2019年中考数学复习第四章图形的认识4.6特殊的平行四边形（讲解部分）素材.pdf

特殊的平行四边形 考点一 矩形 矩形的定义 有一个角是 直角 的平行四边形叫做矩形 矩形的性质 （）矩形的四个角都是 直角 ； （）矩形的对角线 相等且互相平分 ； （）矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形； （）矩形具有平行四边形的所有性质 矩形的判定 （）有一个角是直角的 平行四边形 叫做矩形； （）对角线 相等 的平行四边形是矩形； （）有三个角是直角的 四边形 是矩形 考点二 菱形 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 菱形的性质 （）菱形的四条边都相等； （）菱形的两条对角线 互相垂直平分 ，并且每一条对角 线平分一组对角； （）菱形是轴对称图形，也是 中心对称 图形 菱形的判定 （）一组 邻边 相等的平行四边形是菱形； （）对角线互相垂直的 平行四边形 是菱形； （）四条边都相等的 四边形 是菱形 菱形的面积 设一个菱形的面积为 ，两条对角线的长分别为 和 ，则 考点三 正方形 正方形的定义 有一组邻边相等且一个角是直角的 平行四边形 叫做正方形 正方形的性质 （）边：两组对边分别平行，四条边都相等，相邻两边互相垂直； （）角：四个角都是 ； （）对角线：对角线互相垂直，对角线相等且互相平分； （）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形 正方形的判定 （）一组 邻边相等 的矩形是正方形； （）有一个角是直角的 菱形 是正方形； （）对角线 互相垂直平分 且相等的四边形是正方形； （）四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形 方法一 特殊平行四边形的性质及判定的应用 矩形、菱形的性质是求角度、线段长度和验证两角是否相 等、两直线位置关系的常用知识由菱形的对角线互相垂直平分 可联想到直角三角形、四边形面积等知识 把握各种四边形之间的联系，是正确快速判定四边形类型 的关键，见下图 平行四边形 一个角是直角 矩形 一组邻边相等 正方形 一组邻边相等 菱形 一个角是直角 如判定一个四边形是不是菱形，可以依据以下表格探究 方法 题设条件需探索的问题结论 四边形及其他 四条边相等 对角线互相垂直且平分 该四边形为菱形 平行四边形 及其他 一组邻边相等 对角线互相垂直 该平行四边形为菱形 例 如图，在 中， ， 是 的角平 分线， 是高线过 作 于 与 交于点 ，连接 求证：四边形 是菱形 证明 证法一： 是 的角平分线，且 ， ， ， 在 与 中， ， ， ， （）， ， 于 ， ， 又 ， ， ， 由知， 四边形 为菱形 证法二： ， 于 ， ， 为 的角平分线， ， 第四章 图形的认识 为 的角平分线， 于 ， 又 ， ， 四边形 为平行四边形， 又 ， 四边形 为菱形 证法三：连接 交 于点 ， 是 的角平分 线，且 ， ， 垂直平分线段 ，即 ， ， ， ， 又， （）， 四边形 为平行四边形，又 ， 四边形 为菱形 方法二 与特殊的平行四边形相关的动态几何问题 动点问题是数学研究的一个重点问题，其综合性很强，经常 与函数及面积问题联系在一起，此类问题要注意运动过程中动 点在不同线段上的不同运动方式，用含有变量的式子描述相关 的变量（线段的长度等），通过数量关系求解，必要时需分类 讨论 例 在正方形 中，动点 ， 分别从 ， 两点同时 出发，以相同的速度在直线 ， 上移动 （）如图，当点 自 向 ，点 自 向 移动时，连接 和 交于点 ，请你写出 与 的关系，并说明理由； （）如图，当 ， 分别移动到边 ， 的延长线上时，连 接 和 ，（）中的结论还成立吗？ （请你直接回答“是”或 “否”，不需证明） （）如图，当 ， 分别在边 ， 的延长线上移动时，连 接 和 ，（）中的结论还成立吗？ 请说明理由； （）如图，当 ， 分别在边 ， 上移动时，连接 和 交于点 由于点 ， 的移动，使得点 也随之运动，请你画 出点 运动路径的草图若 ，试求出线段 的最小值 解题导引 正方形 的性质 、 等速运动 全等三角 形得结论 类比法从运动中 发现不变量得结论 解析 （），（ 分） 理由： 四边形 是正方形， ， 又易知 ， ， ，（ 分） 由于， ， （ 分） （）是（ 分） （）成立（ 分） 理由：由（）同理可证， 延长 交 于点 ，则 ， （ 分） （）画出草图如图（ 分） 由于点 在运动中保持， 点 的路径是一段以 为直径的弧（ 分） 设 的中点为 ，连接 交弧于点 ，此时 的长度 最小 在 中， （ 分） 线段 的最小值为 （ 分） 评析 这是一道探究性问题，前三问比较容易入手，考查 正方形、三角形全等等知识，第（）问利用 度圆周角所对的弦 是直径构造圆，从而画出点 的运动轨迹是四分之一的圆，这一 步是解决此问的关键 变式训练 如图，矩形 中， ， 是 边上一 点， （ 为大于 的整数），连接 ，作 的垂直平分 线分别交 ， 于点 ， 与 的交点为 ，连接 和 （）试判断四边形 的形状，并说明理由； （）当 （ 为常数）， 时，求 的长； （）记四边形 的面积为 ，矩形 的面积为 ， 当 时，求 的值（直接写出结果，不必写出解答过程） 解析 （）四边形 是菱形（ 分） 理由如下： 垂直平分 ， ， 在矩形 中， （）（ 分） 四边形 是平行四边形 又 ， 平行四边形 是菱形（ 分） （）当 ， 时， 在 中，由勾股定理得 （ 分） 年中考 年模拟 ， （ 分） ，即 （ 分） （）（ 分） (详解：设 ，则 当 时， ，解得 又由（）知四边形 是菱形， 则 在 中， ， ， ， ) 评析 本题是以矩形为基础，综合性较强的几何推