卧式储油罐的变位识别与罐容表标定.docx

卧式储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文分析卧式储油罐无变位和有变位时的罐内油位高度与储油量的对应关系，建立了储油量与油位高度的关系模型。通过变位时罐内储油体积与无变位时储油体积的变化差来分析罐体变位后对罐容表的影响。在问题一中：我们针对两端平头的小椭圆型储油罐，首先建立罐体无变位的储油体积关于油位高度的积分模型，通过对横截面积的微分，求出横截面积，对截面积S在Y轴上积分，得出罐内储油体积模型：。然后同样采用数学积分建立罐体变位后储油体积关于油位高度及纵向倾斜角的关系模型：。在分析罐体变位对罐容表的影响时，我们通过建立罐体变位时容积关于变位角度的变化量的关系：，来体现罐体变位对罐容表的影响。然后在精确模型可以求得无变位时的容积和变位角度的变化量的前提下，得到变位后容积的一般模型: 。在计算罐体变位后罐内油面高度间隔为1cm时的罐容表时，我们分别采用精确模型和近似模型计算出理论标定值和近似标定值，同时采用分段二次拉格朗日插值算法根据实际数据计算罐体变位后高度每隔0.01m时对应的标定值，通过比较和误差分析验证了所建立的近似模型的正确性与可行性，从而我们可采用所建立的近似模型来给出高度间隔为0.01m时的罐容表。在问题二中：我们先考虑实际储油罐无变位时的罐内储油量与油位高度的积分模型，将储油罐体积分成圆柱体和两个球缺来计算，得到储油罐体积模型为：。在罐体有变位的储油体积计算时，我们先考虑横向偏转的影响，得到垂直于油面的高度：，从而本问可同样近似采用问题一中所建立的近似计算模型来计算变位后容积。根据附录所给数据，采用MATLAB编程求解，得到纵向倾斜角和横向偏转角度的值为：。最后，通过对近似模型计算得出的理论值与插值法根据实际数据计算出的数值进行相对比较及误差分析检验模型的准确性与合理性，证实了模型是准确可行的，并利用近似模型给出了高度间隔为0.1m的罐容表。关键词：回归分析 插值法 罐容表 近似计算一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口地平线2m6m1m1m3 m油位高度图1 储油罐正面示意图油位探针请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二、模型假设与符号说明2.1模型的假设假设1：不考虑温度、压强对燃油体积的影响假设2：油位探针是始终垂直指向罐底的假设3：油罐体中燃油的进油和出油都是单独进行的假设4：罐体变位后对进/出油流量无影响假设5：罐体内附件体积对罐容量影响可忽略不计假设6：题中所给实验数据真实可靠2.2符号说明由油位探针测出的油位高度有变位油罐体内的实际油高燃油覆盖所达最左端点的Y轴坐标值燃油覆盖所达最右端点的Y轴坐标值储油罐内的油料体积椭圆的长半轴长度椭圆的短半轴长度S无变位储油罐内燃油没过横向截面的面积s平均误差平均相对误差ms最大误差mrs最大相对误差无变位储油罐内油位高度为h时椭圆截面的浮油高度m小椭圆型油罐体内原点到左边椭圆之间的距离n小椭圆型油罐体内原点到右边椭圆之间的距离有变位储油罐在Y轴坐标点为y时的横截面被燃油没过的面积当油位高度为h时截面上的燃油高度储油罐的纵向倾斜角储油罐的横向倾斜角罐体无变位时的储油体积罐体变位时的储油体积u表示e表示R实际油罐体横切面所得圆的半径r实际油罐体中球缺所在球的半径三、问题分析本文要求用数学建模的方法来研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。针对问题一：此问要求我们利用一个小椭圆型储油罐来研究分析罐体变位后对罐容表的影响，并给出该罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。为分析变位对罐容表的影响，我们希望通过探究有变位时与变位角度相关的体积变化量来研究变位对罐容表的影响。为此我们首先用积分法建立模型来求解无变位时的储油体积和有变位时的储油体积，然后通过题中所给实验数据来检验该体积求解模型，最后将有变位时的体积求解模型进行对的微分得出与变位角相关的体积变化量，此变化量即为罐体变位对罐容表的影响。为得出该罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表，我们先用精确模型和近似模型进行计算得出理论标定值和近似标定值，再运用插值算法根据附录中的数据进行计算求解，以此来对比验证两类模型的准确性。 针对问题二：此问首先要求我们建立一个罐体变位后标定罐容表的数学模型，对于该模型的建立我们可沿用第一问中的体积变化量思想，用变位产生的体积变化量与对应的无变位时储油体积之和来求解有变位时的储油体积。然后针对该问用附件2中的部分实验数据求解确定模型的变位参数，并进一步利用其余实际检测数据来检验模型的正确性。最后，我们用两种方法标定罐容表，一种是采用本文所提出的模型，另一种是以实际检测数据用插值法，比较了两种方法给出的罐容表的一致性。