高中数学 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用课件北师大版.pptx

第2课时分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用,1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能根据实际问题特征,正确选择计数原理解决实际问题.,1.两计数原理的联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题.2.两计数原理的区别分类加法计数原理针对的是分类问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事,分类要做到不重不漏;分步乘法计数原理针对的是分步问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成才算做完这件事,分步要做到步骤完整.,题型一,题型二,题型三,【例1】高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去哪个工厂可自由选择,共有多少种分配方案?分析:可按去工厂甲的班级数分类讨论,也可用间接法求解.解:方法一(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为三类:第一类,三个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种情况;第二类,有两个班级去甲工厂,剩下的班级去另外三个工厂,共有33=9种分配方案;第三类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级去其他三个工厂,共有333=27种分配方案.综上所述,共有1+9+27=37种不同的分配方案.,题型一,题型二,题型三,方法二(间接法)先计算3个班自由选择去哪个工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即444-333=37种方案.,题型一,题型二,题型三,反思抽取与分配问题常见类型及解法(1)当问题中涉及对象数目较少时,一般选用列举法、树状图法、图表法等来解答,得出结论.(2)当问题中涉及对象数目较大时,一般有两种方法:直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理,注意合理分步、准确分类.间接法,不管限制条件计算出所有的抽取方法数,然后减去不符合条件的抽取方法数.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】3个不同的小球放入5个不同的盒子,每个盒子至多放一个小球,共有多少种方法?解:以小球为研究对象,分三步来完成:第一步:放第一个小球有5种选择;第二步:放第二个小球有4种选择;第三步:放第三个小球有3种选择.根据分步乘法计数原理得,共有N=543=60种方法.,题型一,题型二,题型三,【例2】用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数?分析:因为组成的四位数是偶数,且个位数字的选择对千位数字有影响,所以应分成三类:个位数字为0,2或4,然后再对四位数的其他位分步进行选择.解:完成这件事可分为三类方法:第一类是个位数字为0的比2000大的四位偶数,它可以分三步去完成:第一步:选取千位上的数字,只有2,3,4,5可以选择,有4种选法.第二步:选取百位上的数字,除0和千位上已选定的数字以外,还有4个数字可供选择,有4种选法.,题型一,题型二,题型三,第三步:选取十位上的数字,还有3种选法.依据分步乘法计数原理,这类数的个数为443=48.第二类是个位数字为2的比2000大的四位偶数,它可以分三步去完成:第一步:选取千位上的数字,除去2,1,0只有3个数字可以选择,有3种选法.第二步:选取百位上的数字,在去掉已经确定的首尾两数字之后,还有4个数字可供选择,有4种选法.第三步:选取十位上的数字,还有3种选法.依据分步乘法计数原理,这类数的个数为343=36.第三类是个位数字为4的比2000大的四位偶数,其方法步骤同第二类.对以上三类结论用分类加法计数原理,可得所求无重复数字且比2000大的四位偶数共有48+36+36=120个.,题型一,题型二,题型三,反思1.对于组数问题,一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类,分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法从反面求解.2.解决组数问题,应特别注意其限制条件,有些条件是隐藏的,要善于挖掘.排数时,要注意特殊元素、特殊位置优先的原则.,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】用0,1,2,3,4五个数字,(1)可以排出多少个三位数字的电话号码?(2)可以排成多少个三位数?(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数?,题型一,题型二,题型三,解:(1)三位数字的电话号码,首位可以是0,数字也可以重复,每个位置都有5种排法,共有555=53=125种排法.(2)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字,首先考虑首位的排法,除0外共有4种方法,第二、三位可以排0,因此,共有455=100种排法.(3)被2整除的数即偶数,末位数字可取0,2,4,因此,可以分两类,一类是末位数字是0,则有43=12种排法;一类是末位数字不是0,则末位有2种排法,即2或4,再排首位,因0不能在首位,所以有3种排法,十位有3种排法,因此有233=18种排法.因而有12+18=30种排法,即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.,题型一,题型二,题型三,【例3】如图,要给地图A,B,C,D四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?,题型一,题型二,题型三,分析:可对四个区域逐一涂色,但要注意不相邻的区域可涂同一种颜色;也可按所用颜色的种数分类涂色.解:方法一:按ABCD的顺序分步涂色.第一步:涂A区域,有4种不同的涂法;第二步:涂B区域,从剩下的三种颜色中任选一种颜色,有3种不同的涂法;第三步:涂C区域,再从剩下的2种不同颜色中任选一种颜色,有2种不同的涂法;第四步:涂D区域,可分两类,一类D区域与A同色;另一类D区域与A不同色,共有1+1=2(种)涂法.,题型一,题型二,题型三,根据分步乘法计数原理共有4322=48种不同的涂法.方法二:按所用颜色的多少分类涂色.第一类:用三种颜色,有4(3211)=24种不同涂法;第二类:用四种颜色,有4321=24种不同涂法.根据分类加法计数原理,共有24+24=48种不同涂法.,题型一,题型二,题型三,反思求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解,常用方法有:(1)按区域的不同以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”问题,用分类加法计数原理分析.,题型一,题型二,题型三,【变式训练3】从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,求有多少种不同的种植方法.解:方法一(直接法):若黄瓜种在第一块土地上,则有321=6种不同种植方法.同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上,均有321=6种不同种植方法.故共有63=18种不同的种植方法.方法二(间接法):从4种蔬菜中选出3种,种在三块地上,有432=24种,其中不种黄瓜有321=6种,故共有24-6=18种不同种植方法.,1,2,3,4,5,1.由数字1,2,3,4组成的三位数中,各位数字按严格递增(如“134”)或严格递减(如“421”)顺序排列的数的个数是()A.4B.8C.16D.24解析:由题意分析知,严格递增的三位数只要从4个数中任取3个,共有4种取法;同理严格递减的三位数也有4个,所以符合条件的数有4+4=8个.答案:B,1,2,3,4,5,2.某年级要从3名男生,2名女生中选派3人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案有()A.6种B.7种C.8种D.9种解析:可按女生人数分类:若选派一名女生,有23=6种;若选派2名女生,则有3种.由分类加法计数原理,共有9种不同的选派方法.答案:D,1,2,3,4,5,3.从1,3,5,7,9这五个数中每次取出两个不同的数分别为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数为.解析:先取a有5种取法,再取b有4种取法,所以共有54=20种取法,其a=1,b=3与a=3,b=9时值相同,a=3,b=1与a=9,b=3时值相同,所以共可得到不同值的个数为20-2=18.答案:18,1,2,3,4,5,4.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有种(以数字作答).解析:先种第一块地共有3种方法,则后边每块地都有2种种植方法,所以共有32222=48种方法,这些种法中包括只种了2种作物的情况.如果种两种作物,先从3种作物中选出2种,共有3种选法,然后种在5块试验田内,有21111=2种方法,所以种两种作物时,共有32=6种种法.综上,共有48-6=42种不同的种植方法.答案:42,1,2,3,4,5,5.用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报,板报设计如图所示,要求相邻区域不能用同一