概率论与数理统计第三版课后答案.pdf

1 第一章第一章 事件与概率事件与概率 1写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分） 。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品” ，不合格的记上“次品” ，如 连续查出 2 个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解解 （1） ,100, 1 , 0ni n i 其中 n 为班级人数。 （2） 18, 4 , 3 。 （3） ,11,10 。 （4）00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101， 0111，1111，其中 0 表示次品，1 表示正品。 （5）(x,y) 0Y= PX=1,Y=0+ PX=2,Y=0 +PX=2,Y=1= 102021 110220022011 222222 0.7 0.30.4 0.60.7 0.30.4 0.60.7 0.30.4 0.60.5628 CCCCCC 2.42.4 解解: :（1 1）P1P1X X3= PX=1+ PX=3= PX=1+ PX=2+ PX=3=2+ PX=3= 1232 1515155 (2)(2) P0.50时，时， 2 2 2 1 ( ) 2 x y Y y FyP YyP XyPyXyedx 对对( ) Y Fy求关于求关于 y y 的导数，得的导数，得 222 ()()(ln ) 222 111 ()() ( ) 222 0 yyy Y eyeye fy y y0 y0 2.23 2.23 XN(0,1)XN(0,1) 1 ( ) 0 X fx 0x 其它 （1 1） 2lny当时 2 ( )2lnln 0 Y F yP YyPXyPXyP 2lny当时 2 22 0 1 ( )2lnln y e yy Y FyP YyPXyPXyP XeP Xedx 23 对对( ) Y Fy求关于求关于 y y 的导数，得到的导数，得到 22 11 () ( ) 2 0 yy Y ee fy 2ln 2ln y y （2 2） 当y1或 y-1时，( )cos 0 Y FyP YyPXyP 11y 当时, , arccos 1 ( )cosarccos Y y FyP YyPXyP Xydx 对对( ) Y Fy求关于求关于 y y 的导数，得到的导数，得到 2 11 (arccos ) ( )1 0 Y y fyy 11y 其它 （3 3）当y1或 y0时( )sin 0 Y FyP YyPXyP 01y当时， arcsin 0arcsin ( )sin0arcsin arcsin 11 Y y y FyP YyPXyPXyPyX dxdx 对对( ) Y Fy求关于求关于 y y 的导数，得到的导数，得到 2 112 arcsin(arcsin ) ( )1 0 Y yy fyy 01y 其它 第三章第三章 随机向量随机向量 3.1 P10;F(x,y)=0,xo,Y0;F(x,y)=0,其他其他 （2 2） (2)22 0 00000 22323 00 00 ()222(| ) 221 2(1)(22)(| )|1 333 xx x yxvxyx xxxxxx P YXedxdyedxe dyeedx eedxeedxee 3.63.6 解：解： 222 2 222 22222 00 1 () (1)(1) a xya r P xyaddr xyr 2 2 2 22222 000 11111 (1)21 (1)2 (1)11 | aa a ddr rraa 25 3.73.7 参见课本后面参见课本后面 P227P227 的答案的答案 3.83.8 3 111 2 000 33 ( )( , ) 2232 | X yx fxf x y dyxy dyx 222 2222 000 331 ( )( , )3 222 | y fyf x y dxxy dxyxy , ( )2 0, X x fx 02x 其它 2 3 ( ) 0 Y y fy 01y 其它 3.93.9 解：解：X X 的边缘概率密度函数的边缘概率密度函数( ) X fx为：为： (1)(1)当当10xx或时，时，( , )0f x y ， ( )0 X fx 11 22 22 00 111 ( )4.8 (2)4.8 24.8 12 222 10 01 ( )4.8 (2)2.4(2)2.4(2) | | Y yy xx X fyyx dxyxxyyy yy y fxyx dyyxxx 或 (2)(2)当当01x时，时， 22 00 ( )4.8 (2)2.4(2)2.4(2) | xx X fxyx dyyxxx Y Y 的边缘概率密度函数的边缘概率密度函数( ) Y fy为：为： 当当10yy或时，时，( , )0f x y ，( )0 Y fy 当当01y时，时， 11 22 111 ( )4.8 (2)4.8 24.8 12 222 | Y yy fyyx dxyxxyyy 2 2.4 (34)yyy 3.10 3.10 （1 1）参见课本后面）参见课本后面 P227P227 的答案的答案 26 （2 2） 26 ( ) 0 x x X dy fx 01x 其它 6 = 0 xx （1- ） 01x 其它 6 ( ) 0 y y Y dx fy 01y 其它 6 = 0 y y （- ） 01y 其它 3.113.11 参见课本后面参见课本后面 P228P228 的答案的答案 3.123.12 参见课本后面参见课本后面 P228P228 的答案的答案 3.133.13（1 1） 2 2 0 () ( )3 0 X xy xdy fx 01x 其它 2 2 2 3 0 xx 01x 其它 1 2 0 () ( )3 0 Y xy xdx fy 02y 其它 1 = 3 6 0 y 02y 其它 对于对于02y时，时，( )0 Y fy ， 所以所以 2 | 3 ( , ) 1 ( | ) ( ) 36 0 X Y Y xy x f x y y fx y fy 01x 其它 2 6+2 2 0 xxy y 01x 其它 对于对于01x时，时，( )0 X fx 所以所以 2 2 | 3 ( , ) 2 ( | ) 2 ( ) 3 0 Y X X xy x f x y x fy x x fx 02y 其它 3 62 0 xy x 02y 其它 27 111 222 | 000 11 33 1117 22 |( |) 1 222540 62 2 Y X yy P YXfydydydy 3.143.14 X YX Y 0 0 2 2 5 5 X X 的边缘分布的边缘分布 1 1 0.150.15 0.250.25 0.350.35 0.750.75 3 3 0.050.05 0.180.18 0.020.02 0.250.25 Y Y 的边缘分布的边缘分布 0.20.2 0.430.43 0.370.37 1 1 由表格可知由表格可知 PX=1;Y=2=0.25PX=1;Y=2=0.25PX=1PY=2=0.3225PX=1PY=2=0.3225 故故P;P yYxXyYxX i i i i P 所以所以 X X 与与 Y Y 不独立不独立 3.153.15 X YX Y 1 1 2 2 3 3 X X 的边缘分布的边缘分布 1 1 6 1 9 1 18 1 3 1 2 2 3 1 a a b b 3 1 +a+b+a+b Y Y 的边缘分布的边缘分布 2 1 a+a+ 9 1 b+b+ 18 1 1 1 由独立的条件由独立的条件P;PyY xXyYxX i i i i P 则则 22PX2; 2PXYPY 32PX3; 2PXYPY 1PX i 28 可以列出方程可以列出方程 aaba) 9 1 )( 3 1 ( bbab) 3 1 )( 18 1 ( 1 3 1 3 1 ba 0, 0ba 解得解得 9 1 , 9 2 ba 3.16 3.16 解（解（1 1）在）在 3.83.8 中中( )2 0 X x fx 02x 其它 2 3 ( ) 0 Y y fy 01y 其它 当当02x， 01y时，时，( )( ) XY fx fy 2 3 ( , ) 2 xyf x y 当当2x或或0x时，当时，当1y 或或0y 时，时，( )( ) XY fx fy0( , )f x y 所以，所以， X X 与与 Y Y 之间相互独立。之间相互独立。 （2 2）在）在 3.93.9 中，中， 2 2.4(2) ( ) 0 X xx fx 01x 其它 2 2.4 (34) ( ) 0 Y yyy fy 01y 其它 当当01x，01y时，时， ( )( ) XY fx fy 2222 2.4(2)2.4 (34)5.76(2) (34)xxyyyxx yyy= ( , )f x y ，所以，所以 X X 与与 Y Y 之间不相互独立。之间不相互独立。 