四、模型的建立与求解问题一：研究变位对平头椭圆储油罐罐容表的影响，并给出变位后油位高度间隔为1cm的罐容标定值4.1.1模型的建立为了分析两端平头的椭圆柱体罐体变位对罐容量的影响，我们先考虑水平放置时油罐容油量与油位高度之间的关系模型，然后考虑纵向倾斜时储油罐容量与油位高度之间的关系模型。（1）罐体无变位的模型1为便于分析计算，我们以油位探针与罐底的交点为原点O，以油位探针为Z轴，罐底水平线为Y轴，以垂直于YOZ平面且过O点的直线为X轴，建立三维坐标系，如图1中(a)和(b)所示：(a) 在小椭圆油罐内建立坐标系（b）横向椭圆截面的坐标示意图图2无变位小椭圆型罐体的坐标系示意图为建立数学模型，首先可设立如下变量：由油位探针测出的油位高度；：燃油覆盖所达最左端点的Y轴坐标值；：燃油覆盖所达最右端点的Y轴坐标值；：储油罐内的燃油体积；：椭圆的长半轴长度；：椭圆的短半轴长度；S：无变位储油罐内燃油没过横向截面上椭圆的面积；：无变位储油罐内油位高度为h时椭圆截面的浮油高度。（注：无变位时= ）椭圆柱体横向截面椭圆方程为： 当燃油高度为h时罐内的燃油横截面的面积： 对截面积S在Y轴上积分，被积表达式： 积分区间为：得到体积的积分模型： 将S表达式代入，即： （2）罐体有变位的模型1与罐体无变位时一样建立坐标系，如图3中（a）和（b）所示建立三维坐标系：(a)在小椭圆内建立坐标系 （b）横向椭圆截面的坐标示意图图3 有变位小椭圆型罐体的坐标系示意图由于此问中只分析了无变位和纵向变位两种情况，所以这里的变位模型只建立有纵向变位的模型。首先可设立如下变量：h：由油位探针测出的油位高度；：罐体的纵向倾斜角度；m：原点到左边椭圆之间的距离；n：原点到右边椭圆之间的距离；：燃油覆盖所达最左端点的Y轴坐标值；：燃油覆盖所达最右端点的Y轴坐标值；V：储油罐内的储油体积；a：椭圆的长半轴长度；b：椭圆的短半轴长度；：储油罐在Y轴坐标点为y时的横截面被燃油没过的面积；：当油位高度为h时截面上的燃油高度。其中由平面几何知识可得与各截面在Y轴上坐标的关系为： 与无变位时一样，我们对每个横截面被燃油没过的面积求解，有： 对截面积在Y轴上积分得到体积的计算模型： 将的求解公式代入体积模型可得： 这是一个关于h的分段函数。我们分段考虑和的具体取值。我们知道油罐的纵向变位有两种情况，即向左端倾斜和向右端倾斜。由于储油罐是倾斜放置的，因此当燃油油位超过油浮子所测最大范围后，油罐体仍可进油，燃油的储量是不可测的，当油位高度显示为0时，油罐内不一定无油，燃油的储量同样是未知不可测的。若以油位接近油位探针底端为临界点，则罐体向不同的方向倾斜会有不同的最大未知储油值。可知向左倾斜和向右倾斜对油罐罐容标定值有一定的影响。下面我们分别讨论向左、向右倾斜的情况。罐体向左倾斜由图4可得只有当燃油表面介于L1L4之间时模型才可求解： 当罐体内油位垂直高度低于直线L1，即hr时的图形 (b)高度hr时的图形图19 横向偏转后的高度关系图图中的油位探针高度h=AB，实际高度=MN，横向偏转角度为b，横切面圆的半径为r，由图易得: (a)当高度时：=。(b)当高度时：。因为在两种高度下得出的表达式，所以无论探针油位高度为多少都有：。 此时的为竖向截面内垂直高度，因此可先考虑横向偏转的影响，在求得的基础上转而只求竖向变位的影响。4.2.4有变位的储油体积计算模型由问题一求得的的实验小椭圆型储油罐体积计算模型可知：变位时体积的变化量是一个与高度h 和纵向倾斜角度有关的函数关系式，此时只要求得体积关于的变化量，我们便可从罐体无变位时的容积出发求得罐体有变位时的容积。由问题一中求得的变位后的容积关于和的一般模型为：在本问题中，虽然条件有所改变，但与和的相关关系仍然存在，因此我们同样可延用问题一中的模型来近似计算变位后的容积；不过此时用和u作为参数来求得与和的关系。令，可以得到： 4.2.5 模型求解据附表二前半部分出油的数据，对式进行回归分析，用MATLAB编程求得各项系数的值为（程序见附录八）： 由 得由 得因此可建立关于的回归模型为：进一步可利用此模型，通过MATLAB编程（程序见附录八），据附表二倾斜变位的出油数据，可绘出相同高度下关于油体积的理论值和实际值图形如图20：图20由图形可知：理论值与实际值相当吻合，从而说明了模型的可行性与准确性。4.2.6 给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值我们根据附录中给出的罐体变位后油面高度及油料容积值数据，先利用求得的近似模型计算出油位高度每隔0.1m对应的油料容积，再应用三点拉格朗日插值法计算出油位高度每隔0.1m对应的油料容积，采用MATLAB求解，将计算出的数据绘制成曲线，其结果如图21和图22所示。（数据见附录二，程序见附录九和附录十）图21图22由式，可得：平均误差：平均相对误差：最大误差：最大相对误差：由图形和误差分析可知， 插值算法与近似模型算得的结果近似一致，两者差值保持在一个很小的范围内，从而再一次验证了近似模型的准确性。