数学建模送货路线设计问题.doc

送货路线设计问题摘要：本文主要讨论的是送货路线的设计问题。总体的解题思路是将问题中的地点、路线分别抽象成数学中的点、线，然后利用图论的相关知识理论来考虑这些问题。最后，设计方法程序，并利用Matlab运行，解决问题。问题一要求根据1-30号货物设计一条最快的送货路线，由于货物的总质量mzong和总体积vzong（mzong =48.5000;vzong =0.8800）均未超出最大限度50和1，所以，该问题可转化成求最短路问题。解决方法：首先，写出每个点的带权邻接矩阵；然后，运用Floyd求任意两点间的最短距离；最后，用H圈构造运算法,并通过矩阵翻转的二边逐次修正法，得到最短距离和最快完成路线图，如下:o181324312739344045494243363832 231614172126olucheng =5.4707e+004米 t=lucheng/1000*v+t*21/60=3.3295小时问题二设计一条路线，要求在时间允许的条件下，使总路程最小。解决思路是利用问题一中的方法，结合每个货物的时间限制，最终得到路线图，如下：o181324312739344045494243383632 231614172126olucheng2= 5.4707e+004 t2=lucheng2/1000*v+t*21/60= 3.3295小时问题三将1-100号货物全部送到指定地点，mzong=148，vzong=2.8，显然不能一次性送到。解题思想是根据仓库到各个点的最小距离将地点分为三部分，分别派送。分完组后在利用第一问的思想给予优化求出最佳的H圈. 得到的送货路线分别为: 第一组路线：o2631273927364540474050494243383532231721o；第二组路线：o263134403741444846332830222022292519243126o；第三组路线：o2117231614910716183425151211131811o。送货时间为:t3=lucheng/1000*v+t*100/60=10.563小时关键词：图论 带权邻接矩阵 Floyd算法 最优Hamilton圈 二边逐次修正一、问题重述现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个送货员需要以最快的速度及时将货物送达，而且他们往往一人送多个地方，请设计方案使其耗时最少。现有一快递公司，库房在图1中的O点，一送货员需将货物送至城市内多处，请设计送货方案，使所用时间最少。该地形图的示意图见图1，各点连通信息见表3，假定送货员只能沿这些连通线路行走，而不能走其它任何路线。各件货物的相关信息 见表1，50个位置点的坐标见表2。 假定送货员最大载重50公斤，所带货物最大体积1立方米。送货员的平均速度为24公里/小时。假定每件货物交接花费3分钟，为简化起见，同一地点有多件货物也简单按照每件3分钟交接计算。现在送货员要将100件货物送到50个地点。请完成以下问题。1. 若将130号货物送到指定地点并返回。设计最快完成路线与方式。给出结果。要求标出送货线路。2. 假定该送货员从早上8点上班开始送货，要将130号货物的送达时间不能超过指定时间，请设计最快完成路线与方式。要求标出送货线路。3. 若不需要考虑所有货物送达时间限制(包括前30件货物)，现在要将100件货物全部送到指定地点并返回。设计最快完成路线与方式。要求标出送货线路，给出送完所有快件的时间。由于受重量和体积限制，送货员可中途返回取货。可不考虑中午休息时间。以上各问尽可能给出模型与算法。 图1 快递公司送货地点示意图O点为快递公司地点，O点坐标(11000,8250),单位：米二、模型假设1.将仓库视为第51个点，参与计算。2.送货员在路上无特殊情况，不会因抛锚等现象而耽误时间；3.同一地点要送多件货物，那么这些物品在同一次中运送；4.要求到达的时间不包括此次在该点交接的时间；5.送货员只沿着已知的路线行走；6.道路是双向的，无单向路线；7.送货员取货的时间不计。三、符号说明1问中涉及到的符号a各货物号信息（货物号、运送地点、重量、体积和最晚时间）矩阵b 50个位置点的坐标矩阵c互通点信息矩阵d任意两相通两点间距离e对应两相通两点间距离e1对e进行去重后得到的矩阵f带权邻接矩阵D任意两点间最小距离矩阵u初始H圈mzong货物的总质量vzong货物的总体积luxian最短路线lucheng最小路程t1最短时间t货物交接时所需时间（3分钟）v送货员的行驶速度(24千米每小时)2问中涉及到的符号luxian2最短路线lucheng2最小路程t2最短时间3问中涉及到的符号luxian3最短路线lucheng3最小路程t3最短时间D3分组矩阵 四、问题的分析与模型的建立将快递网图中，每个投递点看作图中的一个节点，各投点之间的公路看作图中对应节点间的边，各条路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所给快递网就转化为加权网络图，问题就转化为在给定的加权网络图中寻找从给定点0出发，行遍所有顶点至少一次再回到O点，使得总权（路程或时间）最小，此即最佳推销员回路问题。1)问题一是需将30个货物送达21个固定点并返回，O点和另外21个点构成了一个典型的最短路问题。即先利用Floyd计算两点间的最短距离，再随机构造哈密顿圈，利用优化算法对此H圈优化，使H圈的权最小。2)问题二本小问是在一问的基础上加入时间的限制，解题思想是以第一问的过程为基础，从随机产生的H圈中选出符合时间要求的多条路线，再从中学出事的路程权重最小的路线。