大学数学微积分辅助课件.ppt

大学数学教程微积分 辅 导 教 案,制作人: 蒋晓芸 复国华,言,前,大学数学是非数学类各专业学生的基础课，是学习后续课程和解决某些实 际问题的工具是开发大学生潜在能动性和创造力的重要基础；同时，也是理 工类大学生研究生考试的一门主要课程。为提高学生学习质量和效率，加快教 学内容、课程体系、教学方式方法改革，我们研制了该课件。本课件是普通高 等教育“十五”国家级重点教材大学数学教程微积分的辅助教案，包括高 等数学的重点、难点、要点、基本概念、基本要求，典型例题、课程进度和学 时分配等，以便于学生自主学习，调动教与学两个方面的积极性，同时我们给 出了高等数学考试大纲，帮助学生掌握期末考试内容及重点。,目 录,请仔细阅读,该课程为全校非数学类公共基础课，本考试大纲是根据我 校生化类及医学类高等数学教学的实际需要，以我校最新“十五”国家级规化教材大学数学微积分教程为依据，再参照高等数学考研大纲攥写而成的，大纲列出了适应我校生化类、管理类及医学类教学及考试需要的知识点结构体系。明确了高等数学实行全校范围内统一命题、统 一考试、统一阅卷的要求。,大 学 数 学 微 积 分,考 试 大 纲,一、 核的基本要求,要求考生比较系统地理解数学的基本概念和基本理论，掌握数学的基本方法 ，要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合 运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。,第1章 函数、极限、连续 函数的概念及表示法； 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性； 复合函数、 反函数、分段函数和隐函数； 基本初等函数的性质及其图形； 初等函数； 简 单应用问题的函数关系的建立。 数列极限与函数极限的性质； 函数的左极限与右极限； 无穷小和无穷大的概念 及其关系； 无穷小的性质及无穷小的比较； 极限的四则运算 极限存在的两个 准则；单调有界性和夹逼性 ； 两个重要极限。 函数间断点的类型 ； 初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质。 第2章 导数与微分 导数和微分的概念 ；导数的几何意义和物理意义； 函数的可导性与连续性之间的 关系；平面曲线的切线和法线；基本初等函数的导数；导数和微分的四则运算；复 合函数、反函数、隐函数以及函数的n阶导数 一阶微分形式的不变性。,二、考核的知识点,第3章 中值定理和导数的应用 罗尔定理；微分中值定理；洛必达（lhospital）法则； 函数的极限； 函数的单调性；函数图形的凹凸性、拐点及渐近线；函数图形的描绘；函数最大值和最小值；弧微分。 第4章 多元函数微分法 多元函数的概念 ；二元函数的几何意义；二元函数的极限和连续的概念；有界闭区域上多元连续函数的性质；多元函数偏导数和全微分；多元复合函数、隐函数的求导法；二阶偏导数； 多元函数极值和条件极值；拉格朗日乘数法；多元函数的最大值、最小值及其简单应用。 第5章 一元函数积分学及其应用 原函数和不定积分的概念；不定积分的基本性质；基本积分公式；定积分的概念和基本性质；定积分中值定理；变上限定积分定义的函数及其导数；牛顿莱布尼茨（newtonleibniz）公式；不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法；有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 广义积分 定积分的应用。 第6章 二重积分 二重积分的概念及性质；二重积分计算和应用。,第7章 常微分方程 常微分方程的基本概念；变量可分离的微分方程；齐次微分方程；一阶线性微 分方程；伯努力（bernoulli）方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程； 可 降价的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐 次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非 齐次线性微分方程；欧拉（euler）方程；微分方程的简单应用。 为保证考试工作的公正性和严密性，自2003年起我们将采用高等数学试题库 中的试题进行期末考试。考试形式为笔试。考试时间120分钟。 表一 考核试题命题结构及要求,三、命题及试卷结构,考试由教务处统一组织实施。在同一时间进行，时间为120分钟（闭卷），考试完毕后，对试卷密封，统一标准，集中阅卷。 考试结束后，将组织学生和教师对考试的内容、学生对内容的掌握情况等进行评估。评估结果写成书面材料，报教务处。