2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题65 离散型随机变量分布列与数字特征.doc

专题65 离散型随机变量分布列与数字特征【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，离散型随机变量的分布列及其数字特征是高考命题的热点.往往以实际问题为背景考查离散型随机变量的数字特征在实际问题中的应用考查数据处理能力以及分析问题解决问题的能力.有时概率统计问题一同考查.难度控制在中等本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.（一）离散型随机变量分布列：1、随机变量：对于一项随机试验，会有多个可能产生的试验结果，则通过确定一个对应关系，使得每一个试验结果与一个确定的数相对应，在这种对应关系下，数字随着每次试验结果的变化而变化，将这种变化用一个变量进行表示，称这个变量为随机变量（1）事件的量化：将试验中的每个事件用一个数来进行表示，从而用“数”即可表示事件.例如：在扔硬币的试验中，用1表示正面朝上，用0表示反面朝上，则提到1，即代表正面向上的事件.将事件量化后，便可进行该试验的数字分析（计算期望与方差），同时也可以简洁的表示事件（2）量化的事件之间通常互为互斥事件（3）随机变量：如果将事件量化后的数构成一个数集，则可将随机变量理解为这个集合的代表元素.它可以取到数集中每一个数，且每取到一个数时，就代表试验的一个结果.例如：在上面扔硬币的试验中，设向上的结果为，则“”代表“正面向上”，”代表“反面向上”，（4）随机变量的记法：随机变量通常用等表示（5）随机变量的概率：记为取所代表事件发生的概率2、离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量，离散型随机变量的取值集合可以是有限集，也可以是无限集3、分布列：一般地，若离散型随机变量可能取得不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：称该表格为离散型随机变量的分布列，分布列概率具有的性质为：（1）（2），此性质的作用如下： 对于随机变量分布列，概率和为1，有助于检查所求概率是否正确 若在随机变量取值中有一个复杂情况，可以考虑利用概率和为1的特征，求出其他较为简单情况的概率，利用间接法求出该复杂情况的概率 （二）常见的分布：1、如何分辨随机变量分布列是否符合特殊分布：（1）随机变量的取值：随机变量的取值要与特殊分布中的取值完全一致.（2）每个特殊的分布都有一个试验背景，在满足（1）的前提下可通过该试验的特征判断是否符合某分布2、常见的分布（1）两点分布：一项试验有两个结果，其中事件发生的概率为，令，则的分布列为：则称符合两点分布（也称伯努利分布），其中称为成功概率（2）超几何分布：在含有个特殊元素的个元素中，不放回的任取件，其中含有特殊元素的个数记为，则有，其中即：则称随机变量服从超几何分布，记为（3）二项分布：在次独立重复试验中，事件发生的概率为，设在次试验中事件发生的次数为随机变量，则有 ，即： 则称随机变量符合二项分布，记为 （三）数字特征期望与方差1、期望：已知离散性随机变量的分布列为：则称的值为的期望，记为 （1）期望反映了随机变量取值的平均水平，换句话说，是做了次这样的试验，每次试验随机变量会取一个值（即结果所对应的数），将这些数进行统计，并计算平均数，当足够大时，平均数无限接近一个确定的数，这个数即为该随机变量的期望.例如：连续投篮三次，设投进篮的次数为随机变量，那么将这种连续三次投篮的试验重复做很多次（比如次），统计每次试验中的取值，则这个值的代数平均数将很接近期望 （2）期望的运算法则：若两个随机变量存在线性对应关系：，则有 是指随机变量取值存在对应关系，且具备对应关系的一组代表事件的概率相同：若的分布列为：则的分布列为： 这个公式体现出通过随机变量的线性关系，可得期望之间的联系.在某些直接求期望的题目中，若所求期望的随机变量不符合特殊分布，但与一个特殊分布的随机变量间存在这样的关系，那么在计算期望时，便可借助这个特殊分布的随机变量计算出期望2、方差：已知离散性随机变量的分布列为：且记随机变量的期望为，用表示的方差，则有：（1）方差体现了随机变量取值的分散程度，与期望的理解类似，是指做了次这样的试验，每次试验随机变量会取一个值（即结果所对应的数），将这些数进行统计.方差大说明这些数分布的比较分散，方差小说明这些数分布的较为集中（集中在期望值周围） （2）在计算方差时，除了可以用定义式之外，还可以用以下等式进行计算：设随机变量为 ，则 （3）方差的运算法则：若两个随机变量存在线性对应关系：，则有：3、常见分布的期望与方差：（1）两点分布：则 （2）二项分布：若，则 （3）超几何分布：若，则注：通常随机变量的期望和方差是通过分布列计算得出，如果题目中跳过求分布列直接问期望（或方差），则可先观察该随机变量是否符合特殊的分布，或是与符合特殊分布的另一随机变量存在线性对应关系.从而跳过分布列中概率的计算，直接利用公式得到期望（或方差）【经典例题】例1.【2018年浙江卷】设0p1，随机变量的分布列是012P则当p在（0，1）内增大时，A. D（）减小 B. D（）增大C. D（）先减小后增大 D. D（）先增大后减小【答案】D点睛：例2.【2018年全国卷理】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，则A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3【答案】B例3.【2017浙江，8】已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1pi，i=1，2 若0p1p2，则A，BC，【答案】A【解析】【考点】 两点分布【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出取各个值时的概率对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数由已知本题随机变量服从两点分布，由两点分布均值与方差公式可得A正确例4.【2017课标II，理13】一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 .【答案】例5.