毕业设计（论文）-Klein-Gordon振子的Wigner函数及其非对易特性.doc

题 目 Klein-Gordon振子的Wigner函数及其非对易特性 学生姓名 学号 所在学院 物理与电信工程学院 专业班级 物理学1201班 指导教师 完成地点 陕西理工学院 2016 年 6 月 5日陕西理工学院毕业论文Klein-Gordon振子的Wigner函数及其非对易特性 （陕西理工学院物理与电信工程学院物理学专业1201班，陕西汉中，723001）指导老师：摘要 Wigner函数是一个准概率分布函数，它在理论研究和实际应用两个方面都具有重要意义，特别是在量子光学和核物理的研究中更是如此。本文首先回顾了Wigner函数的性质，介绍了Klein-Gordon振子的波函数和能级。然后从Bopp变换和Moyal-Weyl乘法出发求解了对易空间和非对易空间中Klein-Gordon振子的Wigner函数，并由此给出了其对应的能级。最后值得指出的是本文所给出的非对易空间中Klein-Gordon振子的Wigner函数和能级，在非对易参数为零的情况下能够回到对易空间的结果。关键词 非对易空间； Moyal-Weyl乘法；Wigner函数； Klein-Gordon振子引言量子力学是关于自然界最基本的理论，它在揭示微观世界的运动规律，其正确性已被越来越多的实践所证实，越来越多的人开始投入到了量子力学的应用研究中。在原子和分子的尺度下，空间是对易的，即。但在近年来的研究探索中，发现空间出现了非对易性。在研究D膜理论的低能效应的推动下，非对易空间问题的研究在量子物理学中引起了高度的关注1。1932年，物理学家Wigner首次引入了Wigner函数，它作为一个准概率分布函数，是相空间密度矩阵的特殊表示2。另外，它在量子测量和核物理以及信号处理方面应用广泛，具有重要价值3。由此可见，在物理学中，Wigner函数非常重要。尤其是在某些物理问题中，它具有简单且物理内涵丰富的突出特点，更是体现了其在物理学界研究过程中的重要性。在超弦理论中由于出现了非交换几何，使得人们能够运用非交换几何的概念来研究D-膜动力学和对偶性问题 4-5。1975年，Moyal从量子力学理论的内部逻辑出发，发现了这个具有特殊意义的量子化方法6，它的基本方程是Moyal星本征值方程7-9。尤其重要的是最近人们研究发现，Wigner函数所要满足遵从的星本征值方程与超弦理论中非交换几何的Moyal-Weyl乘法在一定意义上是相通的，由此也引起了人们研究Wigner函数的极大兴趣10-12。显而易见，非对易空间在物理学理论研究过程中其重要性更是不可替代的。这也是进一步研究Wigner函数的重要原因。本文从Moyal-Weyl乘法和Bopp变换出发，利用非对易空间量子力学理论的代数关系，在考虑了坐标坐标非对易性的情况下，给出了非对易空间中Klein-Gordon振子的波函数；进而讨论了对易空间与非对易空间中Klein-Gordon振子的Wigner函数以及能级情况。其主要内容包括Wigner函数特性与Moyal方程，Klein-Gordon振子的能级和波函数，对易空间中Klein-Gordon振子Wigner函数和能级以及非对易空间中K-G振子的Wigner函数及能级。1 Wigner函数特性与Moyal方程Wigner函数是一个准概率分布函数，是最常用的量子相空间分布函数之一，是一个非常好的半经典近似，在物理理论测量问题中应用非常广泛。在自由度是n的相空间的情况中，Wigner函数的普遍形式可以定义为13 （1.1）一般情况之下，我们只考虑其在二维空间中的研究意义。它在二维中可以表示为 （1.2）从经典力学过渡到量子力学的过程中，它有三种逻辑自洽的量子化方法。第一种方法是上一个世纪20年代由Heisenberg、Schrodinger、Dirac等人提出的在Hilbert函数空间进行计算算符正规化；第二种方法是由Feynman提出并且建立起来的路径积分的思维，该方法的理论自洽性以及和关于它理论的相容性目前已经由Dirac给出了证明；第三种方法是基于Wigner函数的准概率分布函数的Moyal星乘量子化，该量子化方法，在研究过程中，并不被人们广泛熟知，但在研究许多物理问题中他的确是一种行之有效的方法。在该量子化方法中，Wigner函数的能量本征方程包含了星乘法，它可以由星本征值方程14给出 （1.3）其中： （1.4） 这里的对应经典哈密顿量。