【解析版】河北省衡水中学2013年高考数学六模试卷(理科).doc

2013年河北省衡水中学高考数学六模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=x|52x13，xR，B=x|x（x8）0，xZ，则AB=（）A（0，2）B0，2C0，2D0，1，2考点：交集及其运算专题：计算题分析：化简集合A=x|2x2，xR，B=0，1，2，3，4，5，6，7，8，根据两个集合的交集的定义求出AB解答：解：集合A=x|42x4，xR=x|2x2，xR，B=x|x（x8）0，xZ=x|0x8，xZ= 0，1，2，3，4，5，6，7，8，AB=x|0，1，2，故选D点评：本题主要考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题2（5分）如果复数是实数，则实数m=（）A1B1CD考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：把给出的复数分子分母同时乘以1+mi，化为a+bi（a，bR）的形式，由虚部等于0可求m的值解答：解：=是实数，则1+m3=0，所以m=1故选A点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题3（5分）焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）ABCD考点：双曲线的简单性质专题：计算题分析：设所求的双曲线方程是 ，由 焦点（0，6）在y 轴上，知 k0，故双曲线方程是 ，据 c2=36 求出 k值，即得所求的双曲线方程解答：解：由题意知，可设所求的双曲线方程是 ，焦点（0，6）在y 轴上，k0，所求的双曲线方程是 ，由k+（2k）=c2=36，k=12，故所求的双曲线方程是 ，故选 B点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用4（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+sinB=，则角A的大小为（）A60B30C150D45考点：正弦定理；二倍角的正弦专题：计算题；解三角形分析：由sinB+sinB=，平方可求sin2B，进而可求B，然后利用正弦定理可求sinA，进而可求A解答：解：由sinB+sinB=，可得1+2sinBcosB=2即sin2B=1因为0B，所以B=45，又因为a=，b=2，所以在ABC中，由正弦定理得：，解得sinA=，又ab，所以AB=45，所以A=30故选B点评：本题主要考查了同角平方关系及正弦定理在求三角形中的应用，解题时要注意大边对大角的应用，不要产生A角的多解5（5分）（2012烟台二模）如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x2图象下方的点构成的区域在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（）ABCD考点：几何概型专题：常规题型；计算题分析：欲求图象恒在x轴上方的概率，则可建立关于a，b的直角坐标系，画出关于a和b的平面区域，再根据几何概型概率公式结合定积分求面积的方法易求解解答：解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S1=，“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为，则质点落在区域M内的概率是=故选C点评：本题综合考查了二次函数的图象，几何概型，及定积分在求面积中的应用，考查计算能力与转化思想属于基础题6（5分）利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（）A0B1C2D3考点：循环结构专题：图表型分析：题目先给循环变量和点的坐标赋值，打印一次后执行运算x=x+1，y=y1，i=i1，然后判断i与0的关系满足条件继续执行，不满足条件算法结束解答：解：首先给循环变量i赋值3，给点的横纵坐标x、y赋值2和6，打印点（2，6），执行x=2+1=1，y=61=5，i=31=2，判断20；打印点（1，5），执行x=1+1=0，y=51=4，i=21=1，判断10；打印点（0，4），执行x=0+1=1，y=41=3，i=11=0，判断0=0；不满足条件，算法结束，所以点落在坐标轴上的个数是1个故选B点评：本题主要考查了循环结构，当满足条件，执行循环，不满足条件算法结束，属于基础题7（5分）在ABC中，点P在AM上且满足，则（+）等于（）ABCD考点：向量加减混合运算及其几何意义专题：平面向量及应用分析：易得M是BC的中点，P是三角形ABC的重心，进而得（+）=，由数量积的定义可得答案解答：解：由题意易知：M是BC的中点，P是三角形ABC的重心，因为，所以，所以（+）=故选D点评：本题考查向量加减混合运算及几何意义，属基础题8（5分）函数f（x）=sin（x+）（xR）的部分图象如图所示，如果，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）ABCD1考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的对称性专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可解答：解：由图知，T=2=，=2，因为函数的图象经过（），0=sin（+），所以=，所以故选C点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力9（5分）（2007江西）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A点H是A1BD的垂心BAH垂直平面CB1D1CAH的延长线经过点C1D直线AH和BB1所成角为45考点：空间中直线与直线之间的位置关系分析：如上图，正方体的体对角线AC1有以下性质：AC1平面A1BD，AC1平面CB1D1；AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；AC1=AB等（注：对正方体要视为一种基本图形来看待）解答：解：因为三棱锥AA1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确；易证面A1BD面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