【2017天津，理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.【答案】 (1) (2) 所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望.例6.【2017课标1，理19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，其中为抽取的第个零件的尺寸，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）附：若随机变量服从正态分布，则，【解析】 【考点】正态分布，随机变量的期望和方差.【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反应随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的原则.例7.【2017山东，理18】（本小题满分12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率.（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.【答案】（I）(II)X的分布列为X01234PX的数学期望是.【解析】试题分析：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，计算即得(II)由题意知X可取的值为：.利用超几何分布概率计算公式得X的分布列为X01234P进一步计算X的数学期望.因此X的分布列为X01234PX的数学期望是=【考点】1.古典概型.2.随机变量的分布列与数学期望.3.超几何分布.【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.例8.【2018年理数天津卷】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.【答案】（）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（）（i）答案见解析；（ii）详解：（）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3P（X=k）=（k=0，1，2，3）所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；类个体的个数超几何分布的特征是：考查对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比样本中这两层抽取的个体数之比例9.【2018年北京卷理】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）写出方差，的大小关系【答案】(1) 概率为0.025(2) 概率估计为0.35(3) =【解析】分析：(1)先根据频数计算是第四类电影的频率，再乘以第四类电影好评率得所求概率，(2) 恰有1部获得好评为第四类电影获得好评第五类电影没获得好评和第四类电影没获得好评第五类电影获得好评这两个互斥事件，先利用独立事件概率乘法公式分别求两个互斥事件的概率，再相加得结果，(3) 服从0-1分布，因此，即得=（）=点睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)，独立事件概率乘法公式:若A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).例10.【2018年新课标I卷理】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立 （1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用 （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】(1).(2) （i）490.（ii）应该对余下的产品作检验.【解析】分析：(1)利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意的条件；(2)先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.详解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为.因此.（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于，故应该对余下的产品作检验.点睛：该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论.【精选精练】1【2018届浙江省台州中学模拟】已知某个数的期望为，方差为，现又加入一个新数据，此时这个数的期望记为，方差记为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先利用离散型随机变量的期望和方程的计算公式，结合题中所给的条件，列出相应的式子，从而求得的值，进而得到正确的选项.详解：根据题意可知，故选B.2已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C，故选C.3【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，去除后不放回，直到渠道有两种不同颜色的球时即终止，用表示终止取球时所需的取球次数，则随机变量的数字期望是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：X的可能取值为2，3，求出对应的概率，由此能求出随机变量X的数字期望E（X）详解：袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取后不放回，直到取到有两种不同颜色的球时即终止，用X表示终止取球时所需的取球次数，则X的可能取值为2，3，随机变量X的数字期望E（X）是，故选A4【2018届安徽亳州市涡阳一中高三最后一卷】2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.5【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）红卷】已知两个离散型随机变量，满足的分布列如下：当时，_，_【答案】 6.