4.2.7给出罐容表在已验证近似模型较为准确的情况下，我们利用近似模型来给出罐容表。通过MATLAB编程求得罐容表油高/mm0100200300400500600700800900容积/L0591016823102478366828768110131339515893油高/mm1000110012001300140015001600170018001900容积/L18488211632390126686295013233235163379794076443501五、模型的评价与推广5.1模型的评价在问题一中我们首先建立无变位时的体积求解模型，再建立有变位时的体积求解模型，而无变位时的体积求解模型即为有变位时=0的特殊情况，模型建立具有一定的连贯性和综合性，并结合实验数据对模型进行检验验证了我们体积求解模型的准确性。我们直接用与变位角相关的体积变化量表示变位对罐容表的影响，对其影响的反映准确明了。但在模型建立时我们忽略了罐体内附件体积及温度、压强等对储油体积的影响，而实际中这些因素都是对其有影响的，因而会产生一定的误差。在问题二中，我们先建立求解实际储油罐无变位时储油体积，然后沿用问题一中的模型来近似计算变位后的容积，采用拟合，得到变位参数与变位后体积变化量之间的函数关系。对某一高度，用变位时体积变化量与对应无变位时储油体积之和来表示有变位时总的储油体积。该近似算法与用积分计算的模型相比，避免了繁冗复杂的计算，思路简单，可操作性强，并结合第二问中的实验数据进行参数确定和模型检验，检验结果很好地验证了我们模型的准确性。5.2模型的推广 该模型是一个解决储油罐变位后油量体积计算的模型，适用于各种封头形式的卧式容器无变位和变位后不同液面高度的体积计算。该模型同样适用于土方等体积的计算。六、参考文献1 高纯一，周勇，高等数学，复旦大学出版社，2006。2 颜庆津，数值分析M，北京：北京航空航天大学出版社，2000年。3 王郑耀，卧式加油罐剩余油料体积的计算，西安交通大学，2004-8-8。附录一(问题一中的罐容表)油高/mm容积/L油高/mm容积/L油高/mm容积/L油高/mm容积/L097.859310623.26201798.29303138.51089.983320654.556301840.994031802086.653330686.486401883.79503221.13086.314340718.976501926.79603261.94088.401350752.016601969.99703302.45092.584360785.596702013.19803342.46098.636370819.676802056.59903382.170106.39380854.26690210010003421.480115.71390889.337002143.510103460.290126.5400924.877102187.210203498.6100138.66410960.877202230.910303536.4110152.11420997.317302274.610403573.7120166.794301034.27402318.410503610.3130182.644401071.47502362.210603646.4140199.64501109.1760240610703681.8150217.634601147.27702449.810803716.5160236.684701185.67802493.610903750.4170256.724801224.47902537.411003783.4180277.74901263.68002581.111103815.6190299.5950013038102624.811203846.8200322.365101342.88202668.411303876.9210345.975201382.98302711.911403905.9220370.415301423.38402755.311503933.5230395.6454014648502798.611603959.7240421.6455015058602841.711703984.2250448.385601546.28702884.711804006.6260475.845701587.68802927.511904026.52705045801629.38902970.212004051.6280532.845901671.29003012.6290562.336001713.49103054.8300592.466101755.79203096.8附录二（问题二中的罐容表）油高/mm0100200300400500600700800900容积/L0591016823102478366828768110131339515893油高/mm1000110012001300140015001600170018001900