,四、考试与阅卷,五、总结与评估,返回,第一章 函数、极限和连续,习 题 课,一、主 要 内 容,二、典 型 例 题,（一）函数的定义,（二）极限的概念,（三）连续的概念,一、主要内容,1、函数极限的定义,(1) 给定一个函数,在自变量,时函数有定义,如果当,充分大,无限增大时,函数的值,无限趋近于某个确定的常数,(要多么接,近就有多么接近),则称,是函数,当,时的极限,记为,或,(2)设函数,在自变量,充分小时有定义,如果当,无限减小,时,函数的值,无限趋近于某个确定的常数,(要多么接,近就有多么接近),则称,是函数,当,时以,为极限,记为,或,(3)设函数,在自变量,的绝对值,充分大,时有定义,且,则称,是,时的极限,记作,或,(4)设对某个常数,函数,在实数集,上有定义,如果当自变量,无限趋向于,时,函数,的值无限趋近一确定的常数,(要多么接,近就有多么接近),则称,为当自变量,趋近于,时函数,的极限,记作,或,(5)左、右极限,在,的左极限记成,或,在,的右极限记成,或,函数极限和左、右极限的关系是,该等价性常用来判断分段函数在分段点处是否有极限.,4. 无穷小量与无穷大量,(1)无穷小量 在自变量,的一定趋势,或,下,如果变量,（当,或,(2)无穷小量的阶 设,都是自变量,在,同一变化趋势下的无穷小量,且,如果,则称,是比,高阶的无穷小,记为,则称,与,是同阶,的无穷小,记为,则称,与,是等价无穷小,量,记为,则称,是,的,无穷小量,亦可记为,阶,则称,是比,低阶的无穷小量.,(或,(3) 无穷大量 对任意大的,如果,时,恒有,则称,是,时的无穷大量.,显然,不为零值的无穷小量的倒数是无穷大量,反之,无穷大量的倒数是无穷小量.,5. 连续的概念,(1) 设函数,在点,的邻域内有定义,如,果,则称函数,在点,处,连续.,由上面定义可知,函数在点,连续有三个要求:,在点,的某邻域(包括,)内有定义;,存在;,在,的函数值恰等于极限值,即,(2) 左连续和右连续 设,为某一任意的正,数,若,在,的左邻域,内有定义,且,则称,在,点左连续.类似,可定义函数,在,点右连续.,显然,在,处连续,在点,左连续,且右连续.,(3) 函数,在区间上连续的概念 设函数,在开区间,内有定义且,恒有,则称,在开区间,内连,续,或,是,内的连续函数.,如果函数,在,内连续且在左端点,处右连续,在右端点,处左连续,则称,在,闭区间,上连续,或,是闭区间,上,的连续函数.,(4) 函数的间断点 若函数,在点,处, (1) 的,三个要求中有任何一个不满足,则称函数,在点,处不连续, 点,称为,的间断点.,其中,若,和,都存在但不相等, 或,则称,为,的第一类间,断点,后者又称为可去间断点.,若,和,中至少有一个不存在,则称,为,的第二类间断点,若其中至少有一个是,则又称为,的无穷间断点.,(1) 单值性与多值性:,2、函数的性质,(2) 函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,(3) 函数的单调性:,(4) 函数的有界性:,设函数 f(x) 的定义域为d，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一 ,有 .且 f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,(5) 函数的周期性:,3、反函数,4、隐函数,5、反函数与直接函数之间的关系,6、基本初等函数,1）幂函数,2）指数函数,3）对数函数,4）三角函数,5）反三角函数,7、复合函数,8、初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,无穷小的运算性质,定理,推论1,推论2,3、极限的性质,4、求极限的常用方法,a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.,5、判定极限存在的准则,(夹逼准则),(1),(2),6、两个重要极限,定义:,7、无穷小的比较,定理(等价无穷小替换定理),8、等价无穷小的性质,9、极限的唯一性,6、闭区间的连续性,7、连续性的运算性质,定理,定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,定理2,8、初等函数的连续性,定理3,定理4 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,9、闭区间上连续函数的性质,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值m与最小值m之间的任何值.,例1 设,求,及,解,二、典型例题,所以,因为,所以,所以,即,又因为,例2 证明,证 记,则,而,故由夹逼定理,证毕.,例3 设,证明数列,有极限并求：,证明 因为,且,所以显然有,即,有界,由于,不妨设,成立，,下面利用归纳法证明单调性,故,所以,单调增加.