2019年高考数学一轮总复习 专题21 三角函数的性质检测 文.doc

专题21三角函数的性质本专题特别注意：1.图象的平移（把系数提到括号的前边后左加右减）2. 图象平移要注意未知数的系数为负的情况3. 图象的横坐标伸缩变换要注意是加倍还是变为几分之几4.五点作图法的步骤 5.利用图象求周期6.已知图象求解析式【学习目标】1理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性2会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期3理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题【方法总结】1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致：(1)首先看定义域是否关于原点对称；(2)在满足(1)后，再看f(x)与f(x)的关系.另外三角函数中的奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x，偶函数一般可化为yAcos xb的形式.2.三角函数的单调性(1)函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间的确定，其基本思想是把x看作一个整体，比如：由2kx2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为增区间.若函数yAsin(x)中A0，0，可用诱导公式将函数变为yAsin(x)，则yAsin(x)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.对函数yAcos(x)，yAtan(x)等单调性的讨论同上.(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：先判断正负；利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；再利用单调性比较.3.求三角函数的最值常见类型：(1)yAsin(x)B或yAtan(x)B，(2)yA(sin xa)2B，(3)ya(sin xcos x)bsin xcos x(其中A，B，a，bR，A0，a0).高考模拟：一、单选题1关于函数，下列判断正确的是（ ）A. 有最大值和最小值B. 的图象的对称中心为（）C. 在上存在单调递减区间D. 的图象可由的图象向左平移个单位而得【答案】B【解析】分析：利用三角函数公式化简函数表达式，结合函数的图象与性质即可判断.详解：函数=2sin（2x+）且sin（2x+）0，对于A：f（x）=2sin（2x+）存在最大值和不存在最小值A不对；对于B：令2x+=k，可得x=，f（x）的图象的对称中心为（kZ），B对对于C：令2x+，可得，f（x）在上不存在单调递减区间对于D：y=2sin2x的图象向左平移个单位，可得2sin2（x）=2sin（2x+），但sin（2x+）0，故选：B点睛：函数的性质(1) .(2)周期(3)由 求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.2已知，下列结论中错误的是（ ）A. 既是偶函数又是周期函数 B. 的最大值是1C. 的图像关于点对称 D. 的图像关于直线对称【答案】B对于选项B，|cosx|1，|sin2x|1，且等号不能同时成立，无论x取什么值，f(x)=cosxsin2x均取不到值1，故B不正确对于选项C，f(x)+f(x)=cosxsin2x+cos(x)sin2(x)=cosxsin2xcosxsin2x=0，f(x)的图象关于点对称故C正确对于选项D，f(2x)=cos(2x)sin2(2x)=cosxsin2x=f(x)，f(x)的图象关于直线x=对称，故D正确综上可得错误的结论是B故选B点睛：（1）本题考查三角函数性质的综合运用，解题时要根据题目的要求并结合相关性质进行推理、判断（2）解题时注意函数的对称性、奇偶性、周期性的表示，如函数f(x)的图象关于直线对称等3如图，已知函数（）的部分图像与轴的一个交点为，与轴的一个交点为，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由特殊点的坐标求出，再根据五点法作图求出，可得函数的解析式；再根据定积分的意义，以及定积分的计算公式，求出弧线AB与两坐标所围成图形的面积详解：点睛：已知函数的图象求解析式:(1)；(2)由函数的周期求；(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.4函数满足，且则的一个可能值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题设可得函数的图象关于对称，也关于对称，由此求出函数的周期的值，从而得出的可能取值.详解：函数，满足，函数的图象关于对称，又，函数的图象关于对称，为正整数，即，解得为正整数，当时，的一个可能取值是，故选B点睛：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，属于中档题.