并检验其是否符合时间的要求。3)问题三主要是对路线的分组,分组后检验，调整使得每组货物质量小于50kg，体积小于1m3，然后利用问题一，解出每组的最佳H圈。五、模型的分析与求解1.5.1 由附录1给定的数据知，前30号货物由于货物的总质量mzong和总体积vzong 分别为48.5和0.88均未超出最大限度50和1，显然送货员能够一次带上所有货物到达各送货点，且货物要送达总共为21个，如下：13,14,16,17,18,21,23,24,26,27,31,32,34,36,38,39,40,42,43,45,49本模型运用图论中Floyd算法与最佳圈中的相关结论，建立了关于该类问题的优化模型，将出发点O和21个送货点结合起来构造完备加权图。用矩阵翻转来实现二边逐次修正，求最佳哈密尔顿圈（H圈）。由完备加权图,确定初始H圈,列出该初始H圈加点序边框的距离矩阵,然后用二边逐次修正法对矩阵进行“翻转”,就可得到近似最优解的距离矩阵,从而确定近似最佳H圈。由于用矩阵翻转方法来实现二边逐次修正法的结果与初始圈有关，故为了的到得到较优的计算结果，在用MATLAB编程时，随机搜索出200个初始H圈。在所有H圈中，找出权最小的一个，即要找的最佳H圈的近似解。最佳H圈的近似解 minH0，H1，H2,H99 送货路线：o181324312739344045494243363832 231614172126o送货时间： lucheng =5.4707e+004米 t=lucheng/24000+3*21/60=3.3295小时1.5.2本小问是在一问的基础上加入时间的限制，解题思想是以第一问的过程为基础，从随机产生的H圈中选出符合时间要求的多条路线，即选择符合每个点时间要求的最佳H圈。为了更有针对性，可将一问的最佳路线作为初始的H圈进行计算。得到结果，如下：o181324312739344045494243383632 231614172126olucheng2= 5.4707e+004 t2=lucheng2/24000+3*21/60= 3.3295小时1.5.3现根据距离分组，在调整，然后求解。51号到各个地点的最小距离如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10068 16296 10467 14004 16563 11362 8100 8509 7775 8092 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6965 6752 5295 5094 11558 7493 3621 2182 6968 13417 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1797 11918 5395 4709 8934 1392 3997 14223 10820 13205 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 2929 6707 15549 5254 7624 4677 8975 6214 5777 6885 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 11577 9751 8833 13943 7860 14312 9216 15806 11722 9928026312739273645404740504942433835322317210； 02631344037414448463328302220222925192431260； 021172316149107161834251512111318110。计算三个区域各自送货员走的总路程:1 42173.27m 2 39894.58m 3 51440.73m 计算时间:(51440.73+39905.76+42173.27)/24000+3/60*100=10.563小时六、模型的不足及改进的方向不足： 由于数据量大，且最佳H圈与原始圈的选取有关，只能去近似最佳圈，因此对于第二问随机性很强，只能多设置一下循环次数，以求精确。第三问的手动画图、分组比较麻烦，要尝试多次才能找出符合要求的点。参考文献【1】赵静、但琦，数学建模与数学实验（第3版）高等教育出版社【2】姜启源、谢金星、叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2003相关程序数据图1 快递公司送货地点示意图O点为快递公司地点，O点坐标(11000,8250),单位：米表1 各货物号信息表货物号送达地点重量(公斤)体积(立方米)不超过时间1132.500.03169：002180.500.03549：003311.180.02409：304261.560.035012：005212.150.030512：006141.720.010012：007171.380.010912：008231.400.042612：009320.700.048112：0010381.330.021910：1511451.100.02879：3012430.950.022810：1513392.560.059512：0014452.280.03019：3015422.850.019010：1516431.700.078210：1517320.250.041212：0018361.790.018412：0019272.450.044512：0