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抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论 一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:。把个单位即按向量在其他周期的图像：。2、奇偶函数：设若若。分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：点 （2）轴对称：对称轴方程为：。关于直线函数关于直线成轴对称。关于直线成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论（一）函数图象本身的对称性（自身对称）若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、 图象关于直线对称推论1： 的图象关于直线对称推论2、 的图象关于直线对称推论3、 的图象关于直线对称2、 的图象关于点对称推论1、 的图象关于点对称推论2、 的图象关于点对称推论3、 的图象关于点对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数与图象关于Y轴对称2、奇函数与图象关于原点对称函数3、函数与图象关于X轴对称4、互为反函数与函数图象关于直线对称5.函数与图象关于直线对称 推论1:函数与图象关于直线对称推论2:函数与 图象关于直线对称推论3:函数与图象关于直线对称 （三）抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1 若函数yf(x)关于直线xa轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(ax)f(ax) （2）f(2ax)f(x) （3）f(2ax)f(x)性质2 若函数yf(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1） f(ax)f(ax)（2） f(2ax)f(x) （3）f(2ax)f(x)易知，yf(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a0时的特例。2、复合函数的奇偶性定义1、 若对于定义域内的任一变量x，均有fg(x)fg(x)， 则复数函数yfg(x)为偶函数。定义2、 若对于定义域内的任一变量x，均有fg(x)fg(x)， 则复合函数yfg(x)为奇函数。说明：（1）复数函数fg(x)为偶函数，则fg(x)fg(x)而不是fg(x)fg(x)，复合函数yfg(x)为奇函数，则fg(x)fg(x)而不是fg(x)fg(x)。（2）两个特例：yf(xa)为偶函数，则f(xa)f(xa)； yf(xa)为奇函数，则f(xa)f(ax)（3）yf(xa)为偶（或奇）函数，等价于单层函数yf(x)关于直线xa轴对称（或关于点（a，0）中心对称）3、复合函数的对称性性质3复合函数yf(ax)与yf(bx)关于直线x（ba）/2轴对称性质4、复合函数yf(ax)与yf(bx)关于点（ba）/2，0）中心对称推论1、 复合函数yf(ax)与yf(ax)关于y轴轴对称推论2、 复合函数yf(ax)与yf(ax)关于原点中心对称4、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数yf(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数yf(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x)f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)5、函数的对称性与周期性性质5 若函数yf(x)同时关于直线xa与xb轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T2|ab|性质6、若函数yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T2|ab|性质7、若函数yf(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线xb轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T4|ab| 6、函数对称性的应用 （1）若,即 （2）例题 1、; 2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：。 3、若的图像关于直线对称。设.（四）常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论1、( ) 的周期为，()也是函数的周期2、 的周期为3、 的周期为4、 的周期为5、 的周期为6、 的周期为7、 的周期为8、 的周期为9、 的周期为10、若11、有两条对称轴和 周期推论：偶函数满足 周期12、有两个对称中心和 周期推论：奇函数满足 周期13、有一条对称轴和一个对称中心的四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1.求函数值例1.（1996年高考题）设是上的奇函数，当时，则等于（-0.5）（A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5.例2（1989年北京市中学生数学竞赛题）已知是定义在实数集上的函数，且，求的值.。2、比较函数值大小例3.若是以2为周期的偶函数，当时，试比较、的大小.解：是以2为周期的偶函数，又在上是增函数，且，3、求函数解析式例4.（1989年高考题）设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.解：设时，有 是以2 为周期的函数，.例5设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.解：当，即，又是以2为周期的周期函数，于是当，即时，4、判断函数奇偶性例6.已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性.解：由的周期为4，得，由得，故为偶函数.5、确定函数图象与轴交点的个数例7.设函数对任意实数满足， 判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.解：由题设知函数图象关于直线和对称，又由函数的性质得是以10为周期的函数.在一个周期区间上，故图象与轴至少有2个交点.而区间有6个周期，故在闭区间上图象与轴至少有13个交点.6、在数列中的应用例8.在数列中，求数列的通项公式，并计算分析：此题的思路与例2思路类似.解：令则不难用归纳法证明数列的通项为：，且以4为周期.于是有1，5，9 1997是以4为公差的等差数列，由得总项数为500项，7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第天是星期几？分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可.解：因为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为1，即为余数，故天为星期四.8、复数中的应用例10.（上海市1994年高考题）设，则满足等式且大于1的正整数中最小的是（A） 3 ； （B）4 ； （C）6 ； （D）7.分析：运用方幂的周期性求值即可.解：，9、解“立几”题例11.ABCD是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是（A）1； （B）；（C） ； （D）0.解：依条件列出白蚁的路线立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.1990=6，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在点，白蚁在C点，故所求距离是例题与应用例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)= f(x+4) ，x0，2时f(x)=x，求f(2007) 的值 例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 。故f(2009)= f(2518+1)=f(1)=2例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)=2x+1，则当时求f(x)的解析式例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=，f(999+x)=f(999x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)是减函数，求证当时f(x)为增函数例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a5，9且f(x)在5，9上单调.求a的值. 例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4x)，f(7+x)= f(7x),f(0)=0，求在区间1000，1000上f(x)=0至少有几个根？ 解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2（2）可知f(x)的一个周期是10 故f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0 即在区间(0，10上，方程f(x)=0至少两个根 又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根， 因此方程f(x)=0在区间1000，1000上至少有1+=401个根.例1、 函数yf(x)是定义在实数集R上的函数，那么yf(x4)与yf(6x)的图象之间（D ）A关于直线x5对称 B关于直线x1对称C关于点（5，0）对称 D关于点（1，0）对称解：据复合函数的对称性知函数yf(x4)与yf(6x)之间关于点（64）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。（原卷错选为C）例2、 设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x1对称，证明f(x)是周期函数。（2001年理工类第22题）例3、 设f(x)是（，）上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时f(x)x，则f(7.5)等于（-0.5）（1996年理工类第15题）例4、 设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，则f(x)是（C ）A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数六、巩固练习1、函数yf(x)是定义在实数集R上的函数，那么yf(x4)与yf(6x)的图象（ ）。A关于直线x5对称 B关于直线x1对称C关于点（5，0）对称 D关于点（1，0）对称2、设f(x)是（，）上