求三角函数的周期时，注意运用对称轴与对称中心的“距离”是四分之一周期的整数倍.5已知函数的图象与轴相切，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由函数的图象与轴相切，可得的最大值为，求出，得出的解析式，再计算.详解：，且的图象与轴相切，所以最大值，即，故选B.点睛：本题主要考查由三角函数的性质求解析式，以及特殊角的三角函数，属于简单题.6函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】C点睛：本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律和对称问题，同时对三角函数的图像的熟悉是本题关键，属于基础题7函数在下列区间单调递增的为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据条件利用降幂公式和诱导公式化简函数的解析式，结合三角函数单调性的性质进行求解即可详解：f（x）=cos2（x）=cos（2x）=sin2x，由2k+2x2k+，kZ，得k+xk+，kZ，即函数单调递增区间为k+，k+，kZ，当k=0时，函数的单调递增区间为，（，），（，）是函数的一个单调递增区间，故答案为：D点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，考查复合函数的单调性，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的思想方法.（2）本题是一个易错题，分解函数为根据复合函数的单调性原理，要求f(x)的单调性，就是求正弦函数的减区间，所以2k+2x2k+，kZ,这里不是求正弦函数的增区间.8设函数.若,且，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：采用取特殊值的方法求解，画出函数的图象，根据图象找到使得且的的值，并由此得到所求的范围详解：（特殊值法）画出的图象如图所示结合图象可得，当时，；当时， ，满足由此可得当,且时，故选B点睛：本题考查三角函数图象的画法和图象的应用，考查学生运用数形结合解决问题的能力，有一定难度解题的关键值确定满足条件的临界位置，并在此基础上得到满足条件的最小值，然后将此结论推广可得所求的范围9如图所示的是函数（，）在区间上的图象，将该函数图象各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移（）个单位长度后，所得到的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的f（x）的解析式再根据函数g(x)的对称轴求出m的最小值，可得结论故把f（x）=sin（2x+）的图象各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移m（m0）个单位长度后，得到g（x）=sin（4x4m+）的图象，所得图象关于直线对称，44m+=+k，解得：m=k，kZ，由m0，可得当k=1时，m的最小值为故答案为：C点睛：(1)本题主要考查三角函数图像的变换和三角函数的图像性质，意在考查学生掌握这些基础知识的能力和数形结合的能力.(2)正弦函数y=sinx的对称轴方程为，注意这里不是要结合三角函数图像理解，不要死记硬背.10已知函数，若对任意的，关于的方程（）总有两个不同的实数根，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：把方程在内有两个不同的实数根，等价于函数与的图象有两个不同的交点，即可借助三角函数的图象与性质，即可求解点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，及函数与方程，其中把方程的解转化为两个函数的图象的交点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力11已知函数，若，则上具有单调性，那么的取值共有（ ）A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个【答案】D【解析】分析：由，得到，因为在上具有单调性，得到，则，即可得到的个数.详解：因为，所以，所以，因为在上具有单调性，所以，所以，所以，所以，因此，所以的取值共有个，故选D.点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，熟记三角函数的图象与性质及整体代换的方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.12已知函数（，），满足，且对任意，都有当取最小值时，函数的单调递减区间为A. ，Z B. ，ZC. ，Z D. ，Z【答案】A【解析】分析：由，可得关于对称，对任意，可得时，取得最小值，即可求解解析式，从而利用正弦函数的单调性列不等式，求解函数的单调递减区间.