容积/L18488211632390126686295013233235163379794076443501附录三：（图5程序）%无变位的罐容表的制定及其误差分析clearclch=0.159020.176140.192590.20850.223930.238970.253660.268040.282160.296030.309690.323150.336440.349570.362560.375420.388160.400790.413320.425760.438120.45040.462620.474780.486890.498950.510970.522950.53490.546820.558720.570610.582480.594350.606220.618090.629960.641850.653750.665670.677630.678540.690530.690820.702850.714910.727030.739190.751420.76370.764160.776530.788990.801540.814190.826950.839830.852840.8660.879320.892820.892840.906530.920450.934610.949050.96380.978910.994431.01041.0271.04421.06241.08161.10231.12531.15241.1935;v1=322.88374.63426.36478.13529.85581.61633.35685.08736.85788.58840.33892.06943.8995.541047.31099.11150.81202.61254.313061357.81409.51461.215131564.71616.51668.217201771.71823.51875.219271978.72030.42082.221342185.72237.42289.22340.92392.72396.62448.42449.62501.42553.12604.92656.62708.327602761.92813.72865.42917.22968.93020.73072.43124.13175.93227.63279.43279.53331.23382.93434.73486.43538.23589.93641.73693.43745.13796.93848.63900.43952.14003.94055.64107.4;h=h./1000;for i=1:78v(i)=4361/6000*(-25*h(i)2+30*h(i)(1/2)*h(i)-4361/10000*(-25*h(i)2+30*h(i)(1/2)+13083/10000*asin(5/3*h(i)-1)+13083/20000*pi;endv=v.*1000;v1=v1+262;v=v;s1=v-v1;s2=(v-v1)./v;s=sum(s1)/length(s1),ms=max(v)-max(v1)rs=sum(s2)/length(s2),rms=ms/max(v1)plot(h.*1000,v,r-);hold onplot(h.*1000,v1,bo);xlabel(h/mm)ylabel(v/L)title(无变位进油)legend(理论值,实际值)附录四：（图6程序）%纵向变位的罐容表的制定及其误差分析clearclch= 411.29423.45438.33450.54463.9477.74489.37502.56514.69526.84538.88551.96564.4576.56588.74599.56611.62623.44635.58646.28658.59670.22680.63693.03704.67716.45727.66739.39750.9761.55773.43785.39796.04808.27820.8832.8844.47856.29867.6880.06892.92904.34917.34929.9941.42954.6968.09980.14992.411006.31019.11034.21035.4;v1= 962.861012.91062.91112.91162.91212.91262.91312.81362.81412.71462.71512.71562.71612.71662.71712.71762.71812.71862.71912.71962.72012.72062.72112.72162.72212.72262.72312.72362.72412.72462.72512.72562.72612.72662.72712.72762.72812.72862.72912.72962.73012.73062.73112.73162.73212.73262.73312.73362.73412.73462.73512.73514.7;h=h./1000;v=-22250./6453.