求数列通项公式的解题思路

1 / 15 求数列通项公式的解题思路 求数列通项公式的解题思路 广东省高州市第二中学 梁志华 数列既是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的基础，因此，每年高考对本章内容均作较全面的考查，而且经常是以综合题、主观题的形式出现，难度较大，不过一般分小题、有梯度设问，往往是第 1 小题就是求数列的通项公式，难度适中，一般考生可突破，争取分数，而且是做第 2小题的基础，因此，求数列通项公式的解题方法、技巧，每一位考生都必须熟练掌握。求数列通项公式的题型很多，不同的题型有不同的解决方法。下面结合教学实 践，谈谈求数列通项公式的解题思路。 一、已知数列的前几项 已知数列的前几项，求通项公式。通过观察找规律，分析出数列的项与项数之间的关系，从而求出通项公式。这种方法称为观察法，也即是归纳推理。 2 / 15 例 1、求数列的通项公式 （ 1） 0， 22 1/3， 32 1/4， 42 1/5 （ 2） 9， 99， 999， 分析：（ 1） 0=12 1/2，每一项的分子是项数的平方减去 1，分母是项数加上 1， n2 1/n 1 n 1，其实，该数 列各项可化简为 0， 1， 2， 3，易知 an n 1。 （ 2）各项可拆成 10-1， 102-1， 103-1， an10n 1。 此题型主要通过让学生观察、试验、归纳推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生的思维能力。 二、已知数列的前 n项和 Sn 已知数列的前 n 项和 Sn，求通项公式 an，主要通过an与 Sn的关系转化，即 an - S1（ n 1） Sn -Sn 1（ n3 / 15 2） 例 2、已知数 列 an 的前 n 项和 Sn=2n+3，求 an 分析： Sn=a1+a2 + +an 1+an Sn 1 a1+a2 + +an 1 上两式相减得 Sn -Sn 1=an 解：当 n=1 时， a1=S1=5 当 n 2 时， an =Sn -Sn 1=2n+3-（ 2n 1+3）=2n 1 n=1不适合上式 an =5（ n=1） 2n 1（ n 2） 三、已知 an与 Sn关系 已知数列的第 n 项 an与前 n 项和 Sn间的关系： Sn=f4 / 15 （ an），求 an。一般的思路是先将 Sn与 an的关系转化为 an与 an 1的关系，再根据与的关系特征分为如下几种类型。不同的类型，要用不同的方法解决。 （ 1） an=an 1+k。数列属等差数列，直接代公式可求通项公式。 例 3、已知数列 an，满足 a1=3， an=an 1+8，求an。 分析：由已知条件可知数列是以 3 为首项， 8 为公差的等差数列，直接代公式可求得 an=8n-5。 （ 2） an=kan 1（ k 为常数）。数列属等比数列，直接代公式可求通项公式。 例 4、数列 an的前 n项和 Sn,a1=1， an+1=2Sn+1（ n N+） 求数列 an的通项公式。 分析：根据 an 与 Sn 的关系，将 an+1=2Sn+1 转化为5 / 15 an与 an+1 的关系。 解：由 an+1=2Sn+1 得 an=2Sn-1+1（ n 2） 两式相减，得 an+1-an=2an an+1=3an （ n 2） a2=2Sn+1=3 a2=3a1 an是以 1 为首项， 3为公比的等比数列 an=3n-1 （ 3） an+1=an+f（ n），用叠加法 思路：令 n=1， 2， 3， n-1 6 / 15 得 a2=a1+f（ 1） a3=a2+f（ 2） a4=a3+f（ 3） +） an=an 1+f（ n-1） an=a1+f（ 1） +f（ 2） + +f（ n-1） 例 5、若数列 an满足 a1=2， an+1=an+2n 则 an的通项公式 =（ ） 解： an+1=an+2n a2 =a1+2 1 a3=a2+2 2 7 / 15 a4=a3+2 3 +） an=an 1+2（ n-1） an=a1+2（ 1+2+3+ +n-1） =2+2（ 1+n-1）（ n-1） =n2-n+2 （ 4） an+1=f（ n） an，用累积法 思路：令 n=1， 2， 3， n-1 得 a2 =f（ 1） a1 a3=f（ 2） a2 a4=f（ 3） a3 ） an=f（ n-1） an-1 8 / 15 an=a1 f（ 1） f（ 2） f（ 3） f（ n-1） 例 6、若数列 an满足 a1=1， an+1=2n+an，则 an=（ ） 解： an+1=2nan a2 =21a1 a3=22a2 a4=23a3 ） an=2n 1 an 1 an=2 22 23 2n-1a1=2n（ n-1） /2 （ 5） an=pan 1+q， an=pan 1+f（ n） an+1=an+p qn（ pq 0）， an=p（ an 1） q， an+1=ran/pan+q=（ pr 0， qr） （ p、 q、 r 为常数） 9 / 15 这些类型均可用构造法或迭代法。 