详解：由，化为，可得图象关于点对称，对任意，所以时，取得最小值，当取最小值时，即周期最大，可得，可得，那么，函数，当时，取得最小值，即函数，令，得，所以，函数的单调递减区间为：，,故选A.点睛：的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：若,把看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间；若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.13函数的图象大致为A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先利用函数为奇函数排除选项C、D，再利用特殊函数值的符号排除选项B详解：易知的定义域为，且，即函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项C、D；又，故排除选项B，故选A点睛：在已知函数的解析式判定函数的图象时，常采用排除法，往往从以下几方面进行验证：定义域（函数的定义域优先原则）、最值、周期性、函数的奇偶性（奇函数的图象关于原点对称、偶函数的图象关于轴对称）或对称性、单调性（基本函数的单调性、导数法）、特殊点对应的函数值等14若函数 满足 且的最小值为，则函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：首先根据诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，之后应用题的条件求得函数的最小正周期，求得的值，从而求得函数解析式，之后利用整体思维，借助于正弦型函数的解题思路，求得函数的单调增区间.详解： ，根据题中条件满足 且的最小值为，所以有，所以，从而有，令，整理得，从而求得函数的单调递增区间为，故选D.点睛：该题考查的是有关三角函数的综合问题，涉及到的知识点有诱导公式、辅助角公式、函数的周期以及正弦型函数的单调区间的求法，在结题的过程中，需要对各个知识点要熟记，解题方法要明确.15已知为正常数，,若存在，满足，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先根据题意分析出函数f(x)关于直线x=a对称，再利用对称性求出a的表达式，再求的范围.详解：设则其关于直线x=a对称的曲线为 所以函数f(x)的图像关于直线 对称，且在上为增函数所以 因为 ，所以故答案为：D.点睛：本题解题的关键是发现函数f(x)的对称性，其图像关系直线x=a对称,要证明函数的图像关于直线x=a对称，只要证明即可.否则本题解答比较复杂.对于函数的问题，我们要善于从发现已知中的隐含信息，研究函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性等,再利用图像的性质帮助我们解题.16已知函数，那么下列说法正确的是（ ）A. 函数在是增函数，且最小正周期是B. 函数在是增函数，且最小正周期是C. 函数在是减函数，且最小正周期是D. 函数在是减函数，且最小正周期是【答案】B点睛：此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围，难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等17若函数的部分图象如图所示，则的一条对称轴为A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意可得函数的图象的一个对称中心为（，0），再根据（，0）是图象上和（，0）相邻的一个对称中心，从而求得它的一条对称轴详解：根据函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，（0，）的部分图象，可得函数的图象的一个对称中心为（，0），再根据（，0）是图象上和（，0）相邻的一个对称中心，故它的一条对称轴为x=，故答案为：C点睛：本题主要考查正弦函数的图像和性质，意在考查正弦函数的图像性质等基础知识的掌握能力.18函数在区间上的零点个数为（ ）A. 5 B. 4 C. 3 D. 2【答案】B【解析】分析：令函数值为，构建方程，即可求出在区间上的解，从而可得函数在区间上的零点个数.详解：由题意可知或，又，所以，当时，在相应的范围内，只有三个值可取，所以总共有4个零点，故选B.