020242.930.04209：0021310.800.01089：3022272.250.001812：0023261.570.021012：0024342.800.01039：3025401.140.01559：3026450.680.03829：3027491.350.014410：1528320.520.002012：0029232.910.048712：0030161.200.042912：003111.260.02503221.150.05013331.630.04833441.230.00063551.410.03873660.540.00673770.700.01293880.760.03463992.140.008740101.070.012441111.370.051042122.390.042843130.990.004844141.660.049145150.450.020946162.040.009847171.950.032448182.120.055449193.870.026250202.010.032451211.380.041952220.390.000153231.660.050254241.240.053455252.410.001256261.260.005957270.420.022458281.720.058059291.340.037260300.060.040261310.600.027462322.190.050363331.890.049464341.810.032565351.000.005566361.240.017767372.510.036168382.040.011069391.070.044070400.490.032971410.510.009472421.380.045573431.310.012174441.260.000575450.980.041376461.350.024177472.120.023078480.540.054279491.010.056680501.120.028481250.790.001182462.120.049283322.770.003484232.290.005485200.210.049086251.290.008887191.120.024988410.900.003889462.380.043490371.420.002091321.010.030092332.510.013393361.170.002094381.820.030895170.330.034596110.300.017297154.430.053698120.240.005699101.380.017510071.980.0493表2 50个位置点的坐标位置点X坐标(米)Y坐标(米)1918550021445560372705704373567052620995610080143571002522808716025259138452680101193530501178503545126585418513763052001413405532515212559751615365704517141657385188825807519585581652078083552112770856022220088352314765905524779093302544359525261086096352710385105002856597652925809865301565995531939510100321483510365331250109003472801106535153051137536123901141537641011510381391511610399510120504083451230041493013650421326514145431418014215443030150604510915142354623301450047773514550488851488049115751516050801015325表3 相互到达信息序号位置点1位置点21132183220424538634742851595210611171812711381214914159101610181710718111219121320122521121522131823131924131125141826141627141728142129152230152531162332172333183134192435202236212637213638211739223040231741243142254143251944252945273146283347292248302849304150312651313452323553322354334655332856344057353858364559362760374061383662392763403464404565414466413767414668424369424970433871444872445073455074454275464876474077484478495079494280504081O1882O2183O26程序问题一的程序1.