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文档简介

,微积分A,刻苦勤奋求实创新,理学院工科数学教学中心,第八章多元函数微分学,理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上连续函数的性质。,理解偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。会求隐函数的偏导数和全导数。,了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。,重点与难点,重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概念，多元复合函数的求导法则，用拉格朗日条件极值求最大值应用问题，方向导数与梯度。,难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。,设空间L曲线的参数方程为,一、空间曲线的切线与法平面,1、曲线由参数方程给出的情形,假定(1)式中的三个函数均可导。,且导数在M点不同时为零.,L,L,是曲线L上的两点,且分别,割线的方程为,考察割线趋近于极限位置切线的过程,考察割线趋近于极限位置切线的过程,上式分母同除以,曲线在M处的切线方程,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量,如下向量为其中之一,法平面：过M点且与切线垂直的平面,即,过点与切线垂直的平面称为曲线L在点M处的法平面,解,切线方程:,法平面方程:,空间曲线方程为,法平面方程为,特殊情况：,此时可把x看作参数，即参数方程为,即t=t0处，,2.曲线由一般方程给出的情形,曲线上的一点,此函数方程组可确定是x的隐函数,即曲线可用(隐式)方程:,来表示,由1中特殊情况知,只需求,下由例题给出求解方法,求切线方程为,法平面方程为,dx=1,dy=0,dz=1为非零解,求曲线,（椭球面）,（球面）,解,将x=1代入方程组，,解方程组得，,x=1处的点为,将所给方程的两端对x求导，,方程组有唯一解。,切向量,切向量,切线方程,法平面方程,切向量,切线方程,法平面方程,二.曲面的切平面与法线,若曲面上过点的任意曲线的切线都位于同一平面.,切平面,过且与切平面垂直的直线,法线,1.设曲面方程为,在该点偏导数连续且不全为零.,是曲面上过的任一曲线:,切平面方程,法线方程,切平面的法向量,将上式两端对t在点求导有,1,由于曲线是曲面上过点的任一条光滑曲线，它们在的切线都与同一定向量垂直，故曲面上过的一切曲线在该点的切线都在同一平面上,即曲面在点的切平面上.,切平面方程向量表示,特殊情况：空间曲面方程形为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,曲面在M处的法向(指向上侧)可取为:,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切
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