在非对易交换中，可以通过一个变换，利用来实现星乘向普通乘法的转变，即星本征值方程可以写为 (1.5)二维空间范畴中，在求解非对易交换空间中，变换其在量子力学研究问题中具有十分重要的应用。变换可以表示为 （1.6）而且，同时我们也能够在相空间中建立和求解Moyal星本征方程。对于一般对应系统所给定的Hamiltonian 物理量，Wigner函数的动力学演化方程可以表示为 （1.7）即Moyal方程。从经典力学到量子力学的演变过程中，已经了解了Wigner函数，接下来回顾一下有关Wigner函数的重要性质15。（1）是相空间中的实函数。 （1.8）（2）具有准概率分布的含义，即 （1.9） （1.10）其中和都是大家在动量空间和坐标空间中所熟知的粒子概率分布密度。（3）对于只与坐标有关的力学量（例如势能）平均值，可用计算，即 （1.11）同理，对于只与动量有关的力学量（例如动能），平均值也可类似求解， （1.12）（4）一般而言，即可以取正值，同时也可取负值，因此并不能够像经典物理理论中那样，把看成粒子在同一时刻的情况下，坐标取、动量取p的概率密度，因此这种描述是违反不确定关系的。但可以证明，对于准经典态，有 （1.13）鉴于Wigner函数具有准概率分布函数的性质，而不是一个严格的概率分布函数，故其值可正可负。Wigner函数考虑准经典态的情况下，其Wigner函数值却总是非负的，而人们研究发现Wigner函数取负值则是量子态具有非经典特性显著的直观反应。因此，重构Wigner函数并且对Wigner函数的正负性进行考查探讨，那么就成为了判断它所对应的量子态是否具有非经典特性的直接判据之一。2 Klein-Gordon振子的能级和波函数Klein-Gordon振子可以通过以下的方程所体现的相对论量子力学体系16-17来描述，即 （2.1）在非对易空间交换中，可以依据星乘Moyal-Weyl的定义，做一个Bopp变换，在该变换情况之下，非对易空间中K-G振子的波动方程为 （2.2）在二维空间中，将（2.2）式展开得 （2.3）将式（1.6）代入式（2.3），有 （2.4）将式（2.4）展开得 （2.5） 忽略掉含以上的高阶小量，即 （2.6） 简单地做一下代换，令=, （2.7） 于是，式（2.6）就变成了 （2.8） 因此，上述所描述的方程就是非对易空间中Klein-Gordon振子所求解的本征值方程。对于算符，定义 （2.9）容易得证，它们满足如下对易关系 ，。 （2.10） 令 （2.11）显然,=1,2满足Bose子产生与消灭的对易关系：其相应的粒子数算符为。因此 （2.12）而在粒子数表象中，的本征态为 （2.13）的共同本征态矢量为 （2.14）将式（2.12）、（2.14）代入式（2.8），有 （2.15）再由式（2.7）可得，非对易空间中Klein-Gordon振子所求解的能级可以表示： （2.16）若选用坐标表象，令。由 （2.17）及式（2.9）、（2.11）可得 （2.18） 在坐标表象中，分别解微分方程 （2.19）可得 （2.20） 因此，基态波函数为 （2.21） 分析可知，利用式（2.9）、（2.11）可以得到任意能级的波函数 （2.22）由此可知，上述方程就是量子数为时的Klein-Gordon振子的波函数。3 对易空间中Klein-Gordon振子的能级和Wigner函数非对易几何交换中Klein-Gordon振子所要描述的方程可以被表示为 (3.1) 在二维情况下上面的方程可以写成 （3.2）为方便计算，令， (3.3) 因此，方程（3.2）可以写为 (3.4)现在我们研究方程（3.4）相应的本征值问题。由星算子的简单应用，我们可以得到 （3.5） （3.6）因此， （3.7） （3.8）由式（3.7）、（3.8）可得： （3.9） （3.10） 为方便计算，我们引入了两个变量，令 （3.11）所以， （3.12）因此，式（3.10）可以写为 (3.13) 令,结合上式，我们可以得到 （3.14） （3.15）现在定义为 （3.16）由（3.14）式，我们可以得到 （3.17）由上式方程的结构，我们就能知道其方程的结果是拉盖尔多项式 （3.18）因此，当相对应的Wigner函数为 （3.19） 同理可得， （3.20） 所以， （3.21）将式（3.11）代入上式，则我们可以得到二维Klein-Gordon振子的Wigner函数，即 （3.22）上述描述的方程就是Klein-Gordon振子在对易空间中所求解的Wigner函数。