2018_2019学年高中数学第三章导数及其应用学案新人教A版.docx

第三章 导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课标解读1通过具体的自然现象，认识函数的平均变化率2了解瞬时速度与平均速度的关系，进而了解瞬时变化率与平均变化率的关系，知道瞬时变化率即为导数(难点)3理解并掌握导数的定义，并体会导数的思想及其内涵(重点)1函数yf(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比(3)意义：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢2函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率定义式 实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值3.导数的概念定义式 记法f(x0)或y|xx0实质函数yf(x)在xx0处的导数就是yf(x)在xx0处的瞬时变化率知识点一函数的平均变化率探究1：观察右图，回答下列问题，明确平均变化率的定义(1)图中已知的两点分别是(x1，f(x1)与(x2，f(x2)，在区间x1，x2上，自变量的改变量是x2x1，函数值的改变量是f(x2)f(x1)(2)根据(1)中的内容考虑，此函数在区间x1，x2的平均变化率是什么？提示由图结合(1)可知，此函数在区间x1，x2上的平均变化率为.探究2：据平均变化率的定义及表达式，回答下列问题：(1)表达式中x，y的取值情况是怎样的？提示x是自变量从x1到x2的增量，可以用x1x代替x2，x可以是正数，也可以是负数，但不能为零，y是相应函数值的增量，它可以为正，也可以为负，也可以为零，当f(x)为常数函数时，y0.(2)函数yf(x)从x1到x2的平均变化率的几何意义是什么？提示连接函数图像上对应两点的割线的斜率知识点二物体在某一时刻的平均速度、瞬时速度与函数的瞬时变化率与导数探究1：根据平均速度与瞬时速度的定义探究以下问题：(1)如何计算物体的平均速度？提示一物体的运动方程为ss(t)，则它在t1，t2这个时间段内的平均速度为.(2)如何计算物体的瞬时速度？提示瞬时速度：一物体的运动方程为ss(t)，则它在t0时刻的瞬时速度为 .探究2：根据函数的瞬时变化率与在某点处导数的定义，回答下列问题：(1)瞬时变化率与平均变化率的关系是什么？它们的物理意义分别是什么？提示瞬时变化率是平均变化率在x无限趋近于0时，无限趋近的值；瞬时变化率的物理意义是指物体运动的瞬时速度，平均变化率的物理意义是指物体运动的平均速度(2)瞬时变化率与函数在某点处导数的关系是什么？提示函数在某点处的瞬时变化率就是函数在此点处的导数求函数yf(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率，并求当x02，x0.1时平均变化率的值【自主解答】函数yf(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率为6x03x.当x02，x0.1时，函数y3x22在区间2，2.1上的平均变化率为6230.112.3.规律总结求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量x与函数值的增量y，求平均变化率的主要步骤是：(1)先计算函数值的改变量yf(x1)f(x0)(2)再计算自变量的改变量xx1x0.(3)得平均变化率.1求y2x21在x0到x0x之间的平均变化率，并求x01，x时函数的平均变化率的值解析当自变量从x0变到x0x时，函数的平均变化率为4x02x.当x01，x时，函数的平均变化率的值为4125.(1)函数y在x1处的导数为_(2)如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为yf(t)t33，当t14，t0.01时，求y和比值；求t14时的导数【自主解答】(1)y1， ，所以y|x1.(2)yf(t1t)f(t1)3tt3t1(t)2(t)3，故当t14，t0.01时，y0.481 201，48.120 1. 3t3t1t(t)23t48，故函数yt33在t14处的导数是48，即y|t1448.【答案】(1)(2)见自主解答规律总结1.求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤2瞬时变化率的几种变形形式 f(x0)2根据导数的定义求下列函数的导数(1)求函数yx23在x1处的导数；(2)求函数y在xa(a0)处的导数解析(1)yf(1x)f(1)(1x)23(123)2x(x)2，2x.y|x1 (2x)2.(2)yf(ax)f(a).y|xa .