所以,有极限.,设,则,解得,（舍去）.,所以,例4,解 因为,即,所以,求,故,解得,例5 求,解 原式,例6 若,在 连续，,所以,求,解,由于,处连续，,在,而,故由,得,解得,（舍去），,所以,例7 设函数,指出间断点及类型.,解 该函数的间断点为,当,故,点为,函数的第二类间断点.,时，由于,当,由于,故,时，,为函数的第一类间断点.,例 8,试证方程,的正根.,至少有一个小于1,证明 令,则,上连续.,又因,在0，1,由介值定理知，在0，1之间至少存在一点,使,即,故原结论成立.,成立，,成立.,测 验 题,1设,求,2已知,求,3. 设a0,数列 定义如下：,(n=1,2,),求,4. 求极限,5. 求,6. 求极限,7. 求,.,8. a，b为何值时，,在 处连续？,第二章 导数与微分,习 题 课,一、主要内容,二、典型例题,1、导数的定义,定义,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,2、基本导数公式,（常数和基本初等函数的导数公式）,3、求导法则,(1) 函数的和、差、积、商的求导法则,(2) 反函数的求导法则,(3) 复合函数的求导法则,(4) 对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,适用范围:,(5) 隐函数求导法则,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,(6) 参变量函数的求导法则,4、高阶导数,记作,二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数),5、微分的定义,定义,(微分的实质),6、导数与微分的关系,定理,7、 微分的求法,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,基本初等函数的微分公式,函数和、差、积、商的微分法则,8、 微分的基本法则,微分形式的不变性,二、典型例题,例1 设,求,解 因为,且,在,连续且,在,连续，,于是,故 当,是,即,故,时 ,的同阶无穷小，,例2,已知,求,解,令,则,于是,故,例3,求,解,分别对,求导，得,所以,设,由,所确定，,在方程,两边,解法1 方程两边同时对,故可解得,例4,设方程,求,求导，得,解法2,利用一阶微分形式不变性，方程两边同 时求微分，得,d d,d d + d = (d d ),例5,设 求,解,于是,所以,例6,解,设 ，求,故,（,测 验 题,1. 求 及d,2. 设,求,3. 设,求,4. 设,求,第三章 中值定理,习 题 课,一、主要内容,二、典型例题,一、主要内容,1、费尔马（fermat)定理,若函数,在点,处可导且在点,的邻域,内有,或,则,2罗尔（rolle）定理,设函数 满足条件：, 在闭区间 上连续；, 在开区间 内可导；, 则在,内至少存在一点 ，,使,3拉格朗日（lagrange）中值定理,设函数 满足条件：, 在闭区间 上连续；,在开区间 内可导，,则在 内至少存在一点 ，使得,或,注：拉格朗日中值定理也可写为：,它也称为函数的有限增量公式.,4.柯西（cauchy）中值定理,设函数 满足条件：, 在闭区间 上连续；,在开区间 内可导;,则在内 至少存在一点 ，使得,注：以上该定理的条件皆是充分的，但不是必要，,故若要在证明题或应用题中利用以上该定理 时，应先验证定理的条件是否满足.,5洛必达（lhospital）法则,定理1 （“ ”型）,设 在点 的某个邻域（不包括点 ） 内有定义且, 在该邻域内可微且, （a可以是 ），,则有,定理2 （“ ”型）,设函数 在点 的某个邻域（不包 括点 ）内有定义且, 在该邻域内可微且, （a可以是 ），,则有,注： 在定理1，2中将 改为“ ”，,“ ”或“ ”，,在相应条件下结论,也成立., 用洛必达法则确定其他类型的未定式的值 可见后面的例题分析.,例1,二、典型例题,解 先简化一下被求极限式,求右端第一个因式的极限，它是“ ”,求极限,用洛必达法则：,利,未定式，,回到原式，故原式,例2,解,这是“ ”,型未定式,故,先求,它是,“ ”,型未定式,故有,于是,由上例可以看出,对于求未定式极限,洛必达法则是非常有效的,同时在求极限过程中,随时化简,尽量先求出一部分极限值常常可以使求极限过程得到简化.