%作图，标号，标距离clc;a = %货物信息数据1 13.0000 2.5000 0.0316 9.0000 2 18.0000 0.5000 0.0354 9.0000 3 31.0000 1.1800 0.0240 9.3000 4 26.0000 1.5600 0.0350 12.0000 5 21.0000 2.1500 0.0305 12.0000 6 14.0000 1.7200 0.0100 12.00007 17.0000 1.3800 0.0109 12.00008 23.0000 1.4000 0.0426 12.00009 32.0000 0.7000 0.0481 12.000010 38.0000 1.3300 0.0219 10.150011 45.0000 1.1000 0.0287 9.300012 43.0000 0.9500 0.0228 10.150013 39.0000 2.5600 0.0595 12.000014 45.0000 2.2800 0.0301 9.300015 42.0000 2.8500 0.0190 10.150016 43.0000 1.7000 0.0782 10.150017 32.0000 0.2500 0.0412 12.000018 36.0000 1.7900 0.0184 12.000019 27.0000 2.4500 0.0445 12.000020 24.0000 2.9300 0.0420 9.000021 31.0000 0.8000 0.0108 9.300022 27.0000 2.2500 0.0018 12.000023 26.0000 1.5700 0.0210 12.000024 34.0000 2.8000 0.0103 9.300025 40.0000 1.1400 0.0155 9.300026 45.0000 0.6800 0.0382 9.300027 49.0000 1.3500 0.0144 10.150028 32.0000 0.5200 0.0020 12.000029 23.0000 2.9100 0.0487 12.000030 16.0000 1.2000 0.0429 12.000031 1.0000 1.2600 0.0250 032 2.0000 1.1500 0.0501 033 3.0000 1.6300 0.0483 034 4.0000 1.2300 0.0006 035 5.0000 1.4100 0.0387 036 6.0000 0.5400 0.0067 037 7.0000 0.7000 0.0129 038 8.0000 0.7600 0.0346 039 9.0000 2.1400 0.0087 040 10.0000 1.0700 0.0124 041 11.0000 1.3700 0.0510 042 12.0000 2.3900 0.0428 043 13.0000 0.9900 0.0048 044 14.0000 1.6600 0.0491 045 15.0000 0.4500 0.0209 046 16.0000 2.0400 0.0098 047 17.0000 1.9500 0.0324 048 18.0000 2.1200 0.0554 049 19.0000 3.8700 0.0262 050 20.0000 2.0100 0.0324 051 21.0000 1.3800 0.0419 052 22.0000 0.3900 0.0001 053 23.0000 1.6600 0.0502 054 24.0000 1.2400 0.0534 055 25.0000 2.4100 0.0012 056 26.0000 1.2600 0.0059 057 27.0000 0.4200 0.0224 058 28.0000 1.7200 0.0580 059 29.0000 1.3400 0.0372 060 30.0000 0.0600 0.0402 061 31.0000 0.6000 0.0274 062 32.0000 2.1900 0.0503 063 33.0000 1.8900 0.0494 064 34.0000 1.8100 0.0325 065 35.0000 1.0000 0.0055 066 36.0000 1.2400 0.0177 067 37.0000 2.5100 0.0361 068 38.0000 2.0400 0.0110 069 39.0000 1.0700 0.0440 070 40.0000 0.4900 0.0329 071 41.0000 0.5100 0.0094 072 42.0000 1.3800 0.0455 073 43.0000 1.3100 0.0121 074 44.0000 1.2600 0.0005 075 45.0000 0.9800 0.0413 076 46.0000 1.3500 0.0241 077 47.0000 2.1200 0.0230 078 48.0000 0.5400 0.0542 079 49.0000 1.0100 0.0566 080 50.0000 1.1200 0.0284 081 25.0000 0.7900 0.0011 082 46.0000 2.1200 0.0492 083 32.0000 2.7700 0.0034 084 23.0000 2.2900 0.0054 085 20.0000 0.2100 0.0490 086 25.0000 1.2900 0.0088 087 19.0000 1.1200 0.0249 088 41.0000 0.9000 0.0038 089 46.0000 2.3800 0.0434 090 37.0000 1.4200 