2018届高三数学第五次月考试题 理(含解析).doc

2018届高三数学第五次月考试题 理(含解析)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，（其中为虚数单位，是的共轭复数），则（ ）A. 2 B. C. D. -2【答案】D【解析】故选D2.已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】集合A=y|x22+y23=1集合A=y|3y3集合B=x|y2=4x集合B=x|x0AB=0,3故选A3.直线4x+3y=0是双曲线x29y2b2=1(b0)的一条渐近线，则b=（ ）A. 94 B. 4 C. 12 D. 16【答案】B【解析】直线4x+3y=0是双曲线x29-y2b2=1(b0)的一条渐近线b3=43b=4故选B点睛：已知双曲线方程x2a2y2b2=1求渐近线： x2a2y2b2=0y=bax4.在ABC中，若|AB+AC|=|ABAC|，则A=（ ）A. B. 2 C. 3 D. 6【答案】B【解析】|AB+AC|=|AB-AC|ABAC=0A=2故选B5.从一颗骰子的六个面中任意选取三个面，其中只有两个面相邻的不同的选法共有（ ）A. 20种 B. 16种 C. 12种 D. 8种【答案】C【解析】从一颗骰子的六个面中任意选取三个面有C63=20种，其中有三个面彼此相邻的有8种，所以只有两个面相邻的不同的选法共有208=12种故选C6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 83 B. 163 C. 203 D. 8【答案】B【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：该几何体的体积V=1382=163故选B点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.视频7.执行如图所示程序框图，若输入的取值范围为2,1，则输出的S的取值范围为（ ） A. 0,3 B. 0,+) C. 1,+) D. 0,3)【答案】D【解析】由已知得程序框图可得S关于的函数图象如图所示： t2,1S0,3)故选D8.已知样本x1,x2,xn的平均数为x；样本y,1y2,yn的平均数为y（xy），若样本x1,x2,xn，y,1y2,yn的平均数为z=ax+(1a)y；其中0a12，则n,m(n,mN*)的大小关系为（ ）A. nm C. n=m D. 不能确定【答案】A【解析】依题意可得z=1n+m(nx+my)=nn+mx+(1nn+m)ya=nm+n0a12nm故选A9.若函数f(x)=sin(2x+)(|2)的图像关于点(3,0)对称，且当x1,x2(12,712)时，f(x1)+f(x2)=0 (x1x2)，则f(x1+x2)=（ ）A. 32 B. 22 C. 22 D. 32【答案】A【解析】令2x+=k，解得x=k2f(x)得对称中心为x=k2令3=k2，解得=3k23|2=3f(x)=sin(2x+3)x1，x2(12,712)2x1+3(2,32)，2x2+3(2,32)f(x1)+f(x2)=0 (x1x2)x1+x2=23f(x1+x2)=sin(223+3)=sin53=32故选A10.函数y=2sin(x+400)+3cos(x+700)的最大值是（ ）A. 2 B. 3 C. 7 D. 7【答案】C【解析】y=2sin(x+400)+3cos(x+400)+300=12sin(x+400)+332cos(x+400)=14+274sin(x+400+)函数的最大值是14+274=7故选C点睛：本题考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质，研究函数f(x)=Asinx+Bcosx的图象和性质的关键一步是利用配角公式将函数的形式变成f(x)=A2+B2sin(x+)的形式，再利用三角函数的图象及性质进行求解.11.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且满足f(3-x)=f(x)，f(-1)=3，数列an满足a1=1且an=n(an+1-an) (nN*)，则f(a36)+f(a37)=（ ）A. -3 B. -2 C. 2 D. 3【答案】A【解析】 函数f(x)是奇函数f(x)=f(x)又f(3x)=f(x)f(3x)=f(x)f(3+x)=f(x)，即f(x+6)=f(x)f(x)是以6为周期的周期函数an=n(an+1an)，a1=1 an+1an=n+1nan=anan1an1an2an2an3a2a1a1=nn1n1n2n3n4211=n，即an=na36=36，a37=37又f(1)=3，f(0)=0f(a36)+f(a37)=f(0)+f(1)=f(1)=f(1)=3故选A点晴：本题主要考查了函数的奇偶性、周期性的应用，着重考查了学生的计算和推理能力，根据f(3x)=f(x)，可推得f(x+6)=f(x)及将关系式an=n(an+1-an)转化为an+1an=n+1n是解答本题的关键.12.已知双曲线E：x24y25=1的左、右焦点为F1,F2，过点F1的直线与双曲线E的左支交于A,B两点，若ABAF2=0，则ABF2的内切圆面积为（ ）A. 72 B. (142) C. (9214) D. (721614)【答案】D【解析】【详解】由题意，a2=4，b2=5，则c2=9，a=2，c=3|F1F2|=2c=6，|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1|=4ABAF2=0，即F2AB=900|AF2|2+|AF1|2=|F1F2|2|AF1|+|AF2|=2(|AF2|2+|AF1|2)-(|AF2|-|AF1|)2=262-42=214，则直角三角形ABF2的内切圆半径是R=12(|AB|+|AF2|-|BF2|)=12(|AF2|+|AF1|)-12(|BF2|-|BF1|)=14-2ABF2的内切圆面积为S=R2=(72-1614)故选D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c 若B=600，c=2，b=23，则a=_【答案】4【解析】根据余弦定理b2=c2+a22accosBB=600，c=2，b=23a=2故答案为414.