3.173.17 解：解： 29 xe y xef xx x dydyyxfx 0 2 )1 ( 1 ),()( )1 ()1 ( 2 0 2 11 ),()( yy xef dxdyyxfy x y ),( 1 )()( )1 ( 2 yxfyx y xeff x yx 故故 X X 与与 Y Y 相互独立相互独立 3.183.18 参见课本后面参见课本后面 P228P228 的答案的答案 第四章第四章 数字特征数字特征 4.1 4.1 解：解：()1 ii i E Xx p ( )0.9 ii i E Yy p 甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又两台机床的总的产量相同甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又两台机床的总的产量相同 乙机床生产的零件的质量较好。乙机床生产的零件的质量较好。 4.2 4.2 解：解：X X 的所有可能取值为：的所有可能取值为：3 3，4 4，5 5 3 5 1 30.1P X C 2 3 3 5 40.3P X C C 2 4 3 5 50.6P X C C ()3 0.1 4 0.3 5 0.64.5 ii i E Xx p 4.34.3 参见课本参见课本 230230 页参考答案页参考答案 30 4.44.4 解：解： 1 (1),1,2,3 n P Xnppn 1 2 1 1 ()(1) 1 (1) n ii in p E Xx pnpp pp 4.64.6 参考课本参考课本 230230 页参考答案页参考答案 4.74.7 解：设途中遇到红灯次数为解：设途中遇到红灯次数为 X X，则，则(3,0.4)XB ()4 0.31.2E Xnp 4.84.8 解解 xdxxfXE)()( xdxxdx x )3000( 1 3000 1500 2 1500 0 2 2 15001500 50500+10000+1000 1500 1500 4.94.9 参见课本后面参见课本后面 230230 页参考答案页参考答案 4.104.10 参见课本后面参见课本后面 231231 页参考答案页参考答案 4.11 4.11 解解: :设均值为设均值为, ,方差为方差为 2 , ,则则 XN(XN(, , 2 ) )根据题意有根据题意有: : )96(1)96(XPXP ) 7296 (1 X P )(1t %3 . 2 31 997. 0)( t, ,解得解得 t=2t=2 即即=12=12 所以成绩在所以成绩在 6060 到到 8484 的概率为的概率为 ) 12 72-84-X 12 72-60 P(84)XP(60 (-1)-(1) 1-(1)2 1-0.84132 0.6826 4.124.12 2222 ()0 0.4 10.320.230.12E X 2222 (54)4 0.4(5 14) 0.3(5 24) 0.2(5 34) 0.114EX 4.134.13 解：解： 0000 0 ( )(2)22()2 2()2 | | xxxx x E YEXxe dxxdexee dx e 2233 000 11 ( )() 33 | Xxxxx E YE eee dxedxe 4.144.14 解：解： 3 4 3 R V 设球的直径为设球的直径为 X,X,则：则： 1 ( ) 0 f xba axb 其它 3 33422 4 () 111 2 ( )()()=()() 3666424 | bb aa X E VEEXxdxxba ba baba 4.154.15 参看课本后面参看课本后面 231231 页答案页答案 4.164.16 解解: : 32 x yf dydyyxfx x x 4 12 3 0 2 ),()( yyyf dxdyyxfy yy 121212 3212 ),()( 5 4 )()( 1 0 4 4 dxxdxxXE x f x 5 3 )()( 1 0 43 1212 dyydyxYE yyf y 1 00 3 10 3 10 2 1 1212),()( x xyxy dydxxdxdyxxydxdyyxfXYE yy 3 2 )()( 1 0 522 4 dxdxxfE xxX 5 2 )()( 1 0 542 2 1212 dydyyfE yyy Y 15 16 )()()( 2222 YXYX EEE 4.174.17 解解 X X 与与 Y Y 相互独立，相互独立， 11 535 0055 2 ()() ( )2()() 3 | yy E