2019年高考数学 考点一遍过 专题16 正、余弦定理及解三角形 文.doc

考点16 正、余弦定理及解三角形1正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、正弦定理1正弦定理在中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理对任意三角形都成立2常见变形（1） （2） （3） （4）正弦定理的推广：，其中为的外接圆的半径.3解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角4在中，已知，和时，三角形解的情况二、余弦定理1余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：.3解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角4利用余弦定理解三角形的步骤三、解三角形的实际应用1三角形的面积公式设的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.（1） (h为BC边上的高)；（2）；（3）(为三角形的内切圆半径)2三角形的高的公式hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA3测量中的术语（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)（3）方向角相对于某一正方向的水平角.北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图)；北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；南偏西等其他方向角类似（4）坡角与坡度坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角)；坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比4解三角形实际应用题的步骤考向一 利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用常见结论：（1）三角形的内角和定理：在中，其变式有：，等（2）三角形中的三角函数关系：； ； .典例1 在中，内角所对的边分别为，若，则的值为A1 BC D【答案】D又，由余弦定理可得，即，所以.故选D典例2 已知的内角的对边分别为,且.(1)求；(2)若,线段的垂直平分线交于点,求的长.【解析】(1)因为 ,所以.由余弦定理得 ，又，所以.（2）由（1）知,根据余弦定理可得，所以.由正弦定理得，即，解得.从而.设的中垂线交于点,因为在中, ，所以，因为为线段的中垂线，所以.1在中，,分别是角，的对边，且，则=A BC D2在中，边上一点满足，.（1）若，求边的长；（2）若，求.考向二 三角形形状的判断利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.典例3 在中，角所对的边分别是，满足，且成等比数列.（1）求角的大小；（2）若,试判断三角形的形状.【解析】（1）已知,，,又,，即，而成等比数列，所以不是最大，故为锐角，所以.（2）由,得,利用正弦定理可得,又因为,所以,所以是等边三角形.3在中，分别为角，所对的边，若，则A一定是锐角三角形 B一定是钝角三角形C一定是斜三角形 D一定是直角三角形考向三 与面积、范围有关的问题（1）求三角形面积的方法若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键（2）三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解 典例4 在中，角的对边分别为，且（1）求角；（2）若，求面积的最大值【解析】（1）由已知和正弦定理得，解得【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.典例5 在中，是边上的一点.（1）若，求的长；（2）若，求周长的取值范围.【解析】（1）在中，AD1，所以cosDAC12cosDAC3, 所以cosDAC.由余弦定理得1212217，所以CD. （2）在中，由正弦定理得，.，故周长的取值范围为 . 4在中，内角所对的边分别是，已知.（1）求；（2）当时，求的取值范围5在中，内角，所对的边分别为，且的面积.（1）求；（2）若、成等差数列，的面积为，求.考向四 三角形中的几何计算几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.典例6 如图，在中，为边上一点，且，已知，.（1）若是锐角三角形，求角的大小；（2）若的面积为，求的长.【解析】（1）在中，由正弦定理得，解得，所以或.因为是锐角三角形，所以.又，所以.（2）由题意可得，解得，由余弦定理得，解得，则.所以的长为.6如图，在中，角，的对边分别为，.（1）求角的大小；（2）若，为外一点，求四边形面积的最大值.考向五 解三角形的实际应用解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.典例7 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在处测得山顶在北偏东方向上，匀速向北航行分钟到达处，测得山顶位于北偏东方向上，此时测得山顶的仰角为，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行分钟到达处，问此时山顶位于处的南偏东什么方向？【解析】（1）在中，在中，由正弦定理得，所以，故船的航行速度是每小时千米.（2）在中，由余弦定理得，在中，由正弦定理得,所以山顶位于处南偏东方向.7某新建的信号发射塔的高度为，且设计要求为：29米29.5米.为测量塔高是否符合要求，先取与发射塔底部在同一水平面内的两个观测点，测得， ， 米，并在点处的正上方处观测发射塔顶部的仰角为30，且米，则发射塔高A米 B米C米 D米考向六 三角形中的综合问题1解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.2注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.3正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.典例8 在中，已知，向量，且.（1）求A的值；（2）若点D在边BC上，且，求的面积【解析】（1）由题意知，又，所以，即，即.