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北 京 四 中 函数的基本性质 一、基础知识梳理1、函数的单调性：一般地，设函数f（x）的定义域为I：如果对于定义域I内某个给定区间D上的任意两个自变量的值x1, x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间D上是增函数。如果对于定义域I内某个给定区间D上的任意两个自变量的值x1, x2，当 x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上的减函数。认知：函数的单调性是对区间而言的，它是函数的“局部”性质，不同于函数的奇偶性，函数的奇偶性是对整个定义域而言的，是函数“整体”性质；对某一函数y=f（x），它在某区间上可能有单调性，也可能没有单调性；即使是同一个函数它在某区间上可能单调增，而在另外一区间上可能单调减；对某一函数y=f（x），它在区间（a，b）与（c，d）上都是单调增（减）函数，不能说y=f（x）在（a，b）（c，d）上一定是单调增（减）函数；定义均为充要性命题,因此,在函数的单调性之下,自变量的不等关系与相应函数值间的不等关系相互贯通:f(x)在D上为增函数且f( )f( ) ,且 , D;f(x)在D上为减函数且f( ) , , D.单调性的定义,是判断、证明函数的单调性以及寻求函数单调区间的基本依据.应用函数的单调性定义的解题三部曲为()设值定大小:设 , 为给定区间上任意两个自变量值,且 0时， ，求f(x)在R上的完整表达式。分析与解答：首先f(0)=0当x0, 点评：已知函数在某一范围的解析式，利用函数性质，求其在其它区间上的解析式；或已知函数在某一区间上的单调性，研究它在其它区间上的单调性等问题，都要做到“求谁设谁”，即将所求范围内的变量设为x，或(x, y)，再利用对称性等其它性质，利用对称区间的条件，来获得x, y的函数关系。练： 的图象上任一点为(x,y)，则点 在y=g(x)图象上，求y=g(x)的解析式。解：设y=g(x)图象上任一点为 则点P(2x, 3y)在y=f(x)图象上， ， 为所求。例6、求函数的单调区间。(1) (2) y=|x|(1-x)(3) 分析与解答：可以通过引入中间变量u，将复合函数y=fg(x)拆分为 u=g(x)和y=f(u)，复合函数的单调性可以通过u=g(x)和y=f(u)的单调性获得，结果如下表，但实施时要首先考虑函数定义域。u=g(x)y=f(u)y=fg(x)增增增增减减减增减减减增(1) x2-8x+70, x7或x-1当x(-,-1)时，x，u=x2-8x+7, (-,-1)为单增区间；当x(7,+)时，x, u=x2-8x+7, ,(7, +)为单减区间。(2)含绝对值的函数，可分情况讨论，去掉绝对值符号因函数图象易于画出，所以画图（见左），直接读出单调区间单增区间为 ，单减区间为（-，0和 。(3)可先化简函数为 当 ，kZ时，即 时，x ， ， 当 ，kZ时，即 时，x， ， 单增区间为 ，kZ，单减区间为 ，kZ。评注：数形结合利用图象判断函数单调区间；关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关。复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决，内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数。例7、设函数f（x）在定义域R上是单调递减函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y）， ），求：f（1）及f（ ）.分析：这里的函数f（x）没有给出具体的解析式，要求f（1）的值，就需要对已知条件f（xy）=f（x）+f（y）中的x、y进行恰当的赋值，于是令x= ，y=1，得f（1）=0.解：令x= ，y=1，得f（1）=0.f（ ）=1，f（ ）=2.例8、定义在（-2，2）上的偶函数f(x)，当x0时为减函数，若f(1-a)f(a)恒成立，求实数a的取值范围。分析与解答：f(x)为偶函数， f(x)=f(|x|)由f(1-a)f(a)，有f(|1-a|)0f(x)可视为关于x的一次型函数，只需 ，即有 , .说明：（1）若函数f(x)=kx+b在a,b恒成立，限定方法有两种：方法一：只需 方法二：只需 。利用f(x)为一次函数，故其最值存在，只能在区间端点处取得，即若其两端点值均大于零。