XYE X E Yx xdxyedyxyde 555 555 222 ()5() (5 1)4 333 | yyy yeedye 4.184.18，4.194.19，4.204.20 参看课本后面参看课本后面 231231，232232 页答案页答案 4.214.21 设设 X X 表示表示 1010 颗骰子出现的点数之和，颗骰子出现的点数之和， i X(1,2,10)i 表示第表示第i颗骰子出现的点数，颗骰子出现的点数， 则则 10 1 i i XX ，且，且 1210 ,XXX是是 33 独立同分布的，又独立同分布的，又 11121 ()126 6666 i E X 所以所以 1010 11 21 ()()()1035 6 ii ii E XEXE X 4.224.22 参看课本后面参看课本后面 232232 页答案页答案 4.234.23 2222 ()0 0.4 10.320.230.12E X 222 ()() ()2 11D XE XE X 2222 ()0 0.3 10.520.2301.3E Y 222 ( )() ( )1.30.90.49D YE YE Y 4.244.24 2424 222443 0202 111111114 ()(1)1 441616333 | E Xxxdxxxdxxxx 22 142 ()() ()4 33 D XE XE X 4.254.25 1 1 1 ( )4 0 X xydy fx 11x 其它 1 = 2 0 11x 其它 11 2222 11 11 ()() () 22 Var XE XE Xx dxxdx 11 32 11 11111 23223 | xx 1 1 1 ( )4 0 Y xydx fy 11y 其它 1 = 2 0 11y 其它 11 2222 11 11 ( )() ( ) 22 Var YE YE Yy dyydy 11 32 11 11111 23223 | yy 34 4.264.26 因为因为 XN(0,4),YU(0,4)XN(0,4),YU(0,4)所以有所以有 Var(X)=4 Var(Y)=Var(X)=4 Var(Y)= 3 4 故：故：Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+ 3 4 = = 3 16 Var(2XVar(2X- -3Y)=4Var(X)+9Var(Y)=3Y)=4Var(X)+9Var(Y)= 28 3 4 944 4.274.27 参看课本后面参看课本后面 232232 页答案页答案 4.284.28 1212 ( )()()()() nn XXXXXX E ZEEEE nnnn 12 1111 ()()() n E XE XE Xn nnnn 1212 ( )()()()() nn XXXXXX D ZDDDD nnnn 2 2 12 2222 1111 ()()() n E XE XE Xn nnnnn 后面后面 4 4 题不作详解题不作详解 第五章第五章 极限理极限理 5.35.3 解：用解：用 i X表示每包大米的重量，则表示每包大米的重量，则()10 i E X, , 2 ()0.1 i D X 100 2 1 (,)(100 10,100 0.1) i i XN nnN 100100100 111 2 100 101000 (0,1) 100 0.110 iii iii XnXX ZN n 100 100 1 1 1000 990 10001010 1000 (9901010)() 101010 i i i i X PXP 35 1010 10001010 1000 ()()( 10)(10) 1010 2 ( 10) 10.9986 5.45.4 解：因为解：因为 i V 服从区间服从区间0,100,10上的均匀分布，上的均匀分布， 0 10 ( )5 2 i E V 2 10100 ( ) 1212 i D V 202020 111 100 ( ),( )(20 5,20) 12 iii iii VNE VD VN 20202020 1111 20 1 ( )20 5100 (0,1) 10010 15 20( ) 123 iiii iiii i i VE VVV ZN D V 20 20 1 1 100 105 100 (105)1(105)1(105)1() 10 1510 15 33 i i i i V P VP VPVP 105 100 1()1(0.387)0.348 10 15 3 5.55.5 解：方法解：方法 