复数的有关概念教学设计

课题：复数的有关概念执教者：奉贤中学 金红卫一教学目标：（1） 理解复数相等、复平面和复数的模的概念；初步掌握复数集与复平面上的点的集合之间的一一对应关系。（2） 在培养学生类比、转化和数形结合的数学思想方法的过程中，提高学生学习能力。 （3）培养学生科学探索精神和辨证唯物主义思想。教学重点： 复数相等的内涵、复平面的概念。 教学难点：复平面的概念。教学方法： 启发探究式。教学手段： 运用多媒体技术和实物投影仪。教学过程： 引言：在人和社会的发展过程中，常常需要立足今天，回顾昨天，展望明天。符合客观发展规律的要发扬和完善，不符合的要否定和抛弃。那么，在实数集向复数集发展的过程中，我们应该如何发扬和完善，否定和抛弃呢？ 思考：如何探索复数集的性质和特点？ 探索途径：(1)实数集原有的有关性质和特点能否推广到复数 集？ (2)从复数的特点出发，寻找复数集新的（实数集 所不具有）性质和特点？ 回顾实数集具有的一些性质。 引入课题：复数的有关概念 问题一：你认为满足什么条件，可以说这两个复数相等？（请学生议论，对复数相等的概念达成共识，并揭示复数相等的内涵-对复数问题的研究可以转化为对实数问题的研究。） 例1 设x，yR，并且(2x 1)+xi=y(3y)i，求x，y。解题思考：复数相等的问题转化为求方程组的解的问题。问题二：任意两个复数可以比较大小吗？认为可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。提示：复数大小的比较能否转化为对两个实数a、b的综合大小的比较呢？（让学生议论后发言，教师点评。） 问题三：对于实数，我们找到了一个几何模型-数轴(一条规定了正方向、原点和单位长度的直线)-用数轴上的点来表示实数，并且使它们一一对应。你能否找到一个几何模型，用它来表示复数？ （请学生议论后发言，教师点评。） 引入复平面，实轴，虚轴概念。 阅读教材第39页有关内容，然后进行概念辨析。 例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 变式：证明对一切m，复数所对应的点不可能位于第四象限。 解题思考：表示复数的点所在的象限问题(几何问题)和复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题(代数问题)，两者可以实现相互转化-研究复数问题可以转化为研究复平面上点的问题。 -一种重要的数学思想：数形结合思想。 问题四：实数绝对值的几何意义是指实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。能否把绝对值概念推广到复数范围呢？ （请学生议论后发言，教师点评。） 引入复数的模的概念，导出|z|=。 例3 求下列复数的模： (1)z1= -5i (2)z2= -3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(mR) (5)z5=4a-3ai(a0)思考：(1)复数的模能否比较大小？ (2)满足|z|=5(zR)的z值有几个？ (3)满足|z|=5(zC)的z值有几个？这些复数z对应 的点在复平面上构成怎样的图形？ 课堂小结： (1)数学知识； (2)数学思想； (3)数的发展和完善过程给我们的启示。 作业： 数学练习册 第16页：3，4，5，6，7。 说课提纲：一 对教学目标和教学内容的认识：本节课内容是高一数学第三章复数初步第一节复数的概念中的第二课时，包含复数的相等、复数平面和复数的绝对值（即复数的模）等概念。本节课是对复数概念的进一步深化，同时为本章第二节复数的四则运算的学习作好必要准备，更为今后向量初步、复数的向量表示及复数的三角形式等章节的学习设下伏笔。 高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“理解”的层次，即对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，并了解它们的应用及与其他知识的联系。 