B正确；连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确；故选D点评：本题主要考查正方体体对角线的性质10（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A（0，）B（）C（0，）D（，1）考点：正弦定理；椭圆的简单性质专题：压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：由“”的结构特征，联想到在PF1F2中运用由正弦定理得：两者结合起来，可得到，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex0）=c（aex0）解出x0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解要注意椭圆离心率的范围解答：解：在PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：aPF1=cPF2设点P（x0，y0）由焦点半径公式，得：PF1=a+ex0，PF2=aex0则a（a+ex0）=c（aex0）解得：x0=由椭圆的几何性质知：x0a则a，整理得e2+2e10，解得：e1或e1，又e（0，1），故椭圆的离心率：e（1，1），故选D点评：本题主要考查椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围11（5分）函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x22x）+f（2yy2）0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1x4时，的取值范围为（）A12，+B0，3C3，12D0，12考点：简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算专题：计算题；压轴题；数形结合分析：判断函数的奇偶性，推出不等式，利用约束条件画出可行域，然后求解数量积的范围即可解答： 解：函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，所以f（x）为 奇函数f（x22x）f（2y+y2）0，x22x2y+y2，即，画出可行域如图，可得=x+2y0，12故选D点评：本题考查函数的奇偶性，线性规划的应用，向量的数量积的知识，是综合题，考查数形结合与计算能力12（5分）（2012开封一模）已知函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为Sn，则S10=（）AB291C45D55考点：数列与函数的综合；函数的零点专题：计算题；压轴题分析：函数y=f（x）与y=x在（0，1，（1，2，（2，3，（3，4，（n，n+1上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（n+1，n+1）即方程f（x）x=0在（2，3，（3，4，（n，n+1上的根依次为3，4，n+1方程f（x）x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，可得数列通项公式解答：解：当0x1时，有1x10，则f（x）=f（x1）+1=2x1，当1x2时，有0x11，则f（x）=f（x1）+1=2x2+1，当2x3时，有1x12，则f（x）=f（x1）+1=2x3+2，当3x4时，有2x13，则f（x）=f（x1）+1=2x4+3，以此类推，当nxn+1（其中nN）时，则f（x）=f（x1）+1=2xn1+n，所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点然后：将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x1和y=x的图象，取x0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）即当x0时，方程f（x）x=0有且仅有一个根x=0取中函数f（x）=2x1和y=x图象1x0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x1和y=x在0x1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）即当0x1时，方程f（x）x=0有且仅有一个根x=1取中函数f（x）=2x1和y=x在0x1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x2+1和y=x在1x2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）即当1x2时，方程f（x）x=0有且仅有一个根x=2以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3，（3，4，（n，n+1上的交点依次为（3，3），（4，4），（n+1，n+1）即方程f（x）x=0在（2，3，（3，4，（n，n+1上的根依次为3，4，n+1综上所述方程f（x）x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，其通项公式为：an=n1，前n项的和为 Sn=，S10=45，故选C点评：本题考查了数列递推公式的灵活运用，解题时要注意分类讨论思想和归纳总结；本题属于较难的题目，要细心解答二填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13（5分）直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+1相切于点（2，3），则b的值为：15考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题分析：先根据曲线y=x3+ax+1过点（2，3）求出a的值，然后求出x=2处的导数求出k的值，根据切线过点（2，3）求出b即可解答：解：y=x3+ax+1过点（2，3），a=3，y=3x23，k=y|x=2=343=9，b=ykx=392=15，故答案为：15点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率等有关基础知识，考查运算求解能力，属于基础题14（5分