（2）恒成立问题：常常可将函数整理为已给范围的变量为自变量的函数的最值问题去处理。例10、设a0， 是奇函数。（1）试确定a的值；（2）试判断f(x)的反函数f-1(x)的单调性，并证明；（3）设 （nN*）试比较f-1(n)与g(n)的大小。解析：（1）f(x)为奇函数， f(x)+f(-x)=0即 对定义域内x均成立，解得a=1，即 ；（2）由 得 ， ， ， f-1(x)在定义域内为增函数，当任取定义域内x1,x2且x1x2时，因 得 ，则 ， f-1(x1)f-1(x2)，即f-1(x)为增函数。（3） ，则：f-1(1)g(1), f-1(2)g(3),假设f-1(k)g(k)(k3)成立，即： 即2k2k+1,则 。 f-1(k+1)g(k+1)，综上知，n3时，恒有 f-1(n)g(n).评注：本题综合考查了指数函数，对数函数的性质，部分分式法的变形技巧及数学归纳法、逻辑推理能力等。例11、设函数定义在R上对任意实数m,n恒有f(m+n)=f(m)f(n)，且当x0时，0f(x)1.(1)求证：f(0)=1且当x1；(2)求证：f(x)在R上单调递减；(3)设集合A=(x,y)|f(x2)f(y2)f(1), B=(x,y)|f(ax-y+2)=1, aR，若AB，求a的取值范围。解：(1)取m0,n=0，得f(m)=f(m)f(0)，且f(m)(0,1), f(0)=1, 又对于x0, 即 f(x)1.(2) 任取x1,x2R, 且x10(由题设及(1)， ， 故f(x1)f(x2), 则f(x)在(-,+)单调递减。(3)由A得f(x2+y2)f(1)及(2)知x2+y21时，实数x的取值范围是（ ）A、-1,3 B、(-5,+) C、(-,-1)(5,+) D、(-,1)(5,+)8已知函数 ，若函数g(x)的图象与函数f-1(x+1)的图象关于y=x对称，那么 的值等于（ ）。A、-1 B、-2 C、 D、 9已知函数f(x)定义域为R，则下列命题：y=f(x)为偶函数，则y=f(x+2)的图象关于y轴对称.y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x)关于直线x=2对称.若函数f(2x+1)是偶函数，则f(2x)的图象关于直线 对称.若f(x-2)=f(2-x)，则y=f(x)关于直线x=2对称.y=f(x-2)和y=f(2-x)的图象关于x=2对称.其中正确的命题序号是（ ）.A、B、 C、 D、10.函数y= 在区间（，a）上是减函数，则a的取值范围是A.（，0） B.（，1）C.0，）D.1，）11.函数f（x）=2x23|x|的单调减区间是_。12.已知f（x）=x5ax3bx8，f（2）=10，则f（2）=_。13.若f（x）是偶函数，其定义域为R且在0，）上是减函数，则f（ ）与f（a2a1）的大小关系是_。14.函数y=x22ax+1，（1）若它的增区间是2，+），则a=_。（2）若它在区间2，+）上递增，则a_。15如果函数 在(-2,+)是增函数，那么实数a的取值范围是_。16已知22-a-2xb,试比较f(a),f(b)的大小。(2)解不等式 (3)设P=x|y=f(x-c),Q=x|y=f(x-c2) 且PQ=，求C的取值范围。参考答案：1.A 2.D 3.A 4.A 5.B 6.B7、C解析：反客为主，视a为变量，函数表达式为y=(2-x)a+x2-3x, 由一次函数（或常数函数）的图象知，只需端点a=-1 及a=3时 y1即可。由 , x5或xb, (*)题设知： ，而a-b0, 得(*)0。即f(a)f(b)，故f(x)在-1,1单调递增。(2)由定义域及单调性知， 可化为 ，解得 。(3)由P知1x-c1得 c-1xc+1,由Q知：-1x-c21 得 c2-1xc2+1.则PQc2-1c+1或c-1c2+1.解得：c2.指数函数相关知识指数函数与对数函数互为反函数.定义定义域值域图象性质指 数 函 数y=ax(a0且a1)叫指数函数(-，+)(0，+)(1)图象过点(0，1) (2)a1，当x0，y1； 当x=0，y=1； 当x0时0y1。 0a1，当x0，0y1；当x=0，y=1； 当x0，y1。 (3)a1，y=ax为增函数； 0a1，y=ax为减函数。对 数 函 数y=logax(a0且a1)叫对数函数(0，+)(-，+)(1)图象过点(1，0) (2)a1时，当x1，y0； 当x=1，y=0； 当0x1，y0. 0a1时，当0x1，y0； 当x=1，y=0；当x1，y0.(3)a1，y=logax为增函数；0a1，y=logax是减函数.注意：指数函数、对数函数