【2018届江西师范大学附属中学三模】某地十万余考生的成绩近似地服从正态分布，从中随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组，第二组，第六组，作出频率分布直方图，如图所示：（1）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩和标准差（精确到个位）；（2）以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差，设成绩超过93分的为“优”，现在从总体中随机抽取50名考生，记其中“优”的人数为，是估算的数学期望【答案】（1），；（2）【解析】分析: (1)直接利用平均数和标准差公式求解.(2)先，再求,最后求的数学期望详解：（1）根据题意，计算平均数为；点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图中平均数和标准差的计算，考查正态分布和随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是能利用正态分布的性质计算出，其二是灵活利用二项分布性质简洁地计算出.7【四川省成都市2018年高考模拟试卷（一）】如图，某工人的住所在处，上班的企业在处，开车上下班的路线有三条路程几乎相等的线路供选择:环城南路经过医院的路口，环城北路经过学校的路口，中间路线经过商场的路口.如果开车到五个路口因遇到红灯而堵车的概率分别为，再无别的路口红灯.(1)为了减少开车在路口因遇到红灯而堵车的次数，这位工人应该选择哪条行驶路线? (2) 对于(1)所选择的路线，求其堵车次数的方差.【答案】(1) 这位工人应该选择行驶路线（2）详解：（1）设这位工人选择行驶路线、的分别堵车、次，则、1、2；、1、2、3由于 ，则期望值由于 ，则期望值由于 ，所以符合题意的方差为8【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】今年4月某天我市一高中组织高一年级学生开展了“百里远足”活动，受到了社会的普遍赞誉本次远足活动结束后，该校体育课外兴趣小组在高一某班进行了对“本次远足活动高一同学们的表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体调查结果如下表：某班满意不满意男生23女生42（）若该班女生人数比男生人数多4人，求该班男生人数和女生人数；（）求在该班随机抽取一名学生由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（）若从该班抽出的11名学生中任选2人进行追踪，记选中的2人中对“本次远足活动高一年级学生表现”满意的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）男生有人，女生有人（2）（3）见解析【解析】分析：（）样本中男生比例为，从而班级中男生比例为，再根据女生人数比男生人数多4就可以求出班级的男生数和女生数.（）样本中随机抽取一名学生，该生持满意态度的概率的概率为，故班级中随机抽取一名学生，该生（）由题意知，服从参数为的超几何分布，故的分布列为：012于是，9【2018届【衡水金卷】四省第三次大联考】2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.某地方体育台组织球迷对德国、西班牙、阿根廷、巴西四支热门球队进行竞猜，每位球迷可从四支球队中选出一支球队，现有三人参与竞猜.（1）若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的，求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率；（2）若三人中有一名女球迷，假设女球迷选择德国队的概率为，男球迷选择德国队的概率为，记为三人中选择德国队的人数，求的分布列和数学期望.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】分析：（1）由题意结合古典概型计算公式可知满足 题意的概率值为.（2）由题知，计算相应的概率值可得，, ，据此得到相应的分布列，计算其数学期望为.，, 的分布列为.10.【2018届云南省玉溪市适应性训练】某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益万元万元万元万元若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为万元；有雨时，收益为万元.额外聘请工人的成本为万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为万元的概率为.（）若不额外聘请工人，写出基地收益的分布列及基地的预期收益；（）该基地是否应该外聘工人，请说明理由.【答案】(1)分布列见解析，14.4万元.(2)当额外聘请工人的成本高于万元时，不外聘工人：成本低于万元时，外聘工人：成本恰为万元时，是否外聘工人均可以.理由见解析.详解：（）设下周一无雨的概率为，由题意，基地收益的可能取值为，则，. 基地收益的分布列为： ，基地的预期收益为万元.（）设基地额外聘请工人时的收益为万元，则其预期收益（万元）， 综上，当额外聘请工人的成本高于万元时，不外聘工人：成本低于万元时，外聘工人：成本恰为万元时，是否外聘工人均可以.11【2018届河北省武邑中学四模】从某校高三的学生中随机抽取了100名学生，统计了某次数学模考考试成绩如表：（1）请在频率分布表中的、位置上填上相应的数据，并在给定的坐标系中作出这些数据的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这100名学生的平均成绩；（2）从这100名学生中，采用分层抽样的方法已抽取了 20名同学参加“希望杯数学竞赛”，现需要选取其中3名同学代表高三年级到外校交流，记这3名学生中“期中考试成绩低于120分”的人数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）见解析；（2）见解析详解：（1），.频率分布表为:分组频数频率 频率分布直方图为:平均成绩为分.的分布列为： .12.【2018届