an=pan 1+q （ p、 q为常数） 构造法：将原数列的各项均加上一个常数，构成一个等比数列，然后，求出该等比数列的通项公式，再还原为所求数列的通项公式。 将关系式两边都加上 x 得 an+x=Pan 1+q+x =P（ an 1 + q+x/p） 令 x=q+x/p，得 x=q/p-1 an+q/p-1=P（ an 1+q/p-1） an+q/p-1是以 a1+q/p-1 为首项， P 为公比的等比数列。 10 / 15 an+q/p-1=（ a1+q/p-1） Pn-1 an=（ a1+q/p-1） Pn-1-q/p-1 迭代法： an=p（ an 1+q） =p（ pan-2+q） +q =p2（ pan-3+q） +pq+q 例 7、数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2an-n（ nN+）求 an 解析：由 Sn=2an-n 得 Sn-1=2an-1-（ n-1） （ n 2,n N+） 两式相减得 an=2an-1+1 两边加 1得 an+1=2（ an-1+1） （ n 2， n N+） 构造成以 2 为公比的等比数列 an+1 an=Pan-1+f（ n） 11 / 15 例 8、数列 an中， a1 为常数，且 an=-2an-1+3n-1（ 2， n N） 证明： an=（ -2） n-1a1+3n+（ -1） n 3 2n-1/5 分析：这道题是证明题，最简单的方法当然是数学归纳法，现用构造法和迭代法来证明。 方法一：构造公比为 -2 的等比数列 an+ 3n 用比较系数法可求得 =-1/5 方法二：构造等差 型数列 an/（ -2） n。由已知两边同以（ -2） n，得 an/（ -2） n=an-1/（ -2） n=1/3（ -3/2） n，用叠加法处理。 方法三：迭代法。 an=-2an-1+3n-1=-2（ -2an-2+3n-2） +3n-1 =（ -2） 2an-2+（ -2） 3n-2+3n-1 12 / 15 =（ -2） 2（ -2an-3+3n-3） +（ -2） 3n-2+3n-1 =（ -2） 3an-3+（ -2） 3n-3+（ -2） 3n-2+3n-1 =（ -2） n-1a1+（ -2） n-1 3+（ -2） n-3 +32+ +（ -2） 3n-2+3n-1 =（ -2） n-1a1+3n+（ -1） n-2 3 2n-1/5 an+1= an+p qn（ pq 0） （）当 =qn+1 时，等式两边同除以，就可构造出一个等差数列 an/qn。 例 9、在数列 an中， a1=4， an+1+2n+1，求 an。 分析：在 an+1=2an+2n+1 两边同除以 2n+1，得an+1/2n+1=an/2n+1 an/2n是以 a1/2=2 为首项， 1为公差的等差数列。 （）当 q 时，等式两边同除以 qn+1，令 bn=an/qn，13 / 15 得 bn+1= /qbn+p，再构造成等比数列求 bn，从而求出 an。 例 10、已知 a1=1， an=3an-1+2n-1，求 an 分析：从 an=3an-1+2n-1两边都除以 2n， 得 an/2n=3/2 an-1/2n-1+1/2 令 an/2n=bn 则 bn=3/2bn-1+1/2 an=p（ an 1） q（ p、 q 为常数） 例 11、已知 an=1/a an 12，首项 a1，求 an。 方法一：将已知两边取对数 得 lgan=2lgan 1-lga 令 bn=lgan 14 / 15 得 bn=2bn-1-lga，再构造成等比数列求 bn，从而求出 an。 方法二：迭代法 an=1/a a2n 1=1/a （ 1/a a2n 2） 2=1/a3 a4n 2 =1/a3 （ 1/a a2n 3） 4=1/a7 an 38=a（ an 3/a） 23 = =a（ a1/a） 2n 1 an+1=ran/pan+q（ p、 q、 r 为常数， pr 0， q r） 将等式两边取倒数，得 1/an+1=q/r 1/an+p/r，再构造成等比数列求 an。 例 12、在 an中， a1=1， an+1=an/an+2，求 an 解： an+1=an/an+2 15 / 15 1/a