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第二章数列,2.2等差数列,观察:这些数列有什么共同特点?,(1)第23到第28届奥运会举行的年份依次为1984,1988,1992,1996,2000,2004(2)某剧场前10排的座位数分别是:38,40,42,44,46,48,50,52,54,56(3)3,0,-3,-6,-9,-12,(4)2,4,6,8,10(5)1,1,1,1,1,1,从第二项起,第一项与前一项的差都是同一个常数.,等差数列的定义,一般地,如果一个数列an,从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母d表示。,定义的符号表示是:an-an-1=d(n2,nN),这就是数列的递推公式。,(1)从0开始,将5的倍数按从小到大的顺序排列,组成的数列为:,(2)在2000年悉尼奥运会上,女子举重被正式列为比赛项目,该项目共设置了7个级别,其中较轻的4个级别体重(单位:kg),组成数列:48,53,58,63.,0,5,10,15,20,25,.,(3)水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为18m,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m.那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位(单位m)组成的数列为:,18,15.5,13,10.5,8,5.5.,(4)我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本息计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是:本利和本金(1利率存期).按活期存入10000元钱,年利率是0.72%,那么按照单利,5年内各年末的本利和(单位:元)组成的数列为:,10072,10144,10216,10288,10360.,请你写出这些数列的公差,3、常数列a,a,a,是否为等差数列?若是,则公差是多少?若不是,说明理由,公差d=0,4、数列0,1,0,1,0,1是否为等差数列?若是,则公差是多少?若不是,说明理由,2、若将数列中各项的次序作一次颠倒所得的数列29,22,15,8,1;是否为等差数列?若是,是否与原数列相同?公差是多少?若不是,说明理由,公差d=7,不是,公差d=7,1、已知数列1,8,15,22,29;,在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列:,(1)2,(),4(2)-12,(),0,3,-6,如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项。,等差中项,(3),(),通项公式的推导一:,已知等差数列an的首项是a1,公差是d,a2-a1=d,a2=a1+d,a3-a2=d,a3=a2+d,=(a1+d)+d,=a1+2d,a4-a3=d,an+1an=d,a4=a3+d,=(a1+2d)+d,=a1+3d,a5呢?,a9呢?,由此得到,an=,a1+(n-1)d,nN+,d是常数,通项公式的推导二:,a2-a1=d,a3-a2=d,an-an-1=d,a3-a2=d,+),an-a1=(n-1)d,an=a1+(n-1)d,这个方法我们称之为累加法,或者叠加法。,总之,已知等差数列是的首项为a1,公差为d,则等差数列的通项公式为:,例3:已知等差数列的首项a1=3,公差d=2,求它的通项公式an。,分析:知道a1,d,求an;代入通项公式。,解:a1=3,d=2an=a1+(n-1)d,等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d,=3+(n-1)2,=2n+1,典例展示,例4:(1)求等差数列8,5,2,的第20项。,解:,(2)等差数列-5,-9,-13,的第几项是401?,解:,因此,,解得,1.求等差数列3,7,11,的第4,7,10项;,2.100是不是等差数列2,9,16,中的项?,3.-20是不是等差数列0,-,-7中的项;,变式1:,例5:在等差数列中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.,解:由题意可知,这是一个以和为未知数的二元一次方程组,解这个方程组,得,即这个等差数列的首项是-,公差是.,1.求基本量a1和d:根据已知条件列方程,由此解出a1和d,再代入通项公式。,2.像这样根据已知量和未知量之间的关系,列出方程求解的思想方法,称方程思想。这是数学中的常用思想方法之一。,求通项公式的关键步骤:,变式2:(1)求等差数列9,5,1,的第10项;,an=a1+(n-1)d9(n-1)(4)134n.,当n10时,,所以,等差数列an的首项a11,公差d4.,(2)已知等差数列an,an4n3,求首项a1和公差d.,解:(1)由a19,d594,得,a10=1341027.,(2)由an4n3知,a14131且da2a1(423)14,an=a1+(n-1)d有,变式3:已知等差数列an中,a520,a2035,试求出数列的通项公式.,故数列an的通项公式为an16(n1)(1)15n.,解:由等差数列的通项
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