另外,在求极限的问题中,有些方法,例如利用等价无穷小的替换,往往可以简化极限过程.,例3,解,分母有理化，去掉根号后得,原式,式中因子,的极限是“ ”,型未定式，用洛必达法则：,故,原式,例4,解,数列极限不能直接对原式用洛必达法则，而必 须先将数列极限转换为相应的函数极限，求出 极限后再回到数列极限.,例5,解,先求,取 为 ，故得,例6,设,求证方程,在（0，1）区间内,至少有一个实根 .,证,取,因为,所以,在0,1区间上满足rolle定理的条件，,于是在（0，1）区间至少存在一点,使,由于,故知方程,在（0，1）区间内至少有一个实根.,例7,证明方程,有且仅有三个,不同的实根.,证,设,因为,所以,为方程,的两个根，,又,使,若假设还有实数,，,考察区间0，,函数,从而,为,的第三个根.,故由介值定理，在（3，5）内至少存在一点,使,不失一般性可设,在,0，1，1，, ,上都满足罗尔定理条件.,故存在,同理，由于,在, ，, ,上满足罗尔定理条件，所以存在,使,即,必有两个不相等实根,不能是方程,的实根.,故方程,有且仅有三个不相等实根.,但方程,仅有一个根,从而与假设矛盾，,因此,例8,设 ，,证明：,证法1,令,因为,所以,在, ,上满足拉格朗日中值定,理条件，,于是存在,由于,所以,于是,即,（当,证法2,设,故,又设,故,于是当,时,例9,若,在0，1上有三阶导数且,试证在（0，1）,内至少存在一个 ，,使,解,由题设知，,在,0，1上存在，,又,由罗尔定理，存在,使,又,所以,在, ,上满足罗尔定理，于是存在,使,又,对,在,0， ,上再次应用罗尔定理，故有,使,测 验 题,1.,2.,3.,4.,5证明以下不等式：,当,时,，,可导，,且对一切,都有,而,证明：对任意实数 ，,存在一个,使得,6设函数, 上连续，,在,(,),内,7 设函数,在 上连续，,内可导，,其中,且,，,证明：在,，,使,内必有一点,在,第四章 导数的应用,习 题 课,一、主 要 内 容,二、典 型 例 题,1.利用导数判别函数的单调增减性,设,在,内可导,如果,都有,(或,则函数,在,内是严格单调增加的(或严格单调减少的).,注:如果,在,内连续,只在几个孤立,点处的导数零或不存在,在其余点处有,(或,)，,则,仍然是在,内是,严格单调增加（或严格单调减少）.,2.利用导数研究函数的极值与最值,（1）极值点的必要条件,若,是,的极值点，则要么,不存在，,要么,（即,是驻点）.,(2)极值点的充分条件(极值点的第一充分条件),若,在,邻域内可导(不一定要求,在,可导),在,连续,则:若,在,两侧异,号,就是极值点,具体地说:左正右负则,是,极大值点;左负右正则,是极小值点.,若,在,的两侧符号不变,则,不是极值点.,(3)用二阶导数的符号判断极值点,(极值点的第二充分条件),若,满足,存在,则,则,是极小值点;,则,是极大值点;,无法作出结论.,讨论具体实际问题时,一般是找出函数,的驻点和不可导点,然后再设法加以判断.,(4)求函数,在,上的最大(小)值点,当求函数,在区间,上的最大(小)值点时,除了找出,在,内的不连续点、,不可导点、,驻点外，还应加上区间端点,和,.,比较所有,这些点所对应的函数值的大小,最大者即为最大值,最小者为最小值.取这两个值的点就是相应的,最大(小)值点.,在实际问题中常用下面的结论:,若,在某区间可导,(此区间可以是有限,也可以是无限),并且,有惟一驻点,若,是极值点,则此,就是最值点.,3.用导数判断函数的凹凸性,函数图形的凹凸性描述了此函数对应曲线,的弯曲方向.,定义 设 在区间d上有定义，,恒有,（或,则称,在区间d上是上凸的（或下凹的）.,(2)凸凹性判别,若在区间d上,(或,),则,在d上是凸的(或凹的).,函数图形的凸凹分界点称为拐点,它必是连续点.,(3)拐点及其判别法,判别法a,若在点,处,(或,不存在),当,变动经过,时,变号,则,是拐点.,判别法b:,若,在,点的某邻域内有三阶导数,且,则(,是拐点.,4. 渐近线,(1)定义 当曲线c上动点p沿曲线无限远移时,若动点p到某直线,是曲线c的渐近线.,(2)渐近线的求法,若,则水平线,的水平渐近线;,是,若,或,则直线,是曲线,的铅直渐近线;,若,且,则直线,为曲线,的斜渐近线.,5. 函数作图,一般步骤是:,(1)确定函数,的定义域,奇偶性,对称性,周期性等;,(2)计算,并求出,及一、二阶导数不存在的点；,(3)列表，讨论函数的单调性、极值、凸凹性,和拐点；,(4)求渐近线;,(5)作辅助点,例如曲线与坐标轴的交点等;,(6) 作图,先画渐近线,再描出特殊点(极值点、,拐点、导数不存在的点以及辅助点等)，最后,按表作图.,6.曲线的曲率和曲率半径,曲线在一点处的曲率,表示曲线在点处的弯曲,程度.,曲线在每一点处有一个与曲线在该点曲率,相同的圆周曲率圆与其相切，曲率圆的中心,位于在被考察点的法线（凹向一侧）上，,曲率圆的半径r称为曲率半径，,可以证明,.,(1)若曲线方程为,则,(2)若曲线方程为,则,(3)若曲线方程为极坐标方程形式,则,二、典型例题,例1,问,为何值时,函数,在,处具有极值?,它是极大值还是极小值?求此极值.,解 因为,令,得,又,当,故当,时,在,且极大值为,处有极大值,例2 设,问在点,处,函数,是否取极值?