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“我没有获奖”，乙说：“是丙获奖”，丙说：“是丁获奖”，丁说：“我没有获奖”.在以上问题中只有一人回答正确，根据以上的判断，获奖的歌手是_【答案】甲【解析】若甲回答正确，则正确表述为：甲：我未获奖；乙：丙未获奖；丙：丁未获奖；丁：我获奖.此情况下丙、丁冲突，故错误；若乙回答正确，则正确表述为：甲：我获奖；乙：是丙获奖；丙：丁未获奖；丁：我获奖.而只有一个人获奖，故错误；若丙回答正确，则正确表述为：甲：我获奖；乙：丙未获奖；丙：是丁获奖；丁：我获奖.而只有一个人获奖，故错误；若丁回答正确，则正确表述为：甲：我获奖；乙：丙未获奖；丙：丁未获奖；丁：我没有获奖.此时获奖人数只有一个，为甲.故正确。故答案为甲15.已知A,B,C,D四点在球O的表面上，且AB=BC=2，AC=22，若四面体ABCD的体积的最大值为43，则球O的表面积为_【答案】9【解析】设ABC的外接圆圆心为OAB=BC=2，AC=22ABC=90点O为AC的中点OO平面ABC设直线OO交球O于D1和D2，不妨设点O在线段OD1内OD1为四面体DABC高的最大值VD1ABC=13(12ABBC)h=23h由题意知2h343，即h2，当且仅当D与D1重合时VDABC取最大值，此时h=2由(hR)2+(2)2=R2得R=h2+22hR=32S=4R2=9故答案为9点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键16.已知函数f(x)=2exsin(x+4)，x992,1012，过点P(12,0)作函数f(x)图像的切线，切点坐标为(x1,y1)，(x2,y2)，(xn,yn)，则i=1nxi=_【答案】50【解析】由题意得，f(x)=(sinx+cosx)ex，则f(x)=2excosx设切点为Q(x0,(sinx0+cosx0)ex0)，则切线斜率为k=f(x0)=2ex0cosx0切线方程为y(sinx0+cosx0)ex0=2ex0cosx0(xx0)将点P(12,0)代入切线方程得(sinx0+cosx0)ex0=2ex0cosx0(12x0)，即tanx0=2(x02)令曲线C:y=tanx，直线l:y=2(x2)，则直线与曲线C交点的横坐标即为切点横坐标又直线与曲线C均关于点(2,0)对称，则它们的交点横坐标成对出现，在区间992,1012内共有50对，每对之和为过点P作函数f(x)=2sin(x+4)ex，x992,1012的切线共有100条，即切点共有100个i=1nxi=i=1100xi=50故答案为50三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列an满足Sn=2ann (nN*).（1）证明：an+1是等比数列；（2）令bn=2nanan+1，求数列bn的前n项和Tn.【答案】（1）见解析（2）112n+11【解析】试题分析：（1）由数列an满足Sn=2an-n，求出通项公式an和an1的关系，由此判断an+1是否为等比数列；（2）由（1）可知数列an的通项公式，代入bn=2nanan+1可知bn的通项公式，通过裂项相消法算出bn的前n项和Tn。试题解析：（1）由S1=2a1-1得：a1=1Sn-Sn-1=(2an-n)-(2an-1-(n-1) (n2)，an=2an-1+1，从而由an+1=2(an-1+1)得an+1an-1+1=2 (n2)，an+1是以2为首项，2为公比的等比数列 （2）由（1）得an=2n-1bn=2n(2n+1-1)(2n-1)，即bn=12n-1-12n+1-1 ，Tn=1-13+13-17+12n-1-12n+1-1 =1-12n+1-1点晴：本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) 1n(n+k)=1k(1n1n+k)；（2） 1n+k+n =1k(n+kn)； （3）1(2n1)(2n+1)=12(12n112n+1)；（4）1n(n+1)(n+2)=121n(n+1)1(n+1)(n+2)；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：微信控非微信控合计男性262450女性302050合计5644100（1）根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，再随机抽取3人赠送礼品，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列和数学期望.参考公式: k2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.参考数据：P(K2k0)0.500.400.250.150.100.050.025k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024【答案】（1）没有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关（2）EX=95【解析】试题分析：（1）根据列表中的数据计算观测值K2，对照数表得出结论；（2）根据题意知X的可能取值，计算对应的概率值，即可求出X的分布列与数学期望值.