点睛：该题属于确定函数零点个数的问题，在解题的过程中，首先令函数值为，构建方程，尤其需要注意的是在上解的个数，不要漏解.19已知函数，实常数使得对任意的实数恒成立，则的值为（ ）A. -1009 B. 0 C. 1009 D. 2018【答案】B点睛：本题涉及恒成立问题，我们知道两个多项式恒等，则两边的对应项系数应相等，而本题中函数是三角函数，它的恒成立与多项式类似，如对恒成立的充要条件是，结合三角函数的周期性，对恒成立的条件是或20设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的图象一部分可以是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 ，所以，由知 函数为奇函数，所以排除B,D选项，当从右边时，所以，故选A.21已知函数，将其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数为奇函数，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B二、填空题22设函数，其中， ，若对一切恒成立，则函数的单调递增区间是_【答案】【解析】由已知函数的周期为，一个最小值点为，由图像可以得递增区间故答案为： 23函数 的部分图象如图所示,则_；函数在区间上的零点为_【答案】 【解析】由图得,即最小正周期又因为,且,解得，由图得时, ，又因为,所以， 的零点即的图象与轴交点的横坐标，则,解得，因为,得到，所以零点为，故答案为.24如图，点在轴的非负半轴上运动，点在轴的非负半轴上运动.且，.设点位于轴上方，且点到轴的距离为，则下列叙述正确的个数是_随着的增大而减小；的最小值为，此时；的最大值为，此时；的取值范围是.【答案】【解析】设BAM=，则，当增大时，减小，先增大后减小，当时，取到最大值，此时.当时，取到最小值，此时.正确故答案为：225已知函数，若，且，则_.【答案】【解析】由于函数为奇函数，其在区间上为增函数，而，结合可知.所以.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性与单调性，考查角变换之后的取值范围，考查特殊角的三角函数值.首先观察函数，由于其构成为一个三次方的函数和一个正弦函数，故它为奇函数，并且在区间上为增函数，而，要两个函数值相等，则它们必相等.26已知函数的部分图象如图所示， _【答案】2【解析】依题意，因为函数的图像关于原点对称对称，故，因为，所以，故，结合图像可知的周期为2，所以，所以，故.故答案为：2.27函数的最小正周期为_【答案】2【解析】 故函数的最小正周期 即答案为28已知（， 为常数， ）的展开式中不含字母的项的系数和为243，则函数， 的最小值为_【答案】2【解析】由题意结合二项式定理知（1+b）n=243又bN*，探究知，仅有当b=2时，35=243，由此得n=5.，令，则，即，显然其在上单调递增，最小值为2.故答案为：229已知函数（， ）的图象如图所示，其中， ，则函数_【答案】30在中，角的对边分别为，且满足，则函数的最大值为_【答案】【解析】由已知， ，即，即，则，即， ，即时， 取得最大值31已知函数,下列结论中正确的是_.（把所有正确序号都填上）是函数的一个周期; 存在正数 使得对任意 有;的对称轴为 ;函数在内是增函数.【答案】【解析】 故正确； ，故正确； 即函数为偶函数，由函数为周期函数可知的对称轴为 ;故正确； 故不正确.即答案为.三、解答题32已知函数 ，满足，且当时，在取得最大值为.（1）求函数在的单调递增区间；（2）在锐角的三个角，所对的边分别为，且，求的取值范围.【答案】（1），.（2）.【解析】分析：（1）由可得，又，再根据在取得最大值得到然后再结合可得和，从而得到函数的解析式将作为一个整体可得单调增区间（2）由条件可得，根据余弦定理得到 ，再由正弦定理得 ，于是可得所求范围为详解：（1）由题意得，在取得最大值，由题意得，解得，,当或，即或时函数单调递增，函数在的单调递增区间为，（2）由（1）及条件得，由余弦定理可得， ，由正弦定理可得 是锐角三角形，解得，.的取值范围为.点睛：解答本题注意以下几点：（1）研究三角函数的性质时，首先应将函数解析式化为的形式，然后再将看作一个整体并结合正弦函数的相关性质求解（2）求的取值范围时，容易忽视“锐角三角形”这一条件，从而得到扩大的的范围，导致得到错误的结果33已知向量，设函数.（1）求的最小正周期；（2）求函数的单调递减区间；（3）求在上的最大值和最小值.【答案】（1）（2），.（3）最大值是，最小值是.【解析】分析：（1）先化简，再求函数的最小正周期.(2)利用复合函数的单调性原理求函数的单调递减区间.(3)利用三角函数的图像和性质求函数在上的最大值和最小值.（1）的最小正周期为，即函数的最小正周期为.（2）函数单调递减区间：，得：，所以单调递减区间是，.（3），.由正弦函数的性质，当，即时，取得最大值.当，即时，当，即时，的最小值为.因此，在上的最大值是，最小值是.点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)求三角函数在区间上的最值，一般利用三角函数的图像和性质解答，先求的范围，再利用三角函数的图像和性质求的最值.34设函数图像中相邻的最高点和最低点分别为（）求函数的单调递减区间；（）若函数的图像向左平移个单位长度后关于点对称，求的最小值【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）由题意，得出函数的解析式，再由正弦型函数的图象与性质，即可求解函数的单调递减区间；（2）函数的图象向左平移个单位长度后，得，再根据图象关于点，列出方程，即可求解的最小值.