0.0020 091 32.0000 1.0100 0.0300 092 33.0000 2.5100 0.0133 093 36.0000 1.1700 0.0020 094 38.0000 1.8200 0.0308 095 17.0000 0.3300 0.0345 096 11.0000 0.3000 0.0172 097 15.0000 4.4300 0.0536 098 12.0000 0.2400 0.0056 099 10.0000 1.3800 0.0175 0100 7.0000 1.9800 0.0493 0 ;b= %货物坐标数据 1 9185 500 2 1445 560 3 7270 570 4 3735 670 5 2620 995 6 10080 1435 7 10025 2280 8 7160 2525 9 13845 2680 10 11935 3050 11 7850 3545 12 6585 4185 13 7630 5200 14 13405 5325 15 2125 5975 16 15365 7045 17 14165 7385 18 8825 8075 19 5855 8165 20 780 8355 21 12770 8560 22 2200 8835 23 14765 9055 24 7790 9330 25 4435 9525 26 10860 9635 27 10385 10500 28 565 9765 29 2580 9865 30 1565 9955 31 9395 10100 32 14835 10365 33 1250 10900 34 7280 11065 35 15305 11375 36 12390 11415 37 6410 11510 38 13915 11610 39 9510 12050 40 8345 12300 41 4930 13650 42 13265 14145 43 14180 14215 44 3030 15060 45 10915 14235 46 2330 14500 47 7735 14550 48 885 14880 49 11575 15160 50 8010 15325 51 11000 8250;c= %连通数据1 1 32 1 83 2 204 2 45 3 86 3 47 4 28 5 159 5 210 6 111 7 1812 7 113 8 1214 9 1415 9 1016 10 1817 10 718 11 1219 12 1320 12 2521 12 1522 13 1823 13 1924 13 1125 14 1826 14 1627 14 1728 14 2129 15 2230 15 2531 16 2332 17 2333 18 3134 19 2435 20 2236 21 2637 21 3638 21 1739 22 3040 23 1741 24 3142 25 4143 25 1944 25 2945 27 3146 28 3347 29 2248 30 2849 30 4150 31 2651 31 3452 32 3553 32 2354 33 4655 33 2856 34 4057 35 3858 36 4559 36 2760 37 4061 38 3662 39 2763 40 3464 40 4565 41 4466 41 3767 41 4668 42 4369 42 4970 43 3871 44 4872 44 5073 45 5074 45 4275 46 4876 47 4077 48 4478 49 5079 49 4280 50 4081 51 1882 51 2183 51 26;for i=1:83%求相连通的点之间的距离x(i) = b(c(i,2),2);x(i+1)=b(c(i,3),2);y(i) = b(c(i,2),3);y(i+1) = b(c(i,3),3);d(i) = sqrt(x(i) - x(i+1).2 + (y(i) - y(i+1).2);endd;e=c,d;%对应点之间的距离矩阵 plot(b(a(:,2),2),b(a(:,2),3),ro)text(11000,8250,O库房);for j=1:81text(b(a(j,2),2),b(a(j,2),3),num2str(a(j,2);endhold onfor i=1:83plot(b(c(i,2:3),2),b(c(i,2:3),3),b) x=b(c(i,2:3),2);x1=sum(x)/2;y=b(c(i,2:3),3);y1=sum(y)/2;text(x1,y1,num2str(e(i,4)end2. %H圈函数functiona,b,s,s1=h(e)%e为按照初始H圈点的顺序组成的含点序边框的距离矩阵n=size(e);%求出距离矩阵的维数.a=ones(25,25);b=ones(25,25);for i=2:n-2;%有一个顺序的外框,所以循环从2开始到n - 2. for j=i+1:n-2; if e(i,j)+e(i+1,j+1)e(i,i+1)+e(j,j+1); a=horzcat(e(:,1:i),e(:,j:-1:i+1),e(:,j+1:n);%翻转e中的第i + 1至j列. b=vertcat(a(1:i,:),a(j:-1:i+1,:),a(j+1:n,:);%翻转a中的第i + 1至j行. e=b; %把翻转后的矩阵定义成新