二次函数的图象和性质

1 / 18 二次函数的图象和性质 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 二次函数 y ax2+bx+c的图象 课时安排 2 课时 从容说课 本节课在二次函数 y ax2和 y ax2+c的图象的基础上，进一步研究 y a(x-h)2和 y a(x-h)2+k 的图象，并探索它们之间的关系和各自的性质旨在全面掌握所有二次函数的图象和性质的变化情况同时对二次函数的研究，经历了从简单到复杂，从特殊到一般的过程：先是从 y x2开始，然后是 y ax2， y ax2+c，最后是 y a(x-h)2， y a(x-h)2+k，y ax2+bx+c符合学生的认知特点，体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性 在教学中，主要是让学生自己动手画图象，通过自己的观察、交流、对比、概括和反思 等探索活动，使学生达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解并能利用它的性质解决问题 第 1 课时 课题 2 4 1 二次函数 y ax2+bx+c 的图象 (一 ) 教学目标 2 / 18 (一 )教学知识点 1能够作出函数 y=a(x-h)2和 y a(x-h)2+k 的图象，并能理解它与 y ax2 的图象的关系理解 a， h， k 对二次 函数图象的影响 2能够正确说出 y=a(x-h)2+k 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 (二 )能力训练要求 1通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解 2经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力 (三 )情感与价值观要求 1经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点 2让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果 教学重点 1经 历探索二次函数 y ax2+bx+c 的图象的作法和性质的过程 2能够作出 y=a(x-h)2 和 y=a(x-h)2+k 的图象，并能理解它与 y ax2 的图象的关系，理解 a、 h、 k 对二次函数图象3 / 18 的影响 3能够正确说出 y a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 教学难点 能够作出 y a(x-h)2和 y a(x-h)2+k 的图象，并能够理解它与 y ax2 的图象的关系，理解 a、 h、 k 对二次函数图象的影响 教学方法 探索 比较 总结法 教具准备 投影片四张 第一张： (记作 2 4 1A) 第二张： (记作 2 4 1B) 第三张： (记作 2 4 1c) 第四张： (记作 2 4 1D) 教学过程 创设问题情境、引入新课 我们已学习过两种类型的二次函数，即 y=ax2与 y=ax2+c，知道它们都是轴对称图形，对称轴都是 y 轴，有最大值或最小值顶点都是原点还知道 y ax2+c的图象是函数 y=ax2的图象经过上下移动得到的，那么 y=ax2的图象能否左右移动呢 ?它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪4 / 18 些性质呢 ?本节课我们就来研究有关问题 新课讲解 一、比较函数 y 3x2与 y 3(X-1)2的图象的性质 投影片： (2 4A) (1)完成下表，并比较 3x2和 3(x-1)2的值， 它们之间有什么关系 ? X-3-2-101234 3x2 3(x-1)2 (2)在下图中作出二次函数 y 3(x-1)2 的图象你是怎样作的 ? (3)函数 y 3(x-1)2 的图象与 y=3x2 的图象有什么关系 ?它是轴对称图形吗 ?它的对称轴和顶点坐标分别是什么 ? (4)x取哪些值时，函数 y 3(x-1)2 的值随 x 值的增大而增大 ?x 取哪些值时，函数 y 3(x-1)2 的值随 x 值 的增大而减小 ? 请大家先自己填表，画图象，思考每一个问题，然后互相讨论，总结 (1)第二行从左到右依次填： 27 12， 3， 0， 3， 12， 27， 48；第三行从左到右依次填 48， 27， 12， 3， 0， 3， 12， 27 (2)用描点法作出 y 3(x-1)2的图象，如上图 5 / 18 (3)二次函数 )y 3(x-1)2的图象与 y=3x2的图象形状相同，开口方向也相同，但对称轴和顶点坐标不同， y 3(x-1)2的图象的对称轴是直线 x=1，顶点坐标是 (1， 0) (4)当 x1 时，函数 y 3(x-1)2 的值随 x 值 的增大而增大， x0时，向上移动，当 c0 时，向右移动，当 h0时，向左移动 (3)将函数 y ax2的图象既上下移，又左右移，便可得到函数 y a(x-h)2+k的图象 因此，这些函数的图象都是一条抛物线，它们的开口方向，对称轴和顶点坐标与 a， h， k 的值有关 下面大家经过讨论之后，填写下表： y=a(x-h)2+k 开口方向对称轴顶点坐标 a 0 a 0 四、议一议 投影片： (2 ， 4 1D) (1)二次函数 y=3(x+1)2的图象与二次函数 y 3x2的图象有什么关系 ?