1 1：用：用 i X表示每个部件的情况，表示每个部件的情况，则则 1, 0, i X 正常工作 损坏 (1,0.9) i XB， ()0.9 i E Xp, ,()(1)0.9 0.1 i D Xpp 100 1 ,(1)(100 0.9,100 0.9 0.1) i i XN np nppN 100100100 111 100 0.990 (0,1) 3(1)100 0.9 0.1 iii iii XnpXX ZN npp 36 100 100100 1 11 90 8590 (85)1(85)1() 33 i i ii ii X PXPXP 55 1()( )0.9525 33 方法方法 2 2：用：用 X X 表示表示 100100 个部件中正常工作的部件数，则个部件中正常工作的部件数，则 (100,0.9)XB ()100 0.990E Xnp()(1)100 0.9 0.19D Xnpp ,(1)(90,9)XN np nppN 90 (0,1) 3(1 XnpX ZN npp 90 (0,1) 3(1 XnpX ZN npp 908590 (85)1(85)1() 33 55 1()( )0.9525 33 X P XP XP 5.65.6 略略 第六章样本与统计第六章样本与统计 6.16.1 6.3.16.3.1 证明证明: : 由由= =+b+b 可得，对等式两边求和再可得，对等式两边求和再除以除以 n n 有有 37 n ba n n i i n i iXY 11 )( 由于由于 n i iY n Y 1 1 n i iX n X 1 1 所以由所以由 可得可得 Y= = n nb n a n i iX 1 = =bXa 6.3.26.3.2 因为因为 YY Y Y n ii n i n i 2 1 2 1 2 )( b X ab X a i n i n i 2 1 2 )( )2(2 22222 1 2 nbXnanbXa XnabXnab i n i n i ii n i XXaXnaXa 1 222222 1 2 n i iXXXXa i 1 2 22 )( 2 n i X Xai 1 2 2 )( Sa X n 22 ) 1( SY n 2 ) 1( 38 所以有所以有 SaS XY 222 6.2 6.2 证明：证明： n n E n XE n iX )( 1 )( 1i n n VarXVar n X n n i 2 2 2 1i 2 )( 1 )( 6.36.3（1 1）)2( 1n 1 1 2 1i 2 1 2 2 )( XXX X X S X n i i n i n i )2( 1n 12 1i1i 2 XnXX n i n i X )2( 1n 12 1i 2 XnX XnX n i )( 1n 12 1i 2 XnX n i （2 2）由于）由于)( 2 2) ()(XE XX i EVar ii 所以有所以有 2 2 2 2 )()()( X XE Xii Var i E n XVarE XE X 2 2 2 2 )()( )( 2 2 2 2 2 1 2 ) 1()()()() ( n n nn i E n i XX 39 两边同时除以（两边同时除以（n n- -1 1）可得）可得 2 1 2 ) 1 ( )( n i E n i XX 即即 22) ( S E 6.4 6.4 同例同例 6.3.36.3.3 可知可知 0.951-)n(0.321-) n0.3 (20.3|-XP| 得得 0.975)n(0.3查表可知查表可知n0.3=1.96 =1.96 又又Zn 根据题意可知根据题意可知 n=43n=43 6.56.5 解（解（1 1）记这）记这 2525 个电阻的电阻值分别为个电阻的电阻值分别为, ,它们来自均值为它们来自均值为 =200=200 欧姆，欧姆， 标准差为标准差为 =10=10 欧姆的正态分布的样本则根据题意有：欧姆的正态分布的样本则根据题意有： 2510 200202 n -X 2510 200199 202X199 PP 1 n -X 5 . 0 P )5 . 0() 1 ( 5328. 0 (2)(2)根据题意有根据题意有 5100X52P5100P 25 1i iX 2 n -X P )2(9772. 0 6.6 6.6 解：（解：（1 1）记一个月（）记一个月（3030 天）中每天的停机时间分别为天）中每天的停机时间分别为，它们是来自均，它们是来自均 值为值为 =4=4 小时，标准差为小时，标准差为 =0.8=0.8 小时的总体的样本。