2020版高考数学一轮复习 8.3 空间图形的基本关系与公理课件 理 北师大版.ppt

8.3空间图形的基本关系与公理,知识梳理,考点自诊,1.空间图形的公理(1)公理1:经过的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面).推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.(2)公理2:如果一条直线上的在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).(3)公理3:如果两个不重合的平面有公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.(4)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.,不在同一条直线上,两点,一个,知识梳理,考点自诊,2.空间中两直线的位置关系(1)空间两直线的位置关系,(2)等角定理:空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角.(3)异面直线a,b所成的角:过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线l1,l2(al1,bl2),这两条相交直线所成的_(或)就是异面直线a,b所成的角.3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有、三种情况.(2)平面与平面的位置关系有、两种情况.,平行,相交,任何,相等或互补,锐角,直角,相交平行在平面内,平行相交,知识梳理,考点自诊,1.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.2.异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.3.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交.,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.()(2)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于A点,记作=A.()(3)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,则c与b不可能是平行直线.()(4)两个不重合的平面,有一条公共直线a,就说平面,相交,并记作=a.()(5)若a,b是两条直线,是两个平面,且a,b,则a,b是异面直线.(),知识梳理,考点自诊,2.(2018湖北部分重点中学期末,4)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱AA1,B1C1,C1D1,DD1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是()A.直线CC1B.直线C1D1C.直线HC1D.直线GH,C,解析:连接EH,HC1,则EHA1D1,又A1D1FC1,FC1EH,四边形FC1HE是梯形,EF与HC1相交.故选C.,知识梳理,考点自诊,3.、是两个不重合的平面,下面说法中,正确的是()A.平面内有两条直线a、b都与平面平行,那么B.平面内有无数条直线平行于平面,那么C.若直线a与平面和平面都平行,那么D.平面内所有的直线都与平面平行,那么,D,解析:A、B都不能保证、无公共点,如图1所示;C中当a,a时,与可能相交,如图2所示;只有D说明、一定无公共点.,知识梳理,考点自诊,4.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是(),A,知识梳理,考点自诊,解析:易知选项B中,ABMQ,且MQ平面MNQ,AB平面MNQ,则AB平面MNQ;选项C中,ABMQ,且MQ平面MNQ,AB平面MNQ,则AB平面MNQ;选项D中,ABNQ,且NQ平面MNQ,AB平面MNQ,则AB平面MNQ.故排除选项B,C,D.故选A.,知识梳理,考点自诊,5.(2018江苏太仓期中,9)如图所示,G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有(填上所有正确答案的序号).,解析:由题意得,图中,直线GHMN;图中,G,H,N三点共面,但M面GHN,因此直线GH与MN异面;图中,连接MG,GMHN,所以直线GH与MN共面;图中,G,M,N共面,但H面GMN,所以直线GH与MN异面.,考点1,考点2,考点3,平面的基本性质及应用(多考向)考向1平面的交线问题例1(2018河南南阳二中高一期中)正方体ABCD-A1B1C1D1,E、F分别是AA1、CC1的中点,P是CC1上的动点(包括端点),过E、D、P作正方体的截面,若截面为四边形,则P的轨迹是.,线段CF和一点C1,考点1,考点2,考点3,解析:如图当点P在线段CF上移动时,易由线面平行的性质定理知直线DE平行于平面BB1CC1,则过DE的截面DEP与平面BB1CC1的交线必与DE平行,因此两平面的交线为过点P与DE平行的直线,由于点P在线段CF上,故此时过P与DE平行的直线与直线BB1的交点在线段BB1上,故此时截面为四边形(实质上是平行四边形),特别地,当P点恰为点F时,此时截面为DEFB1也为平行四边形,当点P在线段C1F上时,如图,分别延长DE、DP交A1D1、D1C1于点H、G,则据平面基本定理知点H、G既在平面DEP内也在平面A1B1C1D1内,故GH为两平面的交线,连接GH分别交A1B1、B1C1于点K、N,再分别连接EK、KN、PN即得截面为DEKNP,此时为五边形.故选C.,考点1,考点2,考点3,思考如何作出两个相交平面的交线?解题心得利用公理3,两个平面相交必交于一条直线,在一个平面内,作两条不平行的直线的交点,或利用两点都在平面内求两个平面的交线.,考点1,考点2,考点3,对点训练1(2018江西南昌八一中学、桑海中学、麻丘高中等八校联考,5)正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别为AB,AD,B1C1的中点,那么正方体过P,Q,R的截面图形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形,D,解析:延长QP,CB交于V,连接RV,交BB1于S,作RMPQ,交C1D1于M,延长PQ,CD交于T,连接TM,交DD1于N,如图所示,正方体过P,Q,R的截面图形是六边形,且边长为正方体棱长的倍的正六边形,故选D.,考点1,考点2,考点3,考向2点共线,线共点问题例2(1)如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,BAD=FAB=90,BC=AD,BE=FA,G,H分别为FA,FD的中点.四边形BCHG的形状是;点C,D,E,F,G中,能共面的四点是.