数字信号处理习题与解答.pdf

1 第一章第一章 习题解答习题解答 2 1-4 、求下列序列的卷积和、求下列序列的卷积和 12 ( )( )( )y nx nx n 12 ( )(0.3)( ),( )(0.5)( ) nn x nu nx nu n （1） 12 ( )1, 2, 0,1,( )2,2, 3x nx n 12 ( )(2),( )(3)x nu nx nu n （2） （ ） （3） 12 ( )( )() m y nx mx nm 1 1 (0.6) (0.5) ( ) 1 0.6 n n u n (0.3)( ) (0.5)() mn m m u mu nm 53 (0.5)(0.3) ( ) 22 nn u n 0 (0.5) (0.6) ( ) n nm m u n （1）直接代入卷积公式，有）直接代入卷积公式，有【解】【解】 3 1-4 、求下列序列的卷积和、求下列序列的卷积和 12 ( )( )( )y nx nx n 12 ( )1, 2, 0,1,( )2,2, 3x nx n （2） （2）列不进位竖式乘法，有）列不进位竖式乘法，有 ( ) 2, 6, 7, 8, 2, 3y n 【解】【解】 4 1-4 、求下列序列的卷积和、求下列序列的卷积和 12 ( )( )( )y nx nx n 12 ( )(2),( )(3)x nu nx nu n （3） （3）直接代入卷积公式，有）直接代入卷积公式，有 12 ( )( )() m y nx mx nm 3 2 1 (1) n m u n (2)(3) m u mu nm (1)nu n 或者，由已知公式或者，由已知公式( )* ( )(1) ( )( )u nu nnu nr n (2)* (3)(1)( ) (1)u nu nr nn u n 有 【解】 有 【解】 5 第二章第二章 习题解答习题解答 6 补充题补充题1抽样定理抽样定理 0.25,| 4 () 0,4| H j )5cos()2cos()(tttxa )(txa )(txasT25. 0 )(txa )(txa()H j 对 进行理想取样，取样间隔 ,得到 对 进行理想取样，取样间隔 ,得到 , 再让 通过理想低通滤波器 ，其中： 设： ，要求： （ 再让 通过理想低通滤波器 ，其中： 设： ，要求： （1）写出 的表达式； （ ）写出 的表达式； （2）求出理想低通滤波器的输出信号 。）求出理想低通滤波器的输出信号 。 )(tya n aaa nTttxtptxtx)()()()()( n a nTtnTnTtx)()5cos()2cos()( （1） 7 )( jX a )(txa)( jX a )(txa （2）（2）如下图所示， 为 的频谱， 为 的频谱； 如下图所示， 为 的频谱， 为 的频谱； )( jX a 3 05 )( jX a 3 058 )( jG 85 1r 1r 4 )3cos()2cos()(tttya )(txa()H j 由图可知， 通过 后其输出信号为：由图可知， 通过 后其输出信号为： 8 sin(5/2) sin(/2) 2 5 4 5 6 5 8 5 2 2 2 5 4 5 6 5 8 5 2 5 )( 2 2 1/N)-(1 1/N)-(1- )(arg N 2 2-1 试求矩形序列试求矩形序列x(n)=R5 (n)的频谱，并作图。的频谱，并作图。 1 2 sin() 2 () 1 sin() 2 N j j N X ee 【解】【解】 9 ( )x n2.2、已知 、已知 的傅里叶变换为 0 0 0,0 | () 1,| j X e 试求其所对应的信号试求其所对应的信号( )x n j HP(e ) H 0 0 【解】【解】 该信号是高通滤波器该信号是高通滤波器 0 0 111 ( )() 222 jjnjnjn x nX eededed 00 0 11 sinsin 2 jnjnj nj n eeeenn njn 00 00 ()()( )()SanSannSan 不可略不可略 10 2.14、连续时间信号 ，现用、连续时间信号 ，现用( )2cos(140) 4 x tt 100 s fHz的抽样频率对该信号进行抽样，并利用 的抽样频率对该信号进行抽样，并利用 DFT近似计算信号的频谱，谱线将出现在何处？近似计算信号的频谱，谱线将出现在何处？ 【解】【解】 信号频率为信号频率为 0 70fHz 抽样频率为抽样频率为100 s fHz 不满足抽样定理不满足抽样定理! 