D. 2 21 1421 5微分方程的一个特解应具有形式（B）e1 x yy =+ A；B；C；D.exab+exaxb+exabx+exaxbx+ 二、填空题（每小题 3 分，本大题共 15 分） 1设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程(6, 3,2)428xyz+= 为；2230 xyz+= 2设，则；arctan 1 xy z xy = + (1, 3) d |z 2 4 dxdy 3设为正向一周，则0 ；L1 22 =+yx 2 e d x L y= 4设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为3 22 =+yxxyz=),( 000 zyx 高等数学同步作业册 2 ，则正数； 6 = 0 Z 3 2 5设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若)()(xQyxPy=+ 21 ,yy 也是该方程的解，则应有1. 12 yy+=+ 三、 （本题7分） 设由方程组确定了，是，的函数，求及与 e cos e sin u u xv yv = = uvxy x u x v . y v 解：方程两边取全微分，则 e cose sin e sine cos uu uu dxvduvdv dyvduvdv = =+ 解出 22 22 cosesin , esinecos uu uu xdxydy duevdxvdy xy du dv xdyydx dvvdxvdy xy + =+= + = += + 从而 222222 , uxvyvx xxyxxyyxy = + 四、 （本题7 分）已知点及点，求函数在点)1 , 1 , 1(A)1, 2 , 3(B () 3 ln 32uxyz=A 处沿方向的方向导数.AB 解： 2 12 2,1, 2 , 3 33 ABAB = o uuu ruuu r ， 2 333 336 , 323232 yxz gradu xyzxyzxyz = 3,3, 6 A gradu= 从而 2 12 ,3,3, 62147 3 33 u AB =+ += uuu r 五 、（本题 8 分）计算累次积分）. 24 112 2 11 de dde d xx xx yy x xyxy yy + 解：依据上下限知，即分区域为 1212 ,:12,1;:24,. 2 x DDD Dxyx Dxyx= 作图可知，该区域也可以表示为 2 :12,2Dyyxy 院 系班级姓 名作业编号 3 从而 () 2 24222 2 11211 2 111 de dde dde deed xxx xxy y yyy x y xyxyyxy yyy += ()() 2 22221 1 ee2eeee y ye= 六、 （本题 8 分）计算，其中是由柱面及平面d d dIz x y z =1 22 =+yx 围成的区域.1,0=zz 解：先二后一比较方便， 1 11 2 2 00 0 1 22 z D z Izdzdxdyzdz = 七 （本题 8 分）计算，其中是抛物面被平面 32 ()dxyzS+ 22 2yxz+= 所截下的有限部分.2=z 解：由对称性 322 d0,ddxSySxS= 从而 22 3222 ()d()d()d 2 xy xyzSzSxyS + +=+=+ 222 22223232 000 () 1dxdy121 D xyxydrr drrr dr =+=+=+ () 4 0 20 54 1 11 315 ttdt =+ +=+ 八、 （本题8 分）计算，是点到点 222 2 2 (4cos)dcosd L xxxx xxy yyyy + L ( ,) 2 2 A 在上半平面上的任意逐段光滑曲线.(,2)B)0( y 解：在上半平面上)0( y 22232 223 22 coscossin Qxxxxxx xxyyyyyy = + 且连续， 2232 23 222 (4cos)0cossin PxxxxxxQ x yyyyyyyyx =+=+= 从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取)0( y (,) 2 C 2 222 2 2 22 424415 (4cos)dcosd1 2 L ACCB xx xxy yy =+=+= 高等数学同步作业册 4 九、 （本题8 分）计算，其中 为半 222 ()d d()d d()d dxyy zyzz xzxx y+ 球面上侧. 22 1yxz= 解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧 1: 0z= 11 222 ()d d()d d()d dxyy zyzz xzxx y + += () 1 22 223 2 1 1 1331 32 DD xy dvx dxdydvx dxdydxdy + =+ +=+= + 21 1 34 0 00 119 22 244 dr drr =+=+= 十、 （本题8 分）设二阶连续可导函数，适合，求)(xfy= t s x=04 2 2 2 2 = + s y t y )(xfy= 解： 2 1 , ysy ff ttst = 2 22 223222 211 , ysssy fffff tttttss tt =+= 由已知 2 22 22322 24 40,0, yyss fff tsttt +=+= 即( )( )( )()( )()( ) 222 1 420,40,4xfxxfxxfxxfxc +=+=+= ( )( ) 11 2 2 ,arctan 422 ccx fxf xc x =+ + 十一、 （本题 4 分）求方程的通解.xyy2cos4 =+ 解：解：对应齐次方程特征方程为 2 1,2 40,2rri+= 非齐次项，与标准式 ( )cos2 ,f xx=( )( )( ) cossin x ml f xePxxP xx =+ 比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为max,0,2nm li=1k= ( )( ) * 12 cossincos2sin2 , kx nn yxQxxQxx eaxxbxx =+=+ * (2)cos2(2)sin2 ,( 44)sin2(44)cos2yabxxbaxx yabxxbaxx =+= + 院 系班级姓 名作业编号 5 代入方程得 1 4 sin24 cos2cos2 ,0, 4 axbxxab+= 12 1 cos2sin2sin2 4 ycxcxxx=+ + 十二、 （本题 4 分）在球面的第一卦限上求一点，使以为 2222 azyx=+MM 一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解：设点的坐标为，则问题即在求最小M (), ,x y z 8Vxyz= 2222 0 xyza+= 值。 