为什么?,解法1 因为,且,故存在,使当,时,即,因此,在,处取极大值.,解法2 因为,故有,即, 由极限的保号性,时,是驻点,即当,由小变大经过,时,的符号由正变负,故,在,取极大值,时,在半径为,的球内作一内接圆锥体,要使圆锥体积最大,问其高和底半径应是多少?,设圆锥底半径为,高为,球的正剖面图如图,于是圆锥体积,例 3,解,所以,令,得驻点,(舍去,此时,由,的符号易判断此时,达到极大值,且在区,间,上只有一个极值,因此它就是最大值.,故当,时,内接圆锥体的体积最大.,例4 证明不等式,证 设,在区间0,1上,求,的最大、最小值.,因为,令,得,且当,由小变大经过,时,的符号由负变正,所以,当,有极小值,在端点,因此在区间0,1上函数最大值为1,最小值为,故不等式得证.,例5,的根.,解 设,因此,(1),时,且,原方程有唯一根.,讨论方程,(2),时,因此无根.,(3),时,得唯一驻点,此时,因为,因此,是,的唯一极小值点.,又,方程有唯一根.,方程,无根.,方程,有两实根.,测 验 题,1. 证明下列不等式:,时,(1) 当,(2) 对任意实数,2. (1)设,在,的邻域内有定义且,为自然数,问,在,处是否取极值?,（2）设,在区间-1,2上的最大,值为3,最小值为-29,又,求,和,(3)已知函数,求函数的增减区间和极值;, 函数图形的凹凸区间及拐点;, 函数图形的渐近线.,(4)设函数,满足方程,若,在,是否取极值?, 若,在,取极值,证明在,取极小值.,(5) 设,求,的最大项.,5. 在椭圆,内,嵌入有最大面积的四边平,行于椭圆长、,短半轴的矩形,求此最大面积矩形的面积.,第五章 多元函数微分学,习 题 课,一、主要内容,二、典型例题,（一）二元函数、极限与连续,. 二元函数的定义,在一个变化过程中有三个变量,如果对于,平面上的区域内每一组值，,按照某一,，,确定的法则,变量,有一个确定的值,与之对应，,则称,是,的二元函数，,记作,称为函数的定义域.,二元函数的图形，,一般是空间中对应,平面的区域d,上的一张曲面.类似地,可定义三元及三元,以上的多元函数.,2. 二元函数的极限,(1)定义中的,是点,的坐标,要求动点,以任何方式,沿任意路径趋于,时,均有,(2)如果沿两条不同路径,点,时,的极限不存在,这是证明极限不存在的常,用方法.,(3)上述极限是二重极限,与累次极限不同,我们,称,及,为累次极限,这里,和,是按先后次序相继变化而趋,于,和,的.一般情况,二重极限存在,二重极限也不一定存在.,累次极限不一,定存在;反之,累次极限存在,3.二元函数的连续性,若函数,在点（,)的某个邻域内有定,且,，,义，,则称,在点,处连续.,若函数,在区域d内每一点连续,则称,在d内连续,和一元函数类似,连续函数有如,下性质:,(1)多元初等函数在其定义域上连续.,(2)有界闭区域上连续函数的性质为:,有最大(小)值;,有界;,介值定理:必能取到介于d上函数的两个任,意值之间的一切值.,(二)偏导数和全微分,1.偏导数,(1)定义 设函数,在,的某个,邻域,内有定义,固定,若极限,存在,则称此极限值为,在,处对,的偏导数,并记成,同样,与一元函数的情况类似,如果函数,在某一,区域d内的每一点,处对,(或 ),的偏导数都存在,则它仍是,的函数,这时,我们亦称它为,在d内对,(或,的偏导,函数,同样可简称为偏导数,并记为,由定义知，求函数,视为常数，按一元函数的微分法对,（或,）求导，,即可得到,（或,（2）高阶偏导数 若偏导数,在,处有偏导数，它们的偏导数就称为,在,处的二阶偏导数，,记作,类似地，,可定义三阶以上偏导数.,2全微分,（1）定义 设函数,在点,的某,个邻域有定义，若函数的全增量,可以写为,其中a，b是与,无关的常数，,，则称,在,处可微，,而,为函数,在,处的全微分，记作,（2）重要结果,1（必要条件）,若,在,处可微，,则,在,处的两个偏导数存在，且,，于是,若在任意点,处可微，则,类似于一元函数的全微分，由于,故,2（充分条件） 如果,在,处两,个偏导数连续，则,在,处可微.,3 二元函数,在点,处连续、可导,（两个偏导数均存在）,与可微三者之间的关系如图：,连续,可导,可微,偏导数连续,（三）复合函数与隐函数微分法,1复合函数的微分法,（1）设,在点,处有连续,偏导数，而复合函数,在相应点,对,的偏导数存在，则复合,函数,对,的偏导数存在，且,（2）全导数 设,可微且,对,可导，则复合函数,对,的导数存在，且有公式,称为,对,的全导数.,2一阶全微分形式的不变性,设函数,偏导数，则复合函数,都有连续的,在,处的全微分,可写成,即不论,是中间变量还是自变量，,一阶全微分,都有相同形式.,3. 隐函数微分法,(1)一个方程的情况 设,是由方程,惟一确定的隐函数,则,(2)方程组的情况 定理:设函数,满足,在点,为邻域内有连续偏导数.,函数的雅可比行列式.,在m处不等于零.,则在点,的某邻域内,方程组,确定唯一的函数,满足上述方程组且,这组隐函数在点,的某邻域内有连续偏导数,在实际解题中,通常不必用这些公式计算偏导,数,而是利用复合函数微分法对方程两端求偏导数,最后把所要求的偏导数解出来即可.,(四)二元函数的极值,1.