若一物体的运动方程为s(路程单位：m，时间单位：s)求：(1)物体在t3 s到t5 s这段时间内的平均速度；(2)物体在t1 s时的瞬时速度【解析】(1)因为s3522(3322)48，t2，所以物体在t3 s到t5 s这段时间内的平均速度为24(m/s)(2)因为s293(1t)32293(13)23(t)212t，所以3t12，则物体在t1 s时的瞬时速度为s(1) (3t12)12(m/s)规律总结1求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度.(3)求瞬时速度，当t无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度2求(当x无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把x作为一个数来参与运算(2)求出的表达式后，x无限趋近于0就是令x0，求出结果即可3一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？并说明它的意义(重力加速度为9.8 m/s2)解析自由落体的运动公式是sgt2(其中g是重力加速度)，ss(3t)s(3)4.9(3t)24.93229.4t4.9(t)2，29.44.9t.所以v (29.44.9t)29.4(m/s)说明在第3秒附近小球以29.4 m/s的速率下降易错误区(七)导数的概念理解不明已知f(x)在xx0处的导数为4，则 _【解析】 2 2f(x0)248.【答案】8易错防范1本题中x的增量是2x，即(x02x)x02x，而分母为x，两者不同，若忽视这一点，则易得出结论为4的错误答案2在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致，常见的形式还有： f(x0)若函数f(x)在xa的导数为m，那么 的值为_解析 2 2 2m2m4m.答案4m限时40分钟；满分80分一、选择题(每小题5分，共30分)1质点运动规律为s2t25，则在时间(3，3t)中，相应的平均速度等于A6tB12tC122t D12解析122t.答案C2f(x)在xx0处可导，则 A与x0、h有关B仅与x0有关，而与h无关C仅与h有关，而与x0无关D与x0、h均无关解析 f(x0)，因此仅与x0有关答案B3质点M按规律s2t23做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t2 s时的瞬时速度是A2 m/s B6 m/s C4 m/s D8 m/s解析v (82t)8(m/s)答案D4函数yx2在x0到x0x之间的平均变化率为k1，在x0x到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为Ak1k2 Bk10)相切的直线有两条知识点二导函数的概念探究1：据函数在某点处导数的定义，探究以下问题：(1)已知函数yx2，完成下表：x123456f(x)24681012(2)据(1)中的表格，根据函数的定义考虑f(x)是否是关于x的函数？提示是，由函数的定义知，当x取某一个数时，f(x)都有唯一的数与之对应，故f(x)是关于x的函数探究2：根据导函数的概念，回答下列问题：(1)yf(x)x2与yf(x)2x的定义域是否相同？提示相同，均为R.(2)对于一个函数，如何求其导函数？提示求导函数的依据是函数在某点处导数的求法，即可利用yf(x) 求函数的导函数已知曲线yx3，求曲线在点P(3，9)处的切线方程【自主解答】由yx3，得y 3x23xx(x)2x2，y|x3329，即曲线在P(3，9)处的切线的斜率等于9.由直线的点斜式方程可得，所求切线方程为y99(x3)，即9xy180.规律总结1.求曲线上某一点处的切线方程的三个步骤2求过曲线yf(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的六个步骤(1)设切点(x0，f(x0)(2)利用所设切点求斜率kf(x0) .(3)用(x0，f(x0)，P(x1，y1)表示斜率(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k.(5)根据点斜式写出切线方程(6)将切线方程化为一般式1求曲线yf(x)x21过点P(1，0)的切线方程解析设切点为Q(a，a21)，2ax，当x趋于0时，(2ax)趋近于2a，所以，所求切线的斜率为2a.因此2a，解得a1，所求的切线方程为y(22)x(22)或y(22)x(22)(1)已知曲线y的一条切线的斜率为，则切点的坐标为_(2)曲线yx21在点P(x0，y0)处的切线斜率为2，求点P(x0，y0)的坐标【自主解答】(1)因为y，所以y .令，得x1，所以切点的坐标为.(2)设f(x)x21，则x2x0，当x0时，2x0.令2x02，解得x01.所以点P的坐标为(1，2)【答案】(1)(2)见自主解答规律总结曲线切点坐标的求法(1)先设切点坐标(x0，y0)；(2)求导数f(x)；(3)求切线的斜率f(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，求出x0；(5)由于点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求得y0的值，得切点坐标(x0，y0)2已知曲线y2x2a在点P处的切线方程为8xy150，求切点P的坐标和实数a的值解析设切点P的坐标为(x0，y0)，切线斜率为k.