令，则由 () 2222 8Lxyzxyza=+ 2222 820,820,820, xyz LyzxLxzyLxyzxyza=+= 推出，的坐标为 3 a xyz=M, 333 aaa 附加题： （供学习无穷级数的学生作为测试）附加题： （供学习无穷级数的学生作为测试） 1判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收 = + 1 1 )1ln( )1( n n nn 敛？ 解：由于，该级数不会绝对收敛， () 11 , ln(1) n un nnn = + 显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛 n u 2求幂级数的收敛区间及和函数. n n n x n n = + 0 2 !2 1 解： () () 21 22 12 1 1 2(1)!2 (1) limlimlim 2! 11 1 n n n nnn n annn R an n nn + + + = + + + 从而收敛区间为， (), + () 2 010 11 11 2!1 ! 2! 2 nn n n nnn nnxx x nnn = + + =+ ()() 210 111 2 ! 21 ! 2! 2 nn nnn xxx nnn = =+ 21 2 2 000 111 1 ! 2! 2! 242 nn x nnn xxxxx e nnn + = =+=+ 高等数学同步作业册 6 3将展成以为周期的傅立叶级数. 0, 0 ( ) 0 ,0 ax f xHxa Hax = y 取折线(3,2)(1,2) 2 (3,) 3 BAC 212 22 22 2 3 3 1()31 4 (2 ) d() 1d(3 ) 1dd 2 L y f xyxfx xy f xyyy fyyx yyy + +=+ 2 1221162 2 2 223 3326 3 33 3131 3 (3 )d2 (2 )d( )( )dt 22 fy dyydxfxxf t dtxf t yy =+=+ 2 1 2 3 3 313913 4 22222 x y =+=+= 高等数学同步作业册 10 九 、 计 算 曲 面 积 分， 其 中 ，为 上 半 球 面 ： ()dxyzS+ （本题8 分） 2222 (0)xyzRz+= 解：由于，故()(), ,x y zxy z ()ddxyzSz S+ = 为上半球面，则 cos0,2 ,2 ,2/, , xyz nxyzx y zn R R R = o rr 原式 2 222222 00 R D zRxyRr dxdydxdydrdr RRR = () 23224 00 2211 24 R R R rrdrR rr RR = 3 2 R = 十、求微分方程的解 （本题 8 分） cos 2 d tan2e0,|1 d x x y xyy x = += 解： cos d cot2e, d x y yx x += () cotcot coslnsincoslnsin 2e2e xdxxdx xxxx yeedxceedxc =+=+ ()() coscos 11 2esin2e sinsin xx yxdxcc xx =+= 由，得 2 |1 x y = = () cos 1 12,1,1 2e sin x ccy x = = 十一、试证在点处不连续，但存在有 2 24, ( , ) (0,0) ( , ) 0, ( , )(0,0) xy x y f x yxy x y =+ = (0,0) 一阶偏导数 （本题 4 分） 解：沿着直线， 2, ( , ) (0,0)xkyx y= 22 2 242 00 00 lim( , )lim 1 yy x kyx ky xyk f x y xyk = = + 依赖而变化，从而二重极限不存在，函数在点处不连续。k(0,0) 而()()()( ,0)0,0,0,0,00,0,00 xy f xfyff= 院 系班级姓 名作业编号 11 十二 、 设 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程的一 个 特 解 为exyyy += ，试确定常数，并求该方程的通解 （本题 4分 ） 2 e(1)e xx yx=+, 解：由解的结构定理可知，该微分方程对应齐次方程的特征根应为，否 12 2,1rr= 则不能有这样的特解。从而特征方程为()() 2 21320,rrrr=+= 因此3,2= = 为非齐次方程的另一个特解， 1 x yxe= ()() 11 1,2 xx yxeyxe =+=+ ()() 2e231,2332,1 xxxx xexexexxx +=+ += 故，通解为3,2= =1= exyyy += 2 12 e()e xx yccx=+ 附加题： （供学习无穷级数的学生作为测试）附加题： （供学习无穷级数的学生作为测试） 1求无穷级数的收敛域及在收敛域上的和函数 1 1 3 n n n x n = 解： () () 2 1 1 1 limlim233 1 3 n n n nn n a Rn an + + + =+= + 由于在时发散，在时条件收敛，故收敛域为3x=3x= 3,3) 看， ( )( ) 1 1 1 , 1,1),01 n n s ttts n = = = 则 ( )( )() 1 1 0 11 ,ln 1, 11 t n n ts ttts tdtt tt = = 从而 1 1 1 ln 1, 3,0)(0,3) 13 333 1 ,0 3 n n n x x xxx s n x = = = U 2求函数在处的幂级数展开式( )(2)ln(4)f xxx=+ 0 1x= 高等数学同步作业册 12 解： ( )(1)1 ln 5(1)(1)1ln5ln 1 1 5 f xxxx x =+ = () 1 0 (1)1ln5 11 15 nn n x x n + = + = + () () () () () () () 21 11 00 11 ln51 ln511 1 51 5 nn nn nn nn xxx nn + + = =+ + () () () ()() () 2 2 0 16111 ln5ln511 5512 n n n n n xx nn + + = + =+ + 3将函数展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围 0, 20 ( ) 1, 02 x f x x = n n n 院 系班级姓 名作业编号