根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要和社会的政治经济、科学技术的需求，教学目标可分为知识目标、能力目标和情感目标。知识目标主要由数学基础知识和基本技能构成，能力目标主要由数学思想和方法构成，而情感目标的构成更为广泛，如学习兴趣的激发，学习行为的规范，良好人际关系的建立，科学态度和创新精神的培养，人生观、世界观、价值观的教育等等。所以，本节课从知识、能力和情感三个层面确定了相应的目标。 复数的概念较多，教材作了分散处理。3.1节(数的概念的扩展)中，通过对数的发展历史的回顾，在引进了新数i后，完成了数的概念的扩展。但复数的概念比较抽象，这就需要在3.2节(复数的有关概念)通过复数的另一种表示形式-复平面上的点，抽象与具体相结合，加深概念的理解。复数相等的内涵作为构建复平面的重要前提，理应作为本堂课的教学重点。以有序实数对(a,b)为中介，通过构建复平面，复数的代数表示形式(a+bi)得以实现与复数的几何表示形式(复平面上的点)有机联系。自然，复平面概念也应被确立为本堂课的教学重点。同时，由于复平面的构建需要学生摆脱习惯的一维思维方式，用二维的思维角度来思考问题。所以，复平面概念同时也成为本堂课的教学难点。 二.教学方法和教学手段的选择： 本节课采用启发式教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，掌握数学基本知识和基本能力，培养积极探索和团结协助的科学精神。 对教学手段选择和利用：(1)采用多媒体技术，目的在于充分利用其优良的传播功能。大容量信息的呈现和生动形象的演示对提高学生学习兴趣、激活学生思维有积极作用。制作中，采用交互技术，使课件的机动性得到加强。(2)采用实物投影仪，目的在于利用操作方便、反馈及时的优点，弥补多媒体技术在即时信息反馈方面的不足。(3)通过多媒体技术和实物投影仪的交替使用，取长补短。但必要时仍然要借助课本、黑板等其它教学媒体。 三对学法指导的思考：要进行学法指导，必须对学生原有的认知结构进行分析：(1) 学生对实数集具有的性质和特点比较了解。(2)学生在高一数学第一章集合与命题中对命题的表达有了进一步的理解，对用类比思想给两个复数相等、复数的绝对值（复数的模）下定义提供了必要的保障。(3)学生在实数集学习中，对数与形的关系应有初步的了解。同时，平面直角坐标系对学生而言并不陌生。初中学过，在高一数学第二章不等式中再次接触到。 学法指导的目标：(1)让学生能感受和学习到一些常见的数学思想方法；(2) 让学生在解题之后能进行一些思考；(3)让学生能通过交流和讨论，提高语言表达能力。 学法指导的的实施途径：(1)通过研究复数性质与特点过程中的四次类比，进行类比思想运用的指导；通过实数与数轴上的点，复数与复平面上的点，不等式组与点的位置，复数方程与复平面上的图形等关系的揭示，对转化和数形结合思想的运用进行指导。(2)通过对解题思路的脉络分析，对学生进行解题思考的指导(3)通过对学生议论的点评规范语言表达，指导学生进行交流和讨论。 四教学过程的说明：通过回顾，学生能够对数的发展过程和其必然性有一个初步的认识，但对扩展后的新数集具有的一些性质和特点是如何构造或如何发现的，常常缺少应有的思考、探索和创新。当然，这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关。而这一点，恰恰是现代社会对人的基本要求，也是目前提倡的素质教育的核心。所以，本节课力图从事物发展的角度，由实数集具有的一些性质和特点出发，借助类比的思想对复数集的性质和特点作一些理性的探索和研究，揭示复数有关概念产生的背景。同时，在学习运用过程中，对转化思想和数形结合思想进行感性的认识。 根据对教学目标和教学内容的认识，对教学方法和教学手段的选择，对学法指导的思考，教学基本程序如下： （一）激发兴趣，把问题解决作为教学的源动力。 