极值,(1)定义 设函数,在点,的某,个邻域内有定义,若有此邻域内恒有,(或,则称,在点,取极大值(或极小值),极大值、极小值统称极值，,的点称为极值,使函数取极值,点（极值点必然是区域的内点）.,(2)极值的必要条件 若函数,在点,处取极值,且,在点,处两个一阶偏,导数存在,则,注意:满足,的点,称为函数,的驻点,函数的驻点不一定是极值点,另外,除驻点外在,偏导数不存在的点也可能取到极值.,(3)极值的充分条件 设,在点,的某个邻域内有二阶连续偏导数,又,令, 若,则,在,处取极值，,且当,（或,）时，,为极小值，当,（或,）时，,为极大值.,若,则,在,处无极,值.,若,则无法断定,在,处是否取极值.,2.最值的求法,从理论上讲,若多元函数在有界闭区域上连续,可导,可先求出函数在区域内部的驻点,计算出在这,些点处的函数值,并与区域的边界上的最大(最小),值相比较,即可求出函数在有界闭域上的最大值(最,小值).在实际应用中,也常用下面的结论:,若,的最大(最小)值存在,且函数在区域,内有唯一驻点则此点若是极值点,就一定是最值点.,3.条件极值,函数,的自变量,满足若于条件(约,束方程)的极值称为条件极值,求条件极值常用的,法有,方,:,(1)化为无条件极值 例如求,在条件,下的极值,若能由,解出,代入,便化为无条件极值问题,(即通常意义下的极值).,(2)拉格朗日乘数法 如求,在条件,下的条件极值.,设,均有连续,的偏导数,且,不同时为零,构造拉格朗日函数,化为求,的无条件极值,其必要条件是:,解此方程组,求出,的驻点,则,是,在条件,下的可能的极值点.,(五)重点提示,本章重点内容: 一是偏导数和全微分的概念以,及它们之间的关系;二是偏导数和全微分的计算,特,别是复合函数的一、二阶偏导数以及隐函数的一、,二阶偏导数的计算；三是多元函数的极值、最值以,及条件极值的概念，求极值，条件极值的方法以及,最值简单应用题（涉及切平面、法线、切线、法平,面等几何方面应用题包含在第十章内）.,例1 求函数,的定义域.,解 第一部分,定义域为,即,或当,时,二、典型例题,第二部分,定义域为,即,两部分的公共区域为,即如图所示的阴影部分.,例2 证明二元函数,在点(0,0)偏,导数存在,但,在(0,0)不连续.,证,但若,沿,趋于(0,0)时,有,不同的k值,存于不同的值,因此当,趋于(0,0)时,故可知该函数,极值不存在,在(0,0)偏导数存在,但不连续.,例3 设,其中职,二阶可导,具有连续的二阶偏导数,求,.,解,故,=,=,.,例4 设变换,可把方程,化简为,其中,具有二阶连续偏导数,求常数,解 因,是以,为中间变量而成为,的函数, 故,代入方程得,按题意，应有,故,例5 求二元函数,在直线,及,轴，,最大值和最小值。,轴所围成的闭域上的,解 先讨论边界上的函数值。,上 ，,上，,上，,代入得,得,时函数,取边界,上的最小值,因此,在,上最小值,最大值为,综上，,在,边界上最大值为0，,最小值,又由,解得,（4，0），（2，1），,在区域,内,惟一驻点为,及点,将,与区域边界函数值比较知：,区域上的最大值为,最小值为,例6 求平面上抛物线,到直线,之间的最短距离.,解 由平面解析几何中点,到,的距离公式,记点,到直线,的距离为,则,现在点,在抛物线,上，故可设拉格朗日函数,为,由方程组中的（1），（2）式消去,，,并以,代入得,得惟一驻点,由于实际问题最短距离,存在，故此抛物线上,即为使距离最短的,点，最短距离为,测 验 题,1、求,的定义域。,2、设函数,求（1）,（2）若,求,（3）若,求,3、设,有二阶连续偏导，求,4、在抛物面,被平面,所截成的椭圆上，求到原点最长和最短的距离.,第六章 一元函数微分学 及其应用,习 题 课,一、主要内容,二、典型例题,一、主要内容及重点提示,（一）不定积分,1. 原函数的概念,已知函 数,，,若存在,使得,或,则称,为,在,区间,内的一个原函数.,2. 不定积分概念,函数,的全体原函数叫做,的不定积分，,记作,若,是,的一个原函数，,则,（c为任意常数，,其中，,称为被积函数，,称为被积表达式，,称为积分变量，,c称为积分常数.,3. 不定积分性质,（1）,或,（这里,（3）,（2）,（,为常数，,（4）,4基本积分公式,基本公式篇幅虽然长一些，但由于它的重要性， 我们还是一一列出.,（1）,是常数）；,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）,（9）,（10）,（11）,（12）,（13）,（14）,（15）,（16）,（17）,（18）,（19）,(20),(21),(22),(23),（24）,注意：以上公式中，,将,换成以,为自变量的函数,仍然成立.,5不定积分的计算,（1）第一换元法则（凑微分法）,设,且,可微，则,（2）,第二换元积分法则,作代换,其中,为单调可微函数，则,第二换元积分常用以下几种代换：, 