由y (4x2x)4x，得ky|xx04x0.根据题意得4x08，x02，分别代入y2x2a和y8x15，得y08a1，得故所求切点为P(2，1)，a7.(1)曲线y和yx2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是_(2)求抛物线C1：yx22x与抛物线C2：yx2的公切线方程【解析】(1)由得所以曲线y和yx2的交点坐标是(1，1)，y的导数为y，所以y|x11，切线方程是yx2，yx2的导数为y2x，y|x12，切线方程为y2x1，两条切线与x轴的交点坐标分别为(2，0)和，故它们与x轴所围成的三角形的面积S1.(2)对yx22x求导，根据导数的定义可得，y2x2，对yx2求导，根据导数的定义可得，y2x，设公切线与抛物线C1：yx22x的切点为(x0，y0)，与抛物线C2：yx2的切点为(x1，y1)，依题意可得方程组 解得x0，y0，所以公切线方程为y，即4x4y10.【答案】(1)(2)见解析规律总结利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切线，切点的坐标是常设的未知量3设函数f(x)x3ax29x1(a0)，若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求a的值解析yf(x0x)f(x0)(x0x)3a(x0x)29(x0x)1(xax9x01)(3x2ax09)x(3x0a)(x)2(x)3，3x2ax09(3x0a)x(x)2.3x2ax09，即f(x0)3x2ax0939.当x0时，f(x0)取最小值9.斜率最小的切线与12xy6平行，该切线斜率为12.912.解得a3.又a0 Bf(x0)0Cf(x)0 Df(x0)不存在解析由y3x5知f(x0)30)f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)exf(x)exf(x)sin xf(x)cos_xf(x) logaxf(x)(a0，且a1)f(x)cos xf(x)sin_xf(x) ln xf(x)3.导数的运算法则和差的导数f(x)g(x)f(x)g(x)积的导数f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)商的导数知识点一几个常用函数的导数探究1：观察函数y2x，y3x，y4x的图像，完成下列问题熟记正比例函数的导数(1)根据导数的几何意义，y2x，y3x，y4x的导数分别是什么？提示y2x，y3x，y4x的导数分别是y2，y3，y4.(2)在这三个函数中，谁增长得最快，谁增长得最慢？提示y4x增长得最快，y2x增长得最慢探究2：根据函数yx2与y的图像，完成下列问题，体会图像的变化与导数之间的关系明确导数正负与函数单调性的关系(1)在(0，)上，函数yx2是增函数，y是减函数在(，0)上，函数yx2是减函数，y是减函数(填“增函数”或“减函数”)(2)在问题(1)的基础上考虑，函数yx2的导数的正负与函数的增减性有关吗？y呢？提示有关因为yx2的导数是y2x，当x0时，y0，函数yx2是增函数，当x0时，y0单调递增f(x)0，则f(x)在该区间上单调递增，反过来也成立吗？提示不一定成立例如，f(x)x3在R上为增函数，但f(0)0，即f(x)0是f(x)在该区间上单调递增的充分不必要条件(2)利用导数求函数单调区间时，能否忽视定义域？提示首先需要确定函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集.已知函数yxf(x)的图像如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下列四个图像中为yf(x)的大致图像的是【自主解答】由题图知：当x1时，xf(x)0，函数yf(x)单调递增；当1x0，f(x)0，函数yf(x)单调递减；当0x1时，xf(x)0，f(x)1时，xf(x)0，f(x)0，yf(x)单调递增【答案】C规律总结研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素：对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致1设f(x)是函数f(x)的导数，yf(x)的图像如图所示，则yf(x)的图像最有可能是解析由导函数图像知：当x(，1)时，f(x)0，故f(x)在(，1)上单调递减；当x(1，1)时，f(x)0，故f(x)在(1，1)上单调递增；当x(1，)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上单调递减故选B.答案B求下列函数的