它是轴对称图形吗 ?它的对称轴和顶点坐标分别是什么 ? (2)二次函数 y=-3(x-2)2+4 的图象与二次函数 y=-3x2 的图象有什么关系 ?它是轴对称图形吗 ?它的对称轴和顶点坐标9 / 18 分别是什么 ? (3)对于二次函数 y 3(x+1)2，当 x 取哪些值时， y 的值随x 值的增大而增大 ?当 x 取哪些值时， y 的值随 x 值的增大而减小 ?二次函数 y 3(x+1)2+4 呢 ? 在不画图象的情况下，你能回答上面的问题吗 ? (1)二次函数 y 3(x+1)2的图象与 y 3x2的图象形状相同，开口方向也相同，但对称轴和顶点坐标不同， y=3(x+1)2 的图象的对称轴是直线 x=-1，顶点坐标是 (-1， 0)只要将 y 3x2 的图象向左平移 1 个单位，就可以得到 y=3(x+1)2 的图象 (2)二次函数 y -3(x-2)2+4 的图象与 y -3x2 的图象形状相同，只是位置不同，将函数 y -3x2的图象向右平移 2 个单位，就得到 y=-3(x-2)2 的图象，再向上平移 4 个 单位，就得到 y=-3(x-2)2+4的图象 y=-3(x-2)2+4的图象的对称轴是直线 x=2，顶点坐标是 (2， 4) (3)对于二次函数 y=3(x+1)2 和 y 3(x+1)2+4，它们的对称轴都是 x -1，当 x-1 时， y 的值随 x 值的增大而增大 课堂练习 随堂练习 课时小结 本节课进一步探究了函数 y=3x2 与 y 3(x-1)2， y10 / 18 3(x-1)2+2 的图象有什么关系，对称轴和顶点坐标分别是什么这些问题并作了归纳总结还能利用这个结果对其他的函数图象进行讨论 课后作业 习题 2 4 活动与探究 二次函数 y=(x+2)2-1与 y=(x-1)2+2的图象是由函数 y x2的图象怎样移动得到的 ?它们之间是通过怎样移动得到的 ? 解： y (x+2)2-1 的图象是由 y=x2 的图象向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位得到的， y (x-1)2+2 的图象是由y=x2的图象向右平移 1个单位，再向上平移 2个单位得到的 y (x+2)2-1 的图象向右平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位得到 y=(x-1)2+2 的图象 y (x-1)2+2 的图象向左平移 3 个单位，再向下平移 3 个单位得到 y (x+2)2-1 的图象 板书设计 1 二次函数 y ax2+bx+c 的图象 (一 )一、 1.比较函数 y 3x2与 y 3(x-1)2的 图象和性质 (投影片 2 4 1A) 2做一做 (投影片 2 4 1B) 3总结函数 y 3x2， y=3(x-1)2y=3(x-1)2+2 的图象之间的关系 (投影片 2 4 1c) 11 / 18 4议一议 (投影片 2 4 1D) 二、课堂练习 1 随堂练习 2补充练习 三、课时小结 四、课后作业 备课资料 参考练习 在同一直角坐标系内作出函数 y=-x2,y=-x2-1,y=-(x+1)2-1的图象，并讨论它们的性质与位置关系 解：图象略 它们都是抛物线，且开口方向都向下；对称轴分别为 y 轴 y轴，直线 x=-1；顶点坐标分别为 (0， 0)， (0， -1)， (-1， -1) y=-x2的图象向下移动 1个单位得到 y=-x2-1的图象； y=-x2的图象向左移动 1 个单位，向下移动 1 个单位，得到 y-(x+1)2-1 的图象 第 2 课时 课题 2 4 2 二次函数 y ax2+bx+c 的图象 (二 ) 教学目标 (一 )教学知识点 12 / 18 1体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性 2能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题 (二 )能力训练要求 1通过解决实际问题，让学生训练把教学知识运用于实践的能力 2通过学生合作交流来解决问题，培养学生的合作交流能力 (三 )情感与价值观要求 1经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，掌握数学的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题 2初步认识数学与人类生活的密切 联系及对人类历史发展的作用 教学重点 运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题 教学难点 把数学问题与实际问题相联系的过程 教学方法 讲解法 教具准备 投影片三张 第一张： (记作 2 4 2A) 第二张： (记作 2 4 2B) 13 / 18 第三张： (记作 2 4 2c) 教学过程 创设问题情境，引入新课 上节课我们主要讨论了相关函数 y ax2， y=a(x-h)2， ya(x-h)+k的图象的有关性质，特别练习了求函数的对称轴和顶点坐标我们知道学习的目的就是为了应用，那么究 竟有什么用处呢 ?