高中数学：利用导数研究函数的单调性课件湘教版选修.ppt

【课标要求】 1理解导数与函数单调性之间的关系 2会利用导数研究函数的单调性 3会求不超过三次的多项式函数的单调区间,43 导数在研究函数中的应用,43.1 利用导数研究函数的单调性,设函数yf(x)在某个区间上的导数为f(x) ，如果 ，那么函数yf(x)递增；如果 ，那么函数yf(x)递减 从导数定义看，函数的导数就是函数值关于自变量的 ，变化率的绝对值越大说明变得越 ，绝对值越小说明变得越 ；从函数的图象看，导数是切线的 ，斜率的绝对值大说明切线陡，曲线也就陡，斜率的绝对值小说明切线较平，曲线也就平缓一些,自学导引,1,f(x)0,f(x)0,2,变化率,快,慢,斜率,提示 可导函数f(x)在(a，b)上递增(减)的充要条件是f(x)0(f(x)0)在(a，b)上恒成立，且f(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于零这就是说，函数f(x)在区间上的单调性并不排斥在区间内的个别点处有f(x)0.,自主探究,可导函数f(x)在(a，b)上递增(减)的充要条件是什么？,若f(x)在a，b上连续且在区间(a，b)内，f(x)0，且f(a)0，则在(a，b)内有 ( ) Af(x)0 Bf(x)f(a)0. 答案 A,预习测评,1,函数f(x)xln x的单调增区间为 ( ) A(，1)，(0，) B(0，) C(1,0) D(1,1) 答案 B,2,函数yx33x的单调递减区间是_ 解析 y3x233(x21)， 令y0，即3(x1)(x1)0，解得1x1. 答案 (1,1) 已知f(x)ax33x2x1在R上是减函数，则a的取值范围为_,3,4,答案 (，3,研究导数函数注意几个关键点： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间 (2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点 (3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间中间一般不能用“”连接，可用“逗号”或“和”字隔开,要点阐释,(4)注意在某一区间内f(x)0(或f(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件如f(x)x3，x0时，f(x)0，但f(x)在R上是增函数 (5)如果函数在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)为常函数如f(x)3，则f(x)30. (6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律上的一个应用，它充分体现了数形结合的思想,(7)一般地，可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意的x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零，特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时，要注意等号是否可以取到,点评 用导数证明函数的单调性(在某区间内f(x)0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件) 根据导数与函数单调性的关系，由f(x)的符号可判定或证明函数f(x)在相应区间上的增减性,题型二 求函数的单调区间,【例2】 求函数f(x)3x22ln x的单调区间,点评 确定函数的单调区间，可利用函数单调性定义，但有时往往比较繁杂，如果函数yf(x)可导，则可借助导数来求函数的单调区间，通常是先求出函数f(x)的导数，然后再解不等式f(x)0或f(x)0确定递增区间和递减区间另外，单调区间一般不能写成并集的形式,2求函数f(x)x22ln x的单调区间,题型三 已知单调性求参数的取值范围,点评 利用导数判断函数的单调性，就要通过先求出导函数，根据已知条件判断导函数在某个区间上的正负这其中，如果含有参数就会用到分类讨论，同时要注意函数的定义域，否则会产生错误的判断 已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间上单调递增(或减)，转化为不等式f(x)0(f(x)0)在区间上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围,若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调函数，求实数m的取值范围,3,已知向量a(x2，x1)，b(1x，t)，若函数f(x)ab在区间(1,1)上是增函数，求t的取值范围 错解一 依题意得f(x)x2(1x)t(x1) x3x2txt ，则f(x)3x22xt. 若f(x)在(1,1)上是增函数，则在(1,1)上f(x)0. 而f(x)0t3x22x在区间(1,1)上恒成立 设函数g(x)3x22x，,误区警示 函数在某区间上的单调性与