折叠频率为折叠频率为 /250 s ffHz 超出该频率的频率分量将被折叠，谱线出现在超出该频率的频率分量将被折叠，谱线出现在: 0 1007030 s fffHz 11 补充题补充题2DTFT的性质的性质 )( 2 1 sin)( jjj I ee j eH 1 ( )()()( ) 2 jjjj n oIo n DTFT h njHeeeh n e 1, 2 1 0, 0 1, 2 1 )( n n n nho others n n nnh nnh n nh o , 0 1, 1 0, 1 0),(2 0),( 0, 0 )( 2 cos21)()( 2/ jj n njj eeenheH sin)( j I eH)( j eH 若序列若序列h(n)是实因果序列，是实因果序列，h(0)=1，其，其DTFT的虚部为的虚部为: ，求序列，求序列h(n)及其及其DTFT 。 【解】【解】 12 补充题补充题3数字频率映射数字频率映射 设设H(z)为截止频率为为截止频率为c = /2的理想低通滤波器，试 画出系统 的理想低通滤波器，试 画出系统G(z)=H(z2)的幅度响应。的幅度响应。 n n zngzG )()( m m m n n zmhznhzH 的整数倍是2 22 )2/()()( 其他， 为整数 0 ,2),2/( )( mmnnh ng 【解】【解】 对比有，对比有，g(n)是是h(n)的内插序列，的内插序列， 13 在频域上， ，则在频域上， ，则)()( 2 zHzG)()( 2jj eHeG 故将原序列的频谱压缩故将原序列的频谱压缩2倍即可得倍即可得2倍内插序列的频谱。倍内插序列的频谱。 )( j eH 2/ 2/ )( j eG 2/ 2/ 22 14 第三章第三章 习题解答习题解答 15 j ez ( )X s ZT ( )X z() j X e DTFT ( )X k DFT sT ze k N zW 2 k N 16 3-2 设 ， ，试求 并作图表示 、。 设 ， ，试求 并作图表示 、。 )()( 4 nRnx 6 )()( nxnx )( kX )( nx)( kX 【解】【解】 55 2 6 6 00 ( )( )( ) jnk nk nn X kx n Wx n e 2 33 1 jkjk j k eee 计算求得计算求得 (0)4 ; (1)3 ; (2)1 ; (3)0 ; (4)1 ; (5)3 XXjX XXXj 。 法一：直接用法一：直接用DFT定义求 法二：根据 定义求 法二：根据DTFT与与DFT关系求关系求 1 2 sin(/2) ( ) sin(/2) N j DTFT N N Rne 17 -2-101234 0 1 2 3 4 w/pi amplitude -2-101234 -4 -2 0 2 4 w/pi angle 3 2 4 sin(2 ) ( ) sin(/2) j DTFT R ne 1 2 2 6 2 sin() 3 ( )() 1 sin() 6 jk j k k X kX ee k 则有： 然后： 则有： 然后： 0,1,5k 代入 即得：代入 即得： (0)4 ; (1)3 ; (2)1 ; (3)0 ; (4)1 ; (5)3 XXjX XXXj 。 18 n nn nx 其它，0 40, 1 )()2()( 4 nRnh 6 )()( nxnx 6 ( )( )h nh n )( nx)( nh 3-3 设，令 ， ，试求和的 周期卷积并作图。 设，令 ， ，试求和的 周期卷积并作图。 【解】【解】( )1,2,3,4,5,0x n ( )0,0,1,1,1,1h n 以以N=6为周期的周期卷积列表为为周期的周期卷积列表为 h(3-m)01101y(3)=81 h(4-m)00111y(4)=61 h(5-m)10011y(5)=101 19 0 ( )14, 12, 10, 8, 6, 10 n y n 6 ( )( )y ny n 或者，利用圆周卷积和线性卷积的关系或者，利用圆周卷积和线性卷积的关系 ( )0, 0, 1, 3, 6, 10, 14, 12, 9, 5, l y n ( )()( ) lL r y ny nrLR n 20 补充题、求补充题、求 22 ( )cos(3 )3sin(5 ) 1616 X kkjk 的的16点离散傅立叶反变换点离散傅立叶反变换x(n)。 