*(2.*h.4.*(-(29397./200000-h).*(269397./200000-h).(1./2)-2.*h.4.*(-(-717./25000-h).*(29283./25000-h).(1./2)+149397./25000.*h.3.*(-(-717./25000-h).*(29283./25000-h).(1./2)+4410119304793773./1000000000000000.*h.*(-(-717./25000-h).*(29283./25000-h).(1./2)+724512267./156250000.*h.2.*(-(29397./200000-h).*(269397./200000-h).(1./2)-74158390827./10000000000.*h.2.*(-(-717./25000-h).*(29283./25000-h).(1./2)-13731411646280079./195312500000000000.*(-(29397./200000-h).*(269397./200000-h).(1./2)-4520627903187./1953125000000.*h.*(-(29397./200000-h).*(269397./200000-h).(1./2)-385641./312500.*atan(14283./25000-h)./(-(-717./25000-h).*(29283./25000-h).(1./2).*(-(-717./25000-h).*(29283./25000-h).(1./2).*(-(29397./200000-h).*(269397./200000-h).(1./2)-948591./5000000.*i.*log(-1./5.*i.*3.(1./2).*5.(1./2).*(-(-717./25000-h).*(29283./25000-h).(1./2).*(-(29397./200000-h).*(269397./200000-h).(1./2)-14283./3125.*h.3.*(-(29397./200000-h).*(269397./200000-h).(1./2)+948591./5000000.*i.*log(1./5.*i.*3.(1./2).*5.(1./2).*(-(-717./25000-h).*(29283./25000-h).(1./2).*(-(29397./200000-h).*(269397./200000-h).(1./2)+4033719./2500000.*atan(149397./200000-h)./(-(29397./200000-h).*(269397./200000-h).(1./2).*(-(-717./25000-h).*(29283./25000-h).(1./2).*(-(29397./200000-h).*(269397./200000-h).(1./2)+54./25.*h.*atan(14283./25000-h)./(-(-717./25000-h).*(29283./25000-h).(1./2).*(-(-717./25000-h).*(29283./25000-h).(1./2).*(-(29397./200000-h).*(269397./200000-h).(1./2)-54./25.*h.*atan(149397./200000-h)./(-(29397./200000-h).*(269397./200000-h).(1./2).*(-(-717./25000-h).*(29283./25000-h).(1./2).*(-(29397./200000-h).*(269397./200000-h).(1./2)-404838731763075304881./800000000000000000000.*(-(-717./25000-h).*(29283./25000-h).(1./2)./(-(-717./25000-h).*(29283./25000-h).(1./2)./(-(29397./200000-h).*(269397./200000-h).(1./2);v=v.*1000;v1=v1+215;s1=v-v1;s2=(v-v1)./v;s=sum(s1)/length(s1),ms=max(v)-max(v1)rs=sum(s2)/length(s2),rms=ms/max(v1)plot(h.*1000,v,r-);hold onplot(h.*1000,v1,bo);xlabel(h/mm)ylabel(v/L)title(有变位进油)legend(理论值,实际值)附录五（图7 8程序）%用近似模型制定纵向变位的罐容表及其误差分析clearclch=;v1=747.86797.861847.731897.73;h=h./1000;for i=1:length(h) v(i)=4361/60