一般单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵.doc

9.3 一般单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵1.杆端内力与位移关系回顾（轴向）；（弯曲）；2.公式推导（图1）图1杆件性质：长度l，截面面积A，截面惯性矩I，弹性模量E；杆端位移u、v、。（1）（2）列成矩阵形式：（3）即： （4）局部坐标系下单元刚度矩阵：（5）9.4 梁单元1.简支梁简支梁单元见图1。图1说明：（a）梁单元通常忽略轴向变形；（b）图10-3中；相应的力分量也应该为零；（c）依据刚度矩阵的物理意义，可以由一般单元的刚度矩阵生成梁单元矩阵。即去掉位移分量为零的相应行和列。即：单元刚度方程： 单元刚度矩阵：（1） 2.悬臂梁等 思考：建立图2的单元刚度矩阵：（固定端位移为零；自由端有转角和竖向位移)图2图a： 图b：3.桁架仅有轴向位移9.5 单元刚度系数的物理意义1.单元刚度系数的意义 一般地，第 j 个杆端位移分量取单位值1，其它杆端位移为 0 时所引起的第i个杆端力分量的值。例：的物理意义：当第3个杆端位移分量时引起的第5个杆端力分量。对称性 （反力互等定理）3.奇异性（，不存在逆矩阵） 根据式可由杆端位移求解杆端力，且是唯一解。但由杆端力求杆端位移，可能无解，如有解也是非唯一解。 说明：已知6个杆端力分量，（a）无法保证力状态的合法性可能造成无解；（b）无法确定杆的支承条件可能造成非唯一解。9.6 单元坐标转换矩阵的物理意义1.问题的提出单元刚度矩阵单根杆；多根根组成的复杂结构呢？（图1）图1分析（a）从数学的角度理解整体坐标系（xy）与局部坐标系（）的区别； （b）力分量应向整体坐标系转换，图f给出了两种坐标系下力分量之间的数学关系：。同理： 2.公式推导矩阵形式：（1） 同理：（2）其中：为单位坐标转换矩阵。3.T的特性正交矩阵：其逆矩阵等于转置矩阵，即。0时，（单位矩阵）。9.7 整体坐标系单元刚度矩阵1.整体坐标系中的单元刚度矩阵两种坐标系中单元刚度矩阵的转换关系为：单元刚度矩阵的性质：同局部坐标系下。2.实例 例10-1：图1结构，已知单元（1）、（2）在局部坐标系（杆件箭头方向）中的单元矩阵如下（单位：长度m，角度rad，力kN），求各单元在整体坐标系下的刚度矩阵。图1分析：求T求依据图形。解：（1）单元1：0， （2）单元2：90；（3）单元2：120； 注意：图中单元的方向，计算时宜取与整体坐标系相同（转角以逆时针为正）。思考图2的求解。图29.8 位移法建立整体刚度矩阵1. 回顾（1）连续梁的特点：并考虑杆件的轴向变形；一般情况下，结构仅有转角位移。（2）两端固定的梁，在近端有一转角，相应产生杆端弯矩：4i（近端）和2i（远端）。2. 公式推导图1两跨连续梁。图1结点力与结点力偶的关系见表1。表1位移结点力偶 M1M2M314i112i11022i12（4i1+4i2）22i22302i234i23矩阵形式：记为：整体刚度方程其中：整体刚度矩阵注意：红、绿框中分别是单元（1）和（2）的单元刚度矩阵。3.单元集成法的概念基本思路：考虑单元独立贡献，再叠加。如图1。图1基本过程：局部单元刚度矩阵单元贡献矩阵整体单元刚度矩阵；4.单元定位向量的概念总码（整体分析）：结点位移在结构中统一编码，如1，2等；局部编码（单元分析）：单元结点位移，如（1），（2）等。单元定位向量（）：单元结点位移的总码组成的向量。具体见图2和表1。图2表10-1单元局部码总码单元定位向量（）（1）1（2）2（1）2（2）3任意单元（i）r（j）s5.实例分析 求图10-11连续梁的整体刚度矩阵。图10-11分析：固定端总码为0；总码的最后编号为n，则整体刚度矩阵为nn阶。解：见表10-3单元单元刚度矩阵定位向量单元贡献矩阵整体刚度矩阵6.整体刚度矩阵的性质 Kij第 j 个杆端位移分量取单位值1，其它杆端位移为 0 时所引起的第i个杆端力分量的值。K是对称矩阵、可逆矩阵、和带状稀疏矩阵（非零元素集中在主对角线两侧的局部带宽之内）。9.9 刚架整体刚度矩阵刚结点1问题的引出（a）连续梁建立方法：单元刚度矩阵通过单元定位向量形成整体刚度矩阵。（b）刚架与连续梁的区别：考虑轴向变形（有水平竖向位移）。（c）必须采用整体坐标系，统一各杆的方向。2建立过程：编码单元定位向量单元集成编码原则：已知位移分量为零的，总码为零；位移分量不为零的，总码（每个结点）按顺序：水平位移竖向位移转角位移；其方向由整体坐标系的方向确定。一般结点顺序可按：刚结点支座；左右；上下。注意处理支座情况和刚结点。见图1。图1实例分析：图1中a）和b）的单元单位向量见表1，整体刚度矩阵的集成过程见表2a和b。 表1表10-5（图a）表10-5（图b）与刚性结点的区别铰结点（两杆相交）编号有4个，两个线位移（水平和竖向）和两个铰位移，即两杆的线位移编号相同，角位移编号不同