小时的总体的样本。根据题意有：根据题意有： 308 . 0 45 n -X 308 . 0 41 5X1 PP 40 846. 6 n -X 54.20 P )54.20()846 . 6 ( 1 （注：（注：)(u当当6u时，时，)(u的值趋近于的值趋近于 1 1，相反当，相反当6u时，其值趋近于时，其值趋近于 0 0） （2 2）根据题意有：）根据题意有： 115X03P115P 30 1i iX 14. 1 n -X P )14 . 1 ()14. 1 (11271. 0 6.76.7 证明：因为证明：因为 T T ，则，随机变量，则，随机变量 nY/ X T 的密度函数为的密度函数为 t n n n tf n t n , 2 ) 2 ( ) 2 1 ( )(1 2 1 显然显然)()(tftf，则，则)(tf为偶函数，则为偶函数，则 0)()()()()()()()( 00000 0 tdttftdttftdttfdtttftdttftdttftdttfTE 6.8 6.8 解：记解：记50. 1，25，则，则 X X N(N(, , 2 ),n=25),n=25 故故 2525 150-147.5 n -X 2525 150-140 P147.5XP140 5 . 0 n -X P-2 (-2)-(-0.5) (0.5)-(2) 41 0.2857 6.9 6.9 解：记这解：记这 100100 人的年均收入为人的年均收入为，它们是来自均值为，它们是来自均值为5 . 1万元，标准差万元，标准差 为为5 . 0万元的总体的样本，万元的总体的样本，n=100n=100 则根据题意有：则根据题意有： （1 1）1.6XP11.6XP 1000.5 1.5-1.6 n -X P1 2 n -X P1 )2(1 9772. 01 0228. 0 （2 2） 1000.5 1.5-1.3 n -X P1.3XP 4 n -X P )4()4(1 110 （3 3） 1000.5 1.5-1.6 n -X 1000.5 1.5-1.2 P1.6XP1.2 (-6)-(2) 09772. 0 9772. 0 6.10 6.10 解：根据题意可知此样本是来自均值为解：根据题意可知此样本是来自均值为12，标准差为，标准差为2的总体，样本容量的总体，样本容量 为为 n=5 n=5 42 （1 1）依题意有）依题意有 1314. 08686. 01)12. 1 (112. 1 n -X P1 52 12-13 n -X P131XP131XP （2 2）要求）要求样本的样本的最小值最小值小于小于 1010 概率，概率，即即 5 5 个数中至少有一个小于个数中至少有一个小于 1010 的概率的概率，首先计算，首先计算 每个样本小于每个样本小于 1010 的概率：的概率： 0.15870.8413-1(1)-1(-1) 2 12-10-X P(10)P(X p 设设 X X 是是 5 5 个样本中小于个样本中小于 1010 的样本个数则的样本个数则 X X 服从二项分布服从二项分布 B(5,0.1587)B(5,0.1587)故有故有 5785. 0111-10)P(X-11)(X )1587. 01 (1C P 550 0 5B pp 即样本的最小值小于即样本的最小值小于 1010 的概率是的概率是 0.5785.0.5785. （3 3）同（）同（2 2）要求样本的最大值大于）要求样本的最大值大于 1515 的概率，即的概率，即 5 5 个数中至少有一个大于个数中至少有一个大于 1515 的概率，的概率， 首先计算每个样本首先计算每个样本大于大于 1515 的概率：的概率： 0668. 00.9332-1(1.5)1) 2 12-15-X P(115)P(X-115)P(X p 设设 X X 是是 5 5 个样个样本中大于本中大于 1515 的样本个数则的样本个数则 X X 服从二项分布服从二项分布 B(5,0.0668)B(5,0.0668)故有故有 2923. 0111-10)P(X-11)(X )0668. 