北京西城区2018年高三(上)期末数学理科.doc

北京市西城区北京市西城区 20172017 20182018 学年度第一学期期末学年度第一学期期末 高三数学（理科）参考答案及评分标准高三数学（理科）参考答案及评分标准 2018.1 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 1A 2D 3C 4D 5D 6C 7B 8C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. . 9 10， 11( 1,1) 3 2n 31 4 13 12 13 14；836 1 ,) 4 1 ,1 2 注：第注：第 1010，1414 题第一空题第一空 2 2 分，第二空分，第二空 3 3 分分. . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分. . 其他正确解答过程，请参照评分标准给分其他正确解答过程，请参照评分标准给分. . 15 （本小题满分 13 分） 解：（）因为 2 ( )2sincos(2) 3 f xxx 4 分 1cos2(cos2cossin2sin) 33 xxx 5 分 33 sin2cos21 22 xx ， 7 分 3sin(2)1 3 x 所以的最小正周期 8 分( )f x 2 2 T （）因为 ， 0 2 x 所以 10 分 2 2 333 x 当 ，即时， 11 分取得 2 32 x 5 12 x ( )f x 最大值为 13 分 31 16 （本小题满分 13 分） 解：（）记事件 A 为“从表 1 的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于 7:00”， 1 分 在表 1 的 20 个日期中，有 15 个日期的升旗时刻早于 7:00， 所以 3 分 153 (A) 204 P （）X 可能的取值为 4 分0,1,2 记事件 B 为“从表 2 的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于 7:00”， 则 ， 5 分 51 (B) 153 P 2 (B)1(B) 3 PP ； ； 4 (0)(B)(B) 9 P XPP 1 2 114 (1)C ( )(1) 339 P X 8 分 1 (2)(B)(B) 9 P XPP 所以 X 的分布列为： X012 P 4 9 4 9 1 9 10 分 4412 ()012 9993 E X 注：学生得到 X ，所以，同样给分 1 (2, ) 3 B 12 ()2 33 E X （） 13 分 22 * ss 17 （本小题满分 14 分） 解：（）因为 平面，所以 1 分AB 11 AAC C 1 ACAB 因为 三棱柱中，所以 四边形为菱形， 111 ABCA B C 1 AAAC 11 AAC C 所以 3 分 11 ACAC 所以 平面 4 分 1 AC 1 ABC （）因为 ，平面，所以 平面 5 分 11 /A A B B 1 A A 11 BB C C 1 /A A 11 BB C C 因为 平面平面，所以 6 分 1 AA EF 11 BB C CEF 1 /A A EF 因为 平面平面，/ABC 111 ABC 平面平面，平面平面， 1 AA EF ABCAF 1 AA EF 1111 A B CA E 所以 7 分 1 /AE AF 所以 四边形为平行四边形 8 分 1 AA EF （）在平面内，过作 11 AAC CAAzAC 因为 平面， AB 11 AAC C 如图建立空间直角坐标系 9 分Axyz- 由题意得，(0,0,0)A(2,0,0)B(0,2,0)C 1(0,1, 3) A 1(0,3, 3) C 因为 ，所以 ， 2 3 BF BC 24 4 (,0) 33 3 BFBC 所以 2 4 ( ,0) 3 3 F 由（）得平面的法向量为 1 ABC 1 (0,1,3)AC 设平面的法向量为， 1 AC F( , , )x y zn 则 即 1 0, 0, AC AF n n 330, 24 0. 33 yz xy 令，则，所以 11 分1y 2x 3z ( 2,1,3) n 所以 13 分 1 1 1 |2 |cos,| 2 | AC AC AC n n n 由图知 二面角的平面角是锐角， 1 BACF 所以 二面角的大小为 14 分 1 BACF45 18 （本小题满分 13 分） 解：（）当时，1a ( )esin1 x f xx 所以 2 分( )e (sincos ) x fxxx 因为 ， 4 分(0)1 f (0)1f 所以曲线在点处的切线方程为 5 分( )yf x(0,(0)f1yx （） 6 分( )e ( sincos ) ax fxaxx 由 ，得 7 分( )0fxsincos0axx 因为 ，所以 8 分0a ( )0 2 f 当 时， 由 ， 得 (0,)(,) 22 xsincos0axx 1 tanx a 所以 存在唯一的， 使得 9 分 0 (,) 2 x 0 1 tanx a 与在区间上的情况如下：( )f x( )fx(0,) x 0 (0,)x 0 x 0 (, )x ( )fx +0 ( )f x 极大值 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减 11 分( )f x 0 (0,)x 0 (, )x 因为 ， 12 分 0 2 0 ()( )e1e10 2 a f xf 且 ，(0)()10ff 所以 在区间上恰有 2 个零点 13 分( )f x0, 19 （本小题满分 14 分） 解：（）由题意得 ， 所以 2 分2a 3 2 c e a 3c 因为 ， 3 分 222 abc 所以 ， 4 分1b 所以 椭圆的方程为 5 分C 2 2 1 4 x y （）若四边形是平行四边形，PAMN 则 ，且 . 6 分/PA MN| |PAMN 所以 直线的方程为，PA(2)yk x 所以 ， 7 分(3, )Pk 2 |1PAk 设， 11 (,)M x y 22 (,)N xy 由 得， 8 分 22 3, 44, ykx xy 22 (41)8 380kxkx 由，得 0 2 1 2 k 且， 9 分 12 2 8 3 41 k xx k 12 2 8 41 x x k 所以 . 22 121 2 |(1)()4MNkxxx x 10 分 2 2 22 6432 (1) (41) k k k 因为 ， 所以 | |PAMN 2 22 22 6432 (1)1 (41) k kk k 整理得 ， 12 分 42 1656330kk 解得 ，或 13 分 3 2 k 11 2 k 经检验均符合，但时不满足是平行四边形，舍去0 3 2 k PAMN 所以 ，或 14 分 3 2 k 11 2 k 20 （本小题满分 13 分） 解：（） 3 分 注：只得到 或只得到 给 1 分，有错解不给分 （）当时，设数列中出现频数依次为，由题意3m n A1,2,3 123 ,q q q1 (1,2,3) i qi 假设，则有（对任意） ， 1 4q 12st aaaa2st 与已知矛盾，所以 1 4q 同理可证： 5 分 3 4q 假设，则存在唯一的，使得 2 1q 1,2, kn2 k a 那么，对，有 （两两不相等） ，, s t 1 12 kst aaaa , ,k s t 与已知矛盾，所以 7 分 2 2q 综上：， 132 4,4,2qqq 所以 8 分 3 1 20 i i Siq （）设出现频数依次为1,2,2018 122018 ,.,q qq 同（）的证明，可得，则 12018 4,4qq 22017 2,2qq2026n 取， ，得到的数列为： 1201822017 4,2qqqq1,3,4,5,2016 i qi 10 分:1,1,1,1,2,2,3,4,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018 n B 下面证明满足题目要求对，不妨令， n B,1,2,2026i j ij aa 如果或，由于，所以符合条件；1 ij aa2018 ij aa 12018 4,4qq= 如果或，由于，1,2 ij aa2017,2018 ij aa 12018 4,4qq= 22017 2,2qq= 所以也成立； 如果，则可选取；同样的，如果，1,2 ij aa2,1 stj aaa2017,2018 ij aa 则可选取，使得，且两两不相等；