又，所以，所以，即.典例9 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.（1）若a，b，c成等差数列，证明：sin Asin C2sin(AC)；（2）若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值【解析】（1）因为a，b，c成等差数列，所以ac2b.由正弦定理得sin Asin C2sin B.因为sin Bsin(AC)sin(AC)，所以sin Asin C2sin(AC)（2）因为a，b，c成等比数列，所以b2ac.由余弦定理得cos B，当且仅当ac时等号成立所以cos B的最小值为.8已知函数（）的图象上相邻的最高点间的距离是.（1）求函数的解析式；（2）在锐角中，内角满足，求的取值范围.1在中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a，b3，B60，则A=A45B45或135C135 D60或1202在中，若tanAtanB1，则该三角形一定是 A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D以上都有可能3在中，则角的取值范围是A BC D4中，则边上的高等于A BC D35已知的面积为，则的最小值为A BC D6设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为A2 B4C D17已知的内角的对边分别为，若，则A2 BC D8若的三个内角所对的边分别是，且，则A10 B8C7 D49已知的面积为，三个内角，的对边分别为，若，则A2 B4C D10在中，D为BC边上一点，若是等边三角形，且，则的面积的最大值为 .11如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度_m. 12在中，角，的对边分别为，已知，（1）求；（2）求的值13在中，内角，所对的边分别为，已知向量，且（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的值14如图所示，在中, 点为边上一点，且, 为的中点,.（1）求的长；（2）求的面积.15在中，的对边分别为，且成等差数列（1）求的值；（2）求的范围16已知函数（1）当时，求的值域；（2）在中，若求的面积.1（2017新课标全国文科）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，a=2，c=，则C=ABCD2（2018新课标全国文科）的内角，的对边分别为，若的面积为，则ABCD3（2017新课标全国文科）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60，b=，c=3，则A=_.4（2016上海文科）已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_.5（2018新课标全国文科）的内角的对边分别为，已知，则的面积为_6（2017浙江）已知ABC，AB=AC=4，BC=2点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则BDC的面积是_，cosBDC=_7（2018江苏）在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为 8（2017山东文科）在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,求A和a.9 （2018天津文科）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知bsinA=acos(B)（）求角B的大小；（）设a=2，c=3，求b和sin(2AB)的值变式拓展1【答案】C【解析】，由正弦定理可得，即.由余弦定理可得，整理可得，故选C（2）在中，由正弦定理可得，化简得，即，. 4【解析】（1）由正弦定理可得：，又，所以，则，因为，所以，因为，所以.（2）由正弦定理得，则，所以，因为，所以，所以.5【解析】（1），即，.（2）、成等差数列，两边同时平方得：，又由（1）可知：，由余弦定理得，得，.6【解析】（1）在中，由，得，即，又，即，.（2）在中，.又，为等腰直角三角形，则，又，故当时，四边形的面积有最大值，最大值为.7【答案】A【解析】过点E作，垂足为，则米，在中，由正弦定理得米.在中，米.所以米，符合设计要求.故选A（2）由得，即，则，又，所以.因为是锐角三角形，所以，则，所以，故.考点冲关1【答案】A【解析】a，b3，B60，由正弦定理可得，sinA.又ab，A452【答案】B【解析】由已知条件，得 说明cosA，cosB，cosC中有且只有一个为负因此一定是钝角三角形3【答案】A【解析】因为，所以，所以，又，则必为锐角，故.4【答案】A【解析】设角，所对的边分别为，边上的高为，因为，所以，化简得，解得.又，所以由，得.故选A. 6【答案】D【解析】因为，所以，即，所以，所以，因为，所以由正弦定理可得的外接圆半径为，故选D7【答案】D【解析】是三角形的内角， ，由得，故选D 9【答案】A【解析】的面积为.则由，可得.化简得，即，所以，解得或（舍去）.所以.所以.故选A10【答案】【解析】如图.在中，整理得，当且仅当AD=DC时取等号，的面积，的面积的最大值为11【答案】【解析】依题意，在中，由，得，因为，所以由正弦定理可得，即m.在中，因为，所以，所以m.12【解析】（1）在中，由余弦定理得，解得（2）在中，由得，在中，由正弦定理得，即，又，故，13【解析】（1），由正弦定理，得，即，（2）由三角形的面积公式，得，解得，由余弦定理，得，故14【解析】（1）在中，,由正弦定理,得.（2）由（1）知，依题意得.在中，由余弦定理得,即,即,解得（负值舍去）.故,从而.15【解析】（1）由题意得，由正弦定理得，即，所以 又在中，则或，因为，所以. （2）因为， 所以. .因为，所以， 所以的范围是（2）设中所对的边分别为 .即得又，即即易得 直通高考1【答案】B【解析】由题意得，即，所以由正弦定理得，即，因为ca，所以CA，所以，故选B【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到2【答案】C【解析】由题可知，所以，由余弦定理，得，因为，所以，故选C.3【答案】75【解析】由正弦定理，得，结合可得，则.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就