01 (1C P 550 0 5B pp 即样本的最大值大于即样本的最大值大于 1515 的概率是的概率是 0.29230.2923 第七章参数估计第七章参数估计 7.17.1 解因为解因为: :是抽自二项分布是抽自二项分布 B B（m,pm,p）的样本，故都独立同分布所以有）的样本，故都独立同分布所以有 mpXE)(用样本均值用样本均值X代替总体均值，则代替总体均值，则 p p 的矩估计为的矩估计为 m X p 7.27.2 解：解： 1 )( 0 xdxxE e x 用样本均用样本均值值x代替总体均值，则代替总体均值，则的矩估计为的矩估计为 43 xxE 1 )( 1 由概率密度函数可知联合密度分布函数为：由概率密度函数可知联合密度分布函数为： eee xxx L n 21 )( e n i ix n 1 对它们两边求对数可得对它们两边求对数可得 n i i n xe n x L n i i 1 ln)ln()(ln( 1 对对求导并令其为求导并令其为 0 0 得得 0 )(ln( 1 n i ix nL 即可得即可得的似然估计值为的似然估计值为 x n n i ix 1 1 1 1 7.37.3 解解: :记随机变量记随机变量 x x 服从总体为服从总体为0,0, 上的均匀分布，则上的均匀分布，则 22 0 )( XE 故故 的矩估计为的矩估计为X2 X X 的密度函数为的密度函数为 1 )(xp故它的是似然函数为故它的是似然函数为 II XX L ni n n i n 1 0 )( 11 )( 要使要使)(L达到最大， 首先一点是示性函数的取值应达到最大， 首先一点是示性函数的取值应 该为该为 1 1，其次是，其次是 n 1尽可能大。由于尽可能大。由于 n 1是是 的单调减函数，所以的单调减函数，所以 的取值应该尽可能小，的取值应该尽可能小， 但示性函数为但示性函数为 1 1 决定了决定了 不能小于不能小于, ,因此给出因此给出 的最大似然估计的最大似然估计 （示性函数（示性函数 I=I= ，=min=min =max=max ） 7.47.4 解解: :记随机变量记随机变量 x x 服从总体为服从总体为 , , 上的均匀分布，则上的均匀分布，则 2 3 2 2 )( XE 所以所以 的矩估计为的矩估计为X 3 2 X X 的密度函数为的密度函数为 1 )(xp故它的是似然函数为故它的是似然函数为 44 III n ni nn n i n X L 2 2 1 2 x x 1 xx 11 )( )1( )( )()1( 要使要使)(L达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为 1 1，其次是，其次是 n 1尽可能大。由于尽可能大。由于 n 1是是 的单调减函数， 所以的单调减函数， 所以 的取值应该尽可能小，但示性函数为的取值应该尽可能小，但示性函数为1 1 决定了决定了 不能小于不能小于, , 因此给出因此给出 的最大似然估计的最大似然估计 7.5 7.5 解解: :似然函数为似然函数为: : ee n i i i n 1 2 22 2 ) X ( 2 ) X ( 2 1 )L(2 1 2 2 n 1i 2 )2( 它的对数为它的对数为: : n i i nn L 1 2 2 22 ) X ( 2 1 )ln( 2 )2ln( 2 )(ln 对对 2 求偏导并令它等于零有求偏导并令它等于零有 0 2 1 2 )(ln 1 2 422 2 ) X ( n i i nL 解得解得 2 的似然估计值为的似然估计值为 n i i n1 2 2 ) X ( 1 7.67.6 解解: :根据所给的概率密度函数是指数函数的密度函数可知根据所给的概率密度函数是指数函数的密度函数可知 dxxdxxxf e x -0 1 )()E(x 2 )(XVar (1)(1) )()( X 1 1 EE 2 2 1 )E()(E( 2 1 ) 2 ()( XX XX 21 21 2 EE 3 3 1 )2E()(E( 3 1 ) 3 ()( XX 2XX 21 21 3 EE 45 3 3 1 )E()E()(E( 3 1 ) 3 ()E()( XXX XXX 321 321 4 EXE 故这四个估计都是故这四个估计都是 的无偏估计的无偏估计 （2 2） 2 1 1 )()(V X Varar 2 2 4 1 )(V)(V( 4 1 ) 2 ()(V 2 2 21 21 2 XX XX ararVarar 9 5 9 1 )(V4)(V( 9 1 ) 3 ()(V 5 XX 2XX 2 2 21 21 3 ararVarar 3 3 9 1 )(V)(V)(V( 9 1 ) 3 ()(V 2 2 321 321 4 XXX XXX arararVarar 故有故有 )(V)(V)(V)(V 1324 arararar 7.77.7 证明（证明（1 1）因为）因为 X X 服从服从 上的均上的均匀分布，故匀分布，故 2 1 2 1 )( XE 2 1 )()(XEXE 故样本均值不