三角代换：,通过这种代换将根式积分化为三角有,理式积分.,被积函数中含有根式,相应的三角代换, 倒代换：,即令, 若被积函数中含有无理式,为整数），,作代换,（3）,分部积分法 分部积分公式：,（4）,分式有理函数的积分,将被积函数,（如果是假分式的话）,化为整式（即多项式）,与真分式之和，,有理真分式再分解成下列,四种类型的部分分式之和：,然后求不定积分.,（5）,简单无理函数积分,作代换,作代换,（其中,为,的最小公倍数）.,对二次三项式,配方，,积分可化为,或,利用三角代换化为,三角函数有理式的积分.,（6）,三角有理式的积分,分别令,，,若,则,为,的有理函数积分.,一般 的三角有理函数的不定积分，,作代换,此时：,，,总可化为,的有理函数的积分，,（二）定积分,1定积分的概念,设函数,在闭区间,上有定义，,通过“分割取点作和求极限”,四个步骤得,当,时，,存在，且与对区间,上式极限,的分法以及点,的取法无关，,则称,在,上可积.,极限值称为函数,在,上的定积分，,记作：,注意：定积分表示一个数，,这个数取决于积分区间,和被积函数,即,而与积分变量的记号,无关，,2定积分存在的条件,（1）若,在,上连续，,则,在,上可积.,（2）若,在,上有界，,且只有有限个,第一类间断点，则,在,上可积.,3. 定积分的几何意义,若,在,上连续，,则,在数值上表,示由曲线,，,两条直线,与,轴所围成,的曲边梯形的,的代数和，在,下方为负.,面积,轴上方的图形面积为正，,4. 定积分的性质,（1）,为常数）.,（2）,（3）,对积分区间的可加性,当积分区间,被点,分为两个区间,和,时，则有,（4）比较定理 如果,则,仅当,时，,上式等号成立.,（5）,如果在,上，,则,（6）估值定理 设,m及,分别是函数,在区间,上的最大值及最小值，则,（7）积分中值定理 如果函数,在闭区间,上连续，,则在积分区间,上至少存在一个点,使得,它也可写成,平均值公式.,所以也称为,称为函数,在,上的平均值.,*（8）广义积分中值定理 设,在闭区间,上连续，,在,上连续且不变号，,则至少存在一点,，使得,5变上限定积分,（1）,，,称为变上限定积分，它是,上限变量,的函数.,（2）若,在,上连续，,则,，,在,上可导，且,（3）当,在,上可导时，,6牛顿莱布尼兹公式（简称,公式）,若,是,在,上的一个原函数，,则,7定积分的换无法和分部积分法,（1）换元积分法,其中,在,上连续，,在,上单调且,在,上连续.,（2）分部积分法,其中,在,上有连续导数.,（3）熟记下列公式,）,8广义积分,（1）无穷限广义积 分, 设函数,在区间,上连续，取,，,如果极限,存在，,则称此极限为函数,在无穷区间,上的广义积分，记作,即,极限存在则广义积分收敛，反之发散.类似地有,（,为任意常数）., 中公式右边有一个极限不存在，无穷积分发散.,（2）无界函数广义积分（变称瑕积分）,设函数,在,上连续且,，,则,极限存在称为广义积分收敛，否则发散.,类似地有, 中公式右边的两个极限若有一个不存在，,则瑕积分发散.,（三）定积分应用,1定积分的元素法（或称微元法）,如果所求量m与变量,的区间,有关，,对于区间,具有可加性，,并且能在,的任一子区间,上建立所求量m的元素,与函数,及自变量,的微分,之间的关系：,则,就是m的积分表达式.,2.利用定积分求平面图形的面积,（1）平面图形的直角坐标情形 设曲边梯形由,所围成，,其,在区间,上连续，,则曲边梯形面积：,，,或,（2）平面图形的参数方程 由参数方程,确定的曲边梯形的面积为,（3）平面图形的极坐标情形 由两条极经,和,围成的曲边扇形面积为,轴的平面截立体，截面面积为,则此立体体积为,3利用定积分求旋转体的体积v,，,（1）截面面积已知的立体体积 用垂直于,由连续曲线,，,直线,及,轴所围成的曲边梯形绕,轴旋转一周而生成的旋转体体积为,（2）旋转体的体积,由曲线,，,直线,与,轴所围成的曲边梯形，,绕,轴旋转一周而成的旋转体体积为,(3) 旋转体的侧面积 曲线,绕,轴旋转一周所形成的旋转体的侧面积为,4.利用定积分求平面曲线的弧长,其中,在区间,上具有一阶连续导数，,则曲线对应于,到,之间的弧长s为,（2）设平面曲线的参数方程为,其中,上具有连续导数，,在区间,则此曲线对应于,到,之间的一段,弧长s为,（3）设平面曲线的极坐标方程为,其中,在区间,则此曲线对应于,上具有连续导数，,到,之间的一段,弧长s为,（1）利用定积分求变力所做的功 一物体在与,轴方向平行的外力,作用下，沿,轴由,移动到,，力所做功w为,5定积分在物理上的应用,（2）利用定积分求液体的压力 