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC与BD交于点M,则点O与直线C1M的关系是.,平行四边形,C,D,E,F,点O在直线C1M上,考点1,考点2,考点3,解析:(1)G,H分别为FA,FD的中点,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EFBG.由知BGCH,所以EFCH,所以EF与CH共面.又DFH,所以C,D,E,F四点共面.,考点1,考点2,考点3,(2)如图所示,因为A1C平面A1ACC1,OA1C,所以O平面A1ACC1,而O是平面BDC1与直线A1C的交点,所以O平面BDC1,所以点O在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上.因为ACBD=M,所以M平面BDC1.又M平面A1ACC1,所以平面BDC1平面A1ACC1=C1M,所以OC1M.,考点1,考点2,考点3,思考共面、共线、共点问题的证明有哪些方法?解题心得共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法:首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后证其余的线(或点)在这个平面内;将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.(2)证明点共线问题的两种方法:先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.,考点1,考点2,考点3,对点训练2(1)如图,=l,A,B,C,且Cl,直线ABl=M,过A,B,C三点的平面记作,则与的交线必通过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M(2)以下四个命题中:不共面的四点中,其中任意三点不共线;若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3,D,B,考点1,考点2,考点3,解析:(1)A,B,MAB,M.又=l,Ml,M.根据公理3可知,M在与的交线上.同理可知,点C也在与的交线上.(2)正确,否则三点共线和第四点必共面;错,如图三棱锥,能符合题意,但A,B,C,D,E不共面;从的几何体知,错;由空间四边形可知,错.,考点1,考点2,考点3,空间两条直线的位置关系(多考向)考向1两直线位置关系的判定例3a,b,c为三条不重合的直线,已知下列结论:若ab,ac,则bc;若ab,ac,则bc;若ab,bc,则ac.其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.3思考如何比较直观地判断两直线的位置关系?,B,解析:方法一:在空间中,若ab,ac,则b,c可能平行,也可能相交,还可能异面,所以错误,显然成立.方法二:构造长方体或正方体模型可快速判断,错误,正确.,考点1,考点2,考点3,考向2异面直线的判定例4(2018安徽马鞍山期中,6)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是()A.CC1与B1E是异面直线B.CC1与AE是共面直线C.AE与B1C1是异面直线D.AE与BB1是共面直线,C,解析:由于CC1与B1E均在平面BCC1B1内,不是异面直线;CC1平面ABC=C,AE平面ABC,点C不在直线AE上,所以CC1和AE是异面直线;AE平面BCC1B1=E,B1C1平面BCC1B1,点E不在直线B1C1上,则AE与B1C1是异面直线,选C.,考点1,考点2,考点3,考向3异面直线所成的角例5(2018河北衡水三模,6)如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,P为边AB的中点,现将DAP绕直线DP翻转至DAP处,若M为线段AC的中点,则异面直线BM与PA所成角的正切值为(),A,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,思考求异面直线所成角的方法有哪些?解题心得1.点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型,以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系,准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直.2.空间两条直线位置关系的判定方法,考点1,考点2,考点3,3.求解异面直线所成角的方法,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定(2)(2018安徽池州高三期末,7)正方体ABCD-ABCD棱长为6,点P在棱AB上,满足PA=2PB,过点P的直线l与直线AD、CC分别交于E、F两点,则EF=(),D,D,考点1,考点2,考点3,解析:(1)构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为AD,l2为AA1,l3为A1B1,当取l4为B1C1时,l1l4,当取l4为BB1时,l1l4,故排除A,B,C,选D.,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,空间中线面的位置关系例6设直线m与平面相交但不垂直,则下列说法正确的是()A.在平面内有且只有一条直线与直线m垂直B.过直线m有且只有一个平面与平面垂直C.与直线m垂直的直线不可能与平面平行D.与直线m平行的平面不可能与平面垂直,B,考点1,考点2,考点3,解析:如图,m是平面的斜线,PA,l,lAB,则lm,平面内所有与l平行的直线都垂直于m,故A错;由题意可知过m有且只有一个平面PAB与平面垂直,假设有两个平面都与平面垂直,则这两个平面的交线m应与平面垂直,与条件矛盾,故B正确;又l,ll,l,lm,lm,故C错;又在平面内取不在直线AB上的一点D,过D可作平面与平面PAB平行,m,平面PAB,平面,故D错.,考点1,考点2,考点3,思考如何借助空间图形确定线面位置关系?解题心得解决这类问题的关键就是熟悉直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系及相应的公理定理,归纳整理平面几何中成立但立体几何中不成立的命题,并在解题过程中注意避免掉入由此设下的陷阱.判断时可由易到难进行,一般是作图分析,构造出符合题设条件的图形或反例来判断.,考点1,考点2,考点3,对点训练4已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点P,Q,R分别是线段B1B,AB和A1C上的动点,观察直线CP与D1Q,CP与D1R,给出下列结论:对于任意给定的点P,存在点Q,使得D1QCP;对于任意给定的点Q,存在点P,使得CPD1Q;对于任意给定的点P,存在点R,使得D1RCP;对于任意给定的点R,存在点