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为4考点：球内接多面体；由三视图还原实物图专题：计算题；压轴题；空间位置关系与距离分析：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论解答：解：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为2，半径为三棱锥的外接球体积为=4故答案为：4点评：本题考查三视图，几何体的外接球的体积，考查空间想象能力，计算能力，是中档题15（5分）（2013崇明县二模）某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种类为600考点：排列、组合及简单计数问题专题：计算题分析：根据题意，分2种情况讨论，只有甲乙其中一人参加，甲乙两人都参加，再由加法原理计算可得答案解答：解：根据题意，分2种情况讨论，若甲乙其中一人参加，有=480种情况；若甲乙两人都参加，有=240种情况，其中甲乙相邻的有=120种情况；则不同的发言顺序种数480+240120=600种，故答案为：600点评：本题考查排列、组合知识，考查计数原理，利用加法原理，正确分类是关键16（5分）（2010连云港二模）设a1，a2，an是各项不为零的n（n4）项等差数列，且公差d0若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为（4，4），（4，1）考点：等比数列的性质；集合的表示法；等差数列的性质专题：综合题；压轴题分析：设出数列的公差d，列举出数列的各项，讨论从第一项开始删去，由得到的数列为等比数列，利用等比数列的性质，列出关于d与首项的方程，求出方程的解即可得到d的值，根据d不为0，得到满足题意的d的值，即可求出满足题意的所有数对，组成集合的形式即可解答：解：设数列an的公差为d，则各项分别为：a1，a1+d，a1+2d，a1+（n1）d，且a10，d0，假设去掉第一项，则有（a1+d）（a1+3d）=（a1+2d）2，解得d=0，不合题意；去掉第二项，有a1（a1+3d）=（a1+2d）2，化简得：4d2+a1d=0即d（4d+a1）=0，解得d=，因为数列的各项不为零，所以数列不会出现第五项（a1+4d=0），所以数对=（4，4）；去掉第三项，有a1（a1+3d）=（a1+d）2，化简得：d2a1d=0即d（da1）=0，解得d=a1则此数列为：a，2a，3a，4a，此数列仍然不会出现第五项，因为出现第五项，数列不为等比数列，所以数对=（4，1）；去掉第四项时，有a1（a1+2d）=（a1+d）2，化简得：d=0，不合题意；当去掉第五项或更远的项时，必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况，即d=0，不合题意所以满足题意的数对有两个，组成的集合为（4，4），（4，1）故答案为：（4，4），（4，1）点评：此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道中档题学生做题时应时刻注意公差d不为0和各项不为0的条件三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）（2010茂名一模）在ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C所对应的三边，已知b2+c2=a2+bc（1）求角A的大小；（2）若，试判断ABC的形状考点：余弦定理；同角三角函数基本关系的运用专题：综合题；转化思想分析：（1）将b2+c2=a2+bcb2+c2a2=bc，由同性结合余弦定理知cosA=，可求出A的大小；（2）用半角公式对进行变形，其可变为cosB+cosC=1，又由（1）的结论知，A=，故B+C=，与cosB+cosC=1联立可求得B，C的值，由角判断ABC的形状解答：解：（1）在ABC中，b2+c2=a2+bc，b2+c2a2=bc，cosA=，又A是三角形的内角，故A=（2），1cosB+1cosC=1cosB+cosC=1，由（1）的结论知，A=，故B+C=cosB+cos（B）=1，即cosB+coscosB+sinsinB=1，即sin（B+）=1，又0B，B+B+=B=，C=故ABC是等边三角形点评：本题考点是三角形中的余弦定理，考查余弦定理与三角恒等变换公式，是解三角形中综合性较强的一道题18（12分）现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对楼市“楼市限购令”赞成人数如下表月收入（单位百元）15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75）频数510151055赞成人数4812521（）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成a=c=不赞成b=d=合计（）若对在15，25），25，35）的被调查中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为，求随机变量的分布列及数学期望参考公式：，其中n=a+b+c+d参考值表：P（K2k）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828考点：独立性检验；离散型随机变量的期望与方差专题：概率与统计分析：（）根据数据统计，可得22列联表，利用公式计算K2，与临界值比较，即可得到结论；（）确定所有可能取值，计算相应的概率，即可得到的分布列与期望值解答：解：（）22列联表月收入不低于55百元人数月收入低于55百元人数合计赞成a=3c=2932不赞成b=7d=1118合计104050没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异（6分）（）所有可能取值有0，1，2，3，P（=0）=P（=1）=+=P（=2）=+=P（=3）=，所以的分布列是0123P所以的期望值是E=0+1+2+3= （12分）点评：本题考查概率与统计知识，考查独立性检验的运用，考查离散型随机变量的分布列与期望，正确计算概率是关键19（12分）（2013青岛一模）如图，几何体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，BAD=60，AB=a，面B1C1D1面ABCD，BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