2222 3355 16161616 13 ( ) 22 jkjkjkjk X keeee ( )( ) NDFT N nRk 点 2 DFT ()( )( ) jmk N N NN x nmRneX k 点 1616161616 13 ( ) (3)(3) (5)(5) ( ) 22 x nnnnnRn 13 ( ) (13)(3) (11)(5) 22 x nnnnn 已知 由时移性质 已知 由时移性质 【解】【解】 23 3-9 设有两个序列 各作 设有两个序列 各作15点点DFT，然后将两个，然后将两个DFT相乘，再求乘积的 相乘，再求乘积的 IDFT，设所得结果为，设所得结果为f (n)，问，问f (n)的哪些点（用序号的哪些点（用序号n 表示）对应于表示）对应于x(n)*y(n)应该得到的点。应该得到的点。 n 0, 5n0 ),( )( 其他 nx nx n 0, 14n0 ),( )( 其他 ny ny n=0到到n=4(=N-L-1)这这5点处发生混叠，即点处发生混叠，即f (n)中只有 中只有 n=5到到n=14的点对应于的点对应于x(n)*y(n)应该得到的点应该得到的点. 【解】【解】 24 3-11 已知序列已知序列x(n)是有限长序列，是有限长序列，X(k)=DTFTx(n)，现 将它变成 ，现 将它变成rN点的有限长序列点的有限长序列y(n) 1 , 0 10 ),( )( rNnN Nnnx ny 试求试求DFTy(n)(rN点点DFT)与与X(k)的关系。的关系。 1 0 )()()( N n nk N WnxnxDFTkX 1 0 )()()( rN n nk rN WnynyDFTkY 1 0 )( N n nk rN Wnx 1 0 )( N n r k n N Wnx )( r k X 1, 2 , 1 , 0Nk 1, 2 , 1 , 0rNk 【解】【解】 25 3-12 已知序列已知序列x(n)是有限长序列，是有限长序列，X(k)=DTFTx(n)，现 将 ，现 将x(n)的每两点之间补进的每两点之间补进r-1个零值点，得到一个个零值点，得到一个rN点的 有限长序列 点的 有限长序列y(n) n Niirnrnx ny 其他 , 0 1, 1 , 0, ),/( )( 试求试求rN点点DFT 与与X(k)的关系。的关系。 1 0 )()()( N n nk N WnxnxDFTkX 1 0 )()()( rN n nk rN WnynyDFTkY 1 0 )/( rN n nk rN Wrnx 1 0 )( N n ik N Wix 1, 2 , 1 , 0Nk 1, 2 , 1 , 0rNk 1 0 )/( N n irk rN Wrirx )()()(kRkXkY rNN 故故 【解】【解】 26 28 3-14 设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂， 假设没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力 的整数幂， 假设没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力10Hz，如 果采用的抽样时间为 ，如 果采用的抽样时间为0.1ms 试确定：试确定： (1)最小记录长度；最小记录长度； (2)所允许处理的信号的最高频率；所允许处理的信号的最高频率； (3)在一个记录中的最小点数。在一个记录中的最小点数。 【解】【解】 0 0 1 F T (1)HzF10 0 且且 sT1 . 0 10 1 0 最小记录长度为最小记录长度为0.1s； (2) Hz T fs 4 3 10 101 . 0 11 kHz f f s h 5 2 所允许处理的信号最高频率为所允许处理的信号最高频率为5kHz； (3) 1000 10 102 4 0 F f N h N取取1024。 32 00.20.40.60.811.21.41.61.82 0 2 4 6 w/pi |X1(ej)| 00.20.40.60.811.21.41.61.82 -1 -0.5 0 0.5 1 w/pi argX1(ej)/pi 3.16 设，求设，求 )()( 51 nRnx (1) ,画出它的幅频特性和相频特性画出它的幅频特性和相频特性)()( 11 nxDTFTeX j 1 2 2 1 sin() sin(5/2) 2 () 1 sin(/2) sin() 2 N j jj N X eee 33 00.20.40.60.811.21.41.61.82 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 3.16 设，求设，求 )()( 51 nRnx (2) ,画出它的幅频特性画出它的幅频特性 )()( 11 nxDFTkX 2 11 5 5,0 ( )() 0, j k k X kX e otherwise 34 00.20.40.60.811.21