试题解析：（1）由列联表可得K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d=1002620-3024250505644=50770.6493.841所以没有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关 （2）根据题意所抽取的5位女性中，“微信控”有3人，“非微信控”有2人，X可取的值为1，2，3PX=1=C31C22C53=310，PX=2=C32C21C53=35，PX=3=C33C53=110所以X的分布列是X123P31035110X的数学期望是EX=1310+235+3110=95 19.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB/CD，ABAD，CD=2AB=62，PAB与PAD均为等边三角形，点E为CD的中点.（1）证明：平面PAE平面ABCD；（2）试问在线段PC上是否存在点F，使二面角FBEC的余弦值为33，若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）点F为PC的中点【解析】试题分析：（1）连接BD，根据题设条件可证四边形ABED为正方形，即可得BDAE，设BD与AE相交于点O，根据PAB与PAD均为等边三角形可证PB=PD，即可证BDPO，从而证明平面PAE平面ABCD；（2）由题设条件及（1）可知，建立以点O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BCE的一个法向量，结合二面角F-BE-C的余弦值为33，即可求出点F的位置.试题解析：（1）证明：连接BD，由于ABCD，点E为CD的中点，DE=AB，ABAD四边形ABED为正方形，可得BDAE设BD与AE相交于点O又PAB与PAD均为等边三角形PB=PD在等腰PBD中，点O为BD的中点BDPO，且AE与PO相交于点O，可得BD平面PAE又BD平面ABCD平面PAE平面ABCD （2）由CD=2AB=62，PAB与PAD均为等边三角形，四边形ABED为正方形，BD与AE相交于点O，可知OA=OP=3，PA=32，所以POAO，又平面PAE平面ABCD，所以PO平面ABCD，以点O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为轴建立空间直角坐标系可得B(0,3,0)，P(0,0,3)，E(-3,0,0)，P(6,3,0)设点F的坐标为(x,y,z)，PF=PC，由PF=(x，y，z-3)，PC=(-6，3，-3)，可得F(-6,3,3-3)，故 BF=(-6，3-3，3-3)，BE=(-3，-3，0)设m=（x1，y1，z1）为平面BEF的一个法向量，则mBF=0mBE=0，得m=（1-，-1，3-1），平面BCE的一个法向量为n=(0，0，1)，由已知cos=mnmn =3-1112-10+3 =33，解得=12所以，在线段PC上存在点F，使二面角F-BE-C的余弦值为33，且点F为PC的中点点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，且点A(0,1)在椭圆E上.（1）求椭圆E的方程；（2）已知P(0,2)，设点B(x0,y0)（y00且y01）为椭圆E上一点，点B关于x轴的对称点为C，直线AB,AC分别交x轴于点M,N，证明：OPM=ONP.（O为坐标原点）【答案】（1）x24+y2=1（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率为32及点A(0,1)在椭圆E上即可得椭圆E的方程；（2）根据对称性得C(x0,-y0)，即可得直线AC与直线AB的方程，从而求得M和N坐标，进而推出OMOP=OPON，即可证明OPM=ONP.试题解析：（1）由已知得：b=1，ca=32又a2=b2+c2a2=4，椭圆E的方程为x24+y2=1 （2）点B关于x轴的对称点为CC(x0,-y0)，直线AC的方程为y=-1+y0x0x+1，令y=0得Nx0y0+1,0；直线AB的方程为y=y0-1x0x+1，令y=0得Mx01-y0,0 OMON=x0y0+1x01-y0=x021-y02，而点B(x0,y0)在椭圆x24+y2=1上，x024+y02=1，即：x021-y02=4OMON=4=OP2，即OMOP=OPONRtOPMRtONP，OPM=ONP21.已知函数f(x)=lnxx1.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）设m0，求f(x)在区间m,2m上的最大值；（3）证明：对nN*，不等式ln(1+nn)n1+nn成立.（为自然对数的底数）【答案】（1）函数f(x)在(0,e上单调递增，在e,+)上单调递减（2）f(x)max=f(e)=1e1（3）见解析【解析】试题分析：（1）确定函数的定义域，求导数，由导数的正负明确函数的单调区间；（2）对m分类讨论，确定函数f(x)再m,2m上得单调性，从而可求函数的最大值；（3）先确定函数在(0,+)上，恒有f(x)=lnxx-11e-1，即lnxx1e，结合（1）可证，从而可得x(0,+)，恒有lnx1ex，进而可得结论.试题解析：（1）f(x)的定义域为(0,+)，f(x)=1-lnxx2，由f(x)=1-lnxx2=0，得x=e当0x0；当xe时，f(x)=1-lnxx20所以函数f(x)在(0,e上单调递增，在e,+)上单调递减 （2）当02me，即0me2时，f(x)在m,2m上单调递增，f(x)max=f(2m)=ln(2m)2m-1当me时，f(x)在m,2m上单调递减，f(x)max=f(m)=lnmm-1当me2m，即e2m0，1+nneln1+nn1e1+nn，即eln1+nn1+nn，ln1+nne1+nn即对nN*，不等式ln1+nne1+nn成立点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和及放缩法.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为=1sin+acos，l2的极坐标方程为=1cosasin.（1）求直线l1与l2的交点的轨迹C的方程；（2）若曲线C上存在4个点到直线l1的距离相等，求实数的取值范围.【答