详解：（1）由题，周期，再由，即，得：，又，由，得的单减区间为（注：亦可结合周期及最高点、最低点的坐标获得函数的单调递减区间）点睛：本题考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质的应用，求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或的形式，即可研究三角函数的图象与性质，着重考查了转化与化归的思想方法，以及推理与运算能力.35在ABC中，角A,B,C的对边分别为，已知，且.（1）求角A的大小；（2）设函数，求函数的最大值【答案】（1）（2）2【解析】分析：（1）由余弦定理易得，由正弦定理可得，进而得，即可得A；（2）化简，当，.详解：（1）在ABC中，因为，所以. 在ABC中，因为，由正弦定理可得，所以，故 点睛：本题主要考查了三角形正余弦定理的应用及三角函数的最值，属于基础题.36已知函数（1）求函数的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x的取值集合；（2）已知中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，求实数a的取值范围.【答案】(1)2, .(2) a1,2).【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式，化简得,利用三角函数的图象与性质，即可得到结果 (2)由，求得，再由余弦定理和基本不等式，即可求解边的取值范围详解：（1）,，可得f(x)递增区间为,函数f(x)最大值为2，当且仅当，即，即取到.(2)由，化简得, ,在ABC中，根据余弦定理，得a2=b2+c2-bc=(b+1)2-3bc,由b+c=2，知bc1,即a21,当b=c=1时，取等号,又由b+ca得a2,所以a1,2).点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.37在中，是边上的一点.（1）若，求的长；（2）若，求周长的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】分析：（1）先化简得到cosDAC再利用余弦定理求出CD得解.(2)先利用正弦定理求出AB+BC的表达式，再求其范围.详解：（）在ADC中，AD1，所以cosDAC12cosDAC3, 所以cosDAC.由余弦定理得CD2AC2AD22ACADcosDAC1212217，所以CD. （）在ABC中由正弦定理得 .的周长为 . 点睛：（1）本题主要考查数量积，考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和函数的思想及分析推理能力. (2)本题求周长的取值范围运用了函数的思想，先求，再求函数的定义域,再利用三角函数的图像性质求其范围.函数的思想是高中数学的重要思想，大家要理解掌握并灵活运用.38如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段和以为直径的半圆弧组成，其中为2百米，为若在半圆弧，线段，线段上各建一个观赏亭，再修两条栈道，使. 记（1）试用表示的长；（2）试确定点的位置，使两条栈道长度之和最大.【答案】（1）；（2）与重合.【解析】分析：（1）解直角三角形BDC用表示的长.(2)先利用正弦定理求出DF4cossin()， 再求出DEAF=44，再利用三角函数求DEDF的最大值.详解：（1）连结DC在ABC中，AC为2百米，ACBC，A为，所以CBA，AB4，BC 因为BC为直径，所以BDC，所以BDBC coscos （2）在BDF中，DBF，BFD，BDcos，所以， 所以DF4cossin()， 且BF4，所以DEAF=44， 所以DEDF444 sin()= sin2cos232 sin(2)3 因为，所以2，所以当2，即时，DEDF有最大值5，此时E与C重合答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大点睛：（1）本题主要考查解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、计算能力,意在考查学生函数思想方法. (2)本题的关键是想到函数的思想方法，先求出DEDF sin2cos232 sin(2)3，再根据，利用三角函数的图像性质求函数的最大值.39已知 ， ， ，函数 ，直线 是函数 图像的一条对称轴.（1）求函数 的解析式及单调递增区间；（2）在 中，已知 ， ， ，求 边长.【答案】(1)见解析;(2)4.【解析】分析：(1)利用平面向量数量积公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式将函数化为，由用是函数图象的一条对称轴，可得，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（2）可得 ，结合 ， ，利用余弦定理列方程可得的值.详解：（1） 是函数图像的一条对称轴 ，的增区间为：（2） 在中，由