曲边梯形平板,（如图）：,垂直浸入液体中，平板一侧所受的液体压力p为,（其中,为液体的比重）.,（3）利用定积分计算函数的平均值与均方根,在,连续函数,均方根为,上平均值为,（四）重点提示,本章重点是不定积分和定积分的概念，不定积,分和定积分的计算以及定积分的应用，包括不定积,分的基本积分公式，求不定积分、定积分的换元积,分法与分部积分法，变上限定积分函数及其导数；,牛顿莱布尼兹公式，定积分的几何及物理应用.,基本积分公式是计算不定积分的基础，一定要,准确熟记，在记忆过程中可以和第二章的基本导数,公式相对照，换元积分法和分部积分法是求不定积,分的基本方法，要通过学习和练习，总结规律，加,以掌握.,牛顿莱布尼兹公式是定积分计算的理论基础.,但具体计算的基本方法还是定积分的换元法和分部,积分法，应充分掌握.,二、典型例题,例1 计算,解,例2 计算,解 原式,例3 求,解 因为,故原式,例4,计算,解,令,则,原式,例5.,解 令,即,，,则,原式,例6 求,解,对于,应消去根号令,则,故,例7 求,解,例8 已知 的一个原函数是 ,求,解 由已知,所以,以 及 代入即得最后结果.,例9,设,求,解,解,例10 计算,例11 求极限,解,设,处处连续，且,例12 已给函数,求证：,并计算,与,解,所 以,所以,例13 求定积分,解 由于被积函数是,的根式，为了消除，,根式,故可作代换,，,此时,且当 及 时，,有 及 故,例14 求,解,例15 设 在0，1上可导，,且满足,证明：必有一点,使得,成立.,解 令,由于,由积分中值定理在（0，1）内存在 ，使,又,所以,由罗尔定理必有,例16,试求由曲线,及,所,平面图形的面积.,解 作草图如右图,由方程组,解得曲线交点为（0，1）与（-3，-2）.,围成,根据所围平面图形的特点，选 为积分变量 由面积公式,注:此题若选用 为积分变量,计算比较麻烦,由此 可见根据平面图形的特点、合理地选择积分变量 是非常重要的.,例17 求由曲线 与 轴所围成的 平面图形绕 轴及 轴旋转而成的旋转体体积.,解 绕 轴旋转:,绕 轴旋转:,试求:(1) 所围面积;,(2)弧长;,(3)它绕 轴旋转而成的旋转体体积.,解 作草图如右图, 由对称性可知:,例18 设星形线的参数方程为,(2) 弧长,(1),(3) 绕 轴旋转而成的旋转体体积,例19 曲线,绕 轴旋转得一旋转体,它在点,和,之间的体积记为,求 等于何值时,能使,解,所以,因此,解得:,舍去）,即 当,时，,例20 过曲线 上一点 作切线 , 问 取何值时,使该曲线与切线 及 直线 所围成的平面图形(如下图) 面积最小,并求出此最小面积.,解,故,在 点处的切线 的方程为:,即,由面积公式知:,解 得 因 故 时, 取 最小值,最小面积为:,测 验 题,求下列不定积分,1.,2.,3.,4.,5. 已知,求,6. 求定积分,7. 求极限,8. 计算定积分,9. 函数 处处连续，且满足方程,10. 设,计算,证明：存在一点,使,11. 设 在0，1上可微且,12. 计算曲线 ,直线 所围图形面积.,13. 设平面图形由曲线 与该曲线上的 点 处的切线,以及直线 所围成.,14. 求曲线 与 直线 及 所围成图形绕 轴及 轴旋转所产 生的旋转体体积.,第七章 二 重 积 分,习 题 课,一、主要内容,二、典型例题,一、主要内容,1概念,其中,为,，,的直径.,（一）二重积分的概念和性质,几何意义为当,二重积分i在数值上表示以曲面,时，,为顶，以区域d为底的曲顶柱体的体积.,2.二重积分的性质,（1）线性性,（2）区域可加性 如果区域d可分为两个子区域,无公共点，则,（3）比较性 如果,则,（4）估值性 如果,且,为d的面积，,则,且有,（5）中值定理 如果,在闭区域d上连,续，,为d的面积，,则在d内至少存在一点,，,使,特别当,时，,（二）二重积分的计算,1直角坐标系中,面积元素,应根据积分区域的,不同形状，,将二重积分化为不同积分次序的,两种累次积分来计算.,（1）若积分区域d为,（可简称为x型区域，如图），则,（2）若积分区域 d 为,（可简称为y型区域，如图），则,2极坐标中,面积元素,于是,（1）若极点在积分区域d的外部（如 图）,即d为,则,（2）若极点在积分区域d的边界上（如图）,即d为,则,3注意事项,计算二重积时，应注意：,（1）坐标系选取，当积分区域是圆、扇形或环形域，,被积函数含有,或,时，,可考虑选用极坐标系.,邻边分别与两坐标轴平行的矩形时，则二重积分可,化为两个定积分的乘积.,（2）积分次序选取.当选用直角坐标系时，要,考虑积分次序，应根据区域d的形状来确定.特别,是，当被积函数的变量可分离，并且积分区域为两,（3）当积分区域关于,轴（或,轴）对称，而,被积函数关于变量,（或变量,）,为奇或偶,函数时，二重积分的计算可化简.,4.无界区域上的二重积分,在计算无界区域d上的二重积分时，要根据题,目特点选择好光滑曲线,，使得利用此曲线不仅能在,d中划出有界区域,而且要便于积分,的计算，从而,5二重积分的一般换元,设在变换,下，,平面,上的区域d,变换为,平面上的,具有连续偏导数，,且jacobin行列式,则,1求空间立体图形的体积,如空间立体图形,是由两张曲面,（下底），,（三）二重积分的应用,（上底），,且,以及侧面为母线平行,轴