本节课将学习有关二次函数的应用 新课讲解 一、 1.例题 前几节课我们研究了不同形式的二次函数的图象，形如y=ax2， y ax2+c， y a(x-h)2， y a(x-h)2+k并对它们的性质进行了比较但对于二次函数的一般形式 yax2+bx+c(a、 b、 c 是常数， a0) ，它是属于上面形式中的哪一种呢 ?还是另外一种，它的对称轴和顶点坐标是什么呢 ?下面我们一起来讨论这个问题 投影片： (2 4 2A) 例：求二次函数 y ax2+bx+c 的对称轴和顶点坐标 解：把 y ax2+bx+c的右边配方，得 y ax2+bx+c =a(x2+) =a =a(x+)2+. 14 / 18 大家看配方以后的形式属于前面我们讨论过的哪一种形式呢 ? 属于 y a(x-h)2+k 的形式 在 y=a(x-h)2+k 的形式中，我们知道对称轴为 x h 顶点坐标为 (h， k)对比一下， y ax2+bx+c 中的对称轴和顶点坐标是什么呢 ? 对称轴是 x，顶点坐标是 (,). 确定吗 ?大家再讨论一下 在 y a(x-h)2+k 中是 x-h，而 y a(x+)2+中是 x+，它们的符号不同，应把 y a（ x+） 2+.进 行变形得 y=a+.再对照y=a(x-h)2+k 的形式得对称轴为 x=-,顶点燃坐标为（ -，） 这位同学回答得非常棒 至此，所有的二次函数的形式我们就都讨论过了 下面我们来研究一些实际问题 二、有关桥梁问题 投影片： (2 4 2B) 下图所示桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状按照图中的 直 角 坐 标 系 ， 左 面 的 一 条 抛 物 线 可 以 用y=0 0225x2+0 9x+10表示，而且左右两条抛物线关于 y 轴对称 (1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少 ? 15 / 18 (2)两条钢缆最低点之间的距离是多少 ? (3)你 是怎样计算的 ?与同伴进行交流 分析：因为两条钢缆都是抛物线形状，且开口向上要求钢缆的最低点到桥面的距离就是要求抛物线的最小值又因为左右两条抛物线关于 y 轴对称，所以它们的顶点也关于 y 轴对称，两条钢缆最低点之间的距离就是两条抛物线顶点的横坐标绝对值之和或其中一条抛物线顶点横坐标绝对值的 2倍已知二次函数的形式是一般形式，所以应先进行配方化为 y a(x-h)2+k的形式，即顶点式 解： y=0 0225x2+0 9x+10 =0 0225(x2+40x+) 二 0 0225(x2+40x+400-400+) 0 0225(x+20)2+1 对称轴为 x=-20顶点坐标为 (-20， 1) (1)钢缆的最低点到桥面的距离是 1 米 (2)两条钢缆最低点之间的距离是 220 40米 (3)是用配方法求得顶点坐标得到的，也可以直接代入顶点坐标公式中求得 从上面的例题我们可知，抛物线在现实生活中的应用很广，因此大家要学好并运用好它，对于给出的问题要认真思考，把实际问题转化为数学问题，从而用数学知识解决实际问题 16 / 18 在上面的问题中，大家能否求出右面的抛物线的表达式呢 ?请互相交流 解：因为左右 两条抛物线是关于 y 轴对称的，而关于 y 轴对称的图形的特点是，所有的对应点的坐标满足横坐标是互为相反数，纵坐标相等，我们可以利用这个特点，在原有的左面的抛物线的表达式的基础上，得到右面抛物线的表达式，即把 y 不变， x 换为 -x 代入 y 0 0225x2+0 9x+10 中，得 y 0 0225(-x)2+0 9(-x)+10 0 0225x2-0 9x+10 三、补充例题 投影片： (2 4 2c) 如右图，一边靠校园院墙，另外三 边用 50m长的篱笆，围起一个长 方形场地，设垂直院墙的边长为 xm (1)写出长方形场地面积 y(m2)与 x 的函数关系式； (2)画出函数的图象； (3)求边长为多少时，长方形面积最大，最大是多少 ? 解： (1)垂直院墙的边长为 xm，另一边长为 (50-2x)m则 y=x(50-2x)=-2x2+50x=-2(x-)2+. (2)图象略 (3)由 (1)得，当 x时， y 最大 =. 所以当边长为 m 时，