Klein-Gordon振子可以通过以下的方程所体现的相对论量子力学体系被描述，即 （3.23）在非对易空间交换中，可以依据星乘Moyal-Weyl的定义，做一个Bopp变换，在该变换情况之下，对易空间中K-G振子的波动方程为 （3.24）在二维空间中，将（3.24）式展开得， （3.25）将式（1.6）代入式（3.25），有（3.26） 将式（3.26）展开得：（3.27）忽略掉含以上的高阶小量，即： （3.28）简单地做一下代换，令 （3.29） 于是，式（3.28）就变成了 （3.30）因此，上述所描述的方程就是对易空间中Klein-Gordon振子所求解的本征值方程。对于算符，定义 （3.31）显而易见，它们满足如下对易关系， （3.32）令 （3.33）容易验证,=1,2满足Bose子产生与消灭的对易关系：其相应的粒子数算符为。因此 （3.34）而在粒子数表象中，的本征态为 （3.35） 的共同本征态矢量为 （3.36）将式（3.34）、（3.36）代入式（3.30），有 （3.37）再由式（3.29）可得，非对易空间中Klein-Gordon振子所求解的能级可以表示 （3.38） 4 非对易空间中Klein-Gordon振子的Wigner函数和能级Klein-Gordon振子可以通过下面的方程来表示，即 （4.1）在非对易空间中，可以依据星乘Moyal-Weyl的定义，做一个Bopp变换，在该变换的情况之下，非对易空间中Klein-Gordon振子的波动方程为 （4.2）在二维空间中，将（4.2）式展开得 （4.3）将式（1.6）代入式（4.3），有（4.4）将式（4.4）展开得 （4.5）忽略掉含以上的高阶小量，即： （4.6）简单地做一下代换，令=, （4.7）于是，式（4.6）就变成了 （4.8）因此，上述所描述的方程就是非对易空间中Klein-Gordon振子所求解的本征值方程。对于算符，定义 （4.9）显而易见，它们满足如下对易关系，。 （4.10）令 （4.11）显然,=1,2满足Bose子产生与消灭的对易关系：其相应的粒子数算符为。因此 （4.12）而在粒子数表象中，的本征态为 （4.13） 的共同本征态矢量为 （4.14）将式（4.12）、（4.14）代入式（4.8），有 （4.15）再由式（4.7）可得，非对易空间中Klein-Gordon振子的能级可以表示为 （4.16）物理理论研究过程中，一般情况下，人们仅仅考虑非对易空间中研究二维情况下的魏格纳函数。而人们可以通过坐标和动量来描述非对易交换，它们满足对易关系， ， i,j=1,2,.,n, （4.17） 该处的取实值，且是非对称的。若，我们可以得到标准的对易关系。即 ， ， i,j=1,2,.,n, （4.18）在非对易空间中的薛定谔方程为 （4.19）这里的Moyal-Weyl算子重新定义为 （4.20）在接下来的运算过程中，我们通过星本征方程来求解非对易空间中的Wigner函数， （4.21）通过代用星算子来解决薛定谔方程，我们用Bopp平移法，用一般算子代替在薛定谔方程中的星算子，于是上述方程可以写为 （4.22）所以，上式可以写成 （4.23）通过把上述方程与方程式（1.3）比较可以得到 （4.24） 所以， （4.25） 将方程（4.17）代入上式，忽略项，我们可以得到 (4.26)因此，上述描述的方程就是非对易空间中Klein-Gordon振子所求解的Wigner函数。5 结论本文通过回顾Wigner函数的定义和性质，讨论了非对易空间中K-G振子的Wigner函数和能级。利用Bopp变换，把Moyal-Weyl乘法转化成为星本征值方程的求解问题，并且给出了相应方程的物理结果。采用坐标变换的方法，把非对易空间中求解星本征值方程的问题，进行了一定的简化，给出了相应的Wigner函数和能级。通过Bopp变换也得到了该系统在不同条件下的结果。在所研究的结果中，在非对易参数为零（）的情况下，非对易空间中的Wigner函数和能级回到了对易空间的情况。目前，关于非对易相空间中量子效应的研究也是一个重要的课题，关于非对易相空间中Wigner函数和能级的研究将在我们后面的工作中研究讨论。参 考 文 献1N Seiberg,E Witten. 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