，且，E为CC1的中点，F为AB的中点（）求证：DB1E为等腰直角三角形；（）求二面角B1DEF的余弦值考点：二面角的平面角及求法；三角形的形状判断专题：空间角分析：（）由已知条件，在直角三角形DBB1，B1C1E，DCE中分别求出DB1，B1E，DE的长度，由边的关系能够证出DB1E为等腰直角三角形；（）取DB1的中点H，因为O，H分别为DB，DB1的中点，所以OHBB1，以OA，OB，OH分别为x，y，z轴建立坐标系，求出两个平面DB1E和DFE的法向量，根据二面角与其法向量所成角的关系求二面角B1DEF的余弦值解答：（I）证明：连接BD，交AC于O，因为四边形ABCD为菱形，BAD=60，所以BD=a因为BB1、CC1都垂直于面ABCD，BB1CC1，又面B1C1D1面ABCD，BCB1C1所以四边形BCC1B1为平行四边形，则B1C1=BC=a因为BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，则，所以所以DB1E为等腰直角三角形； （II）解：取DB1的中点H，因为O，H分别为DB，DB1的中点，所以OHBB1以OA，OB，OH分别为x，y，z轴建立坐标系，则所以设面DB1E的法向量为，则，即且令z1=1，则设面DFE的法向量为，则即且令x2=1，则则=，则二面角B1DEF的余弦值为点评：本题考查了三角形形状的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了平面法向量的求法，利用两个平面的法向量所成的角求解二面角时，要注意二面角和法向量所成角的关系，此题是中档题20（12分）在平面直角坐标系中，已知点，向量，点B为直线上的动点，点C满足，点M满足（1）试求动点M的轨迹E的方程；（2）设点P是轨迹E上的动点，点R、N在y轴上，圆（x1）2+y2=1内切于PRN，求PRN的面积的最小值考点：轨迹方程；点到直线的距离公式专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设M（x，y），B（，m），可得C（0，），进而得到向量、和的坐标，结合题中向量等式建立x、y与m的等式，再消去m即可得到动点M的轨迹E的方程；（2）设P（x0，y0），R（0，b），N（0，c），可得PR直线的方程为（y0b）xx0y+x0b=0由直线PR、PN与题中的圆相切，运用距离公式算出、，可得b、c是方程+y0xx0=0的两个根，运用根与系数的关系算出|bc|关于x0的式子，再代入计算PRN的面积可得面积S关于x0的表达式，最后利用基本不等式即可求出PRN的面积的最小值解答：解：（1）设，则点C满足，点C是线段AB的中点，可得C（0，）由此可得：，可得，化简整理得，消去参数m得y2=2x，所以动点M的轨迹E的方程为y2=2x；（4分）（2）设P（x0，y0），R（0，b），N（0，c），且bc，PR直线的方程为，整理得lPR：（y0b）xx0y+x0b=0，圆（x1）2+y2=1内切于PRN，可得PR与圆相切，注意到x02，化简得：，同理可得：，因此，b、c是方程的两个不相等的实数根，（8分）根据根与系数的关系，化简整理可得，由此可得PRN的面积为，当x02=时，即当x0=4时，PRN的面积的最小值为8（12分）点评：本题给出动点满足的条件，求动点的轨迹方程并求了PRN的面积的最小值着重考查了抛物线的标准方程和简单性质、轨迹方程的求法和直线与圆锥曲线关系等知识，属于中档题21（12分）已知函数f（x）=ax2+lnx（aR）（1）当时，求f（x）在区间1，e上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）g（x）f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”已知函数若在区间（1，+）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性专题：计算题；压轴题分析：（1）由题意得 ，0，f（x）在区间1，e上为增函数，即可求出函数的最值（2）由题意得：令 0，对x（1，+）恒成立，且h（x）=f1（x）f（x）=0对x（1，+）恒成立，分类讨论当 或 时两种情况求函数的最大值，可得到a的范围又因为h（x）=x+2a=0，h（x）在（1，+）上为减函数，可得到a的另一个范围，综合可得a的范围解答：解：（1）当 时，；对于x1，e，有f（x）0，f（x）在区间1，e上为增函数，（2）在区间（1，+）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）f（x）f2（x）令 0，对x（1，+）恒成立，且h（x）=f1（x）f（x）=0对x（1，+）恒成立，1）若 ，令p（x）=0，得极值点x1=1，当x2x1=1，即 时，在（x2，+）上有p（x）0，此时p（x）在区间（x2，+）上是增函数，并且在该区间上有p（x）（p（x2），+），不合题意；当x2x1=1，即a1时，同理可知，p（x）在区间（1，+）上，有p（x）（p（1），+），也不合题意；2）若 ，则有2a10，此时在区间（1，+）上恒有p（x）0，从而p（x）在区间（1，+）上是减函数；要使p（x）0在此区间上恒成立，只须满足 ，所以 a又因为h（x）=x+2a=0，h（x）在（1，+）上为减函数，h（x）h（1）=+2a0，所以a综合可知a的范围是，点评：本题考查的知识点是利用导数求函数的最值，利用最值解决恒成立问题，二对于新定义题型关键是弄清新概念与旧知识点之间的联系即可，结合着我们已学的知识解决问题，这是高考考查的热点之一22（2013郑州二模）如图，已知O和M相交于A、B两点，AD为M的直径，直线BD交O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交O、BD于点E、F连接CE（1）求证：AGEF=CEGD；（2）求证：考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段专题：证明题；压轴题分析：（1）要证明AGEF=CEGD我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题（2）由（1）的推理过程，我们易得DAG=GDF，又由公共角G，故DFGAGD，易得DG2=AGGF，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论解答：证明：（1）连接AB，AC，AD为M的直径，ABD=90，AC为O的