问题解决，在数学中既可以指肯定性的获得，即按照原来的要求解决了问题；也可以指得到了否定的解答，即证明了原来的问题是不可能解决的。本节课通过类比的思想方法，提出了一些学生能够进行思考但常常不够清晰的问题，使学生的注意、记忆、思维凝聚在一起，达到学习活动的高潮。如：你能否找到一个几何模型，用它来表示复数？任意两个复数可以比较大小吗？ （二）尝试引导，把数学活动作为教学的载体。学生在尝试进行问题解决的过程中，常常难以把握问题解决的思维方向，难以建立起新旧知识间的联系，难以判断知识运用是否正确，方法选择是否有效，问题的解是否准确等，这就需要教师进行启发引导。本节课采用了以下几种数学活动方式进行引导： (1)重温与问题有关的知识。如重温了实数集具有的一些性质；表示实数的几何模型-数轴(一条规定了正方向、原点和单位长度的直线)；实数绝对值的几何意义。 (2)对给出的问题进行分析（联想，类比，猜测等）。如以有序实数对(a,b)为中介，通过联想，用平面直角坐标系中的点来表示复数a+bi；用类比思想给复数的相等、复数的绝对值（复数的模）下定义；猜测对两个复数进行大小比较的方法。 (3)开展小组讨论和全班交流。如对两个复数进行大小比较的方法，对复平面的寻找，对满足|z|=5(zC)的z值的个数等较有思考力度的问题均设法通过讨论和交流进行相互启发。当然，在活动中，教师要对讨论的方向和深度作及时的引导和点评。 （三）自主解决，把能力培养作为教学的长远利益。让学生学会并形成问题解决的思维方法，需要让学生反复经历多次的“自主解决”过程，这就要求教师把能力培养作为一个长期的任务，在课堂教学中加强这方面的培养意识。本着这样的想法，在本节课中进行了类比、转化和数形结合等问题解决数学思想方法的揭示和学习。 问题一：你认为满足什么条件，可以说这两个复数相等？ 问题四：能否把绝对值概念推广到复数范围？ 由于学生对实数相等和实数绝对值的几何意义比较了解，加上在高一数学第一章集合与命题中对命题的表达有了进一步的理解，为问题的自主解决（对用类比思想给两个复数相等、复数的绝对值即复数的模下定义）提供了必要的保障 问题三：你能否找到一个几何模型，用它来表示复数？学生在利用数轴上的点表示实数的学习中，对数与形的关系已有初步的了解。同时，平面直角坐标系对学生而言并不陌生。初中学过，在高一数学第二章不等式中再次接触到。但对利用有序实数对作为中介，使复数与平面直角坐标系上的点产生联系，需要教师在问题一的研究中用复数相等的内涵作铺垫或暗示。再辅以讨论和交流，学生能够自主解决，教学难点也可以得到突破。 问题二：任意两个复数可以比较大小吗？ 由于此问题作为前一课时的课外思考题，估计学生会根据实数比较大小的方法，或日常生活中对两个量进行综合比较的方法，猜测一些比较两个复数大小的方法。教师需事先对学生可能想到的方法作一个估计，从鼓励学生积极思考的角度出发，通过交流和讨论进行评判。由于学生知识的缺陷和时间的限制，可能在课上暂无定论。作为拓广和发展，可以在选修课或活动课上作仔细的研究。由于要涉及高等代数的有关概念，教材对此作了回避。然而，在研究了两个复数的相等之后，无法回避两个复数在不相等情况下的大小比较问题。所以，在本节课中应让学生在课堂内适当地议论一下，使学生的探索精神和创新意识得到肯定和提倡，营造平等，民主的学习氛围。当然，教师要做好引导和评判，以防离题太远。 （四）练习总结，把知识梳理作为教学的基本要求。 练习是掌握和应用数学知识和技能所必需的。根据学生的认知特点，合理选择和设计例题与练习。 例1是教材上的例题。由于学生对两个复数相等的概念比较容易理解，作为对概念的进一步理解和初步应用，可以让学生自主完成，并让学生体会到自己在运用转化的思想解决问题了。例2是对复平面概念的进一步理解和初步应用。可以让学生自己练习。同时，应让学生体会到自己在运用数形结合的数学思想了。 例2的变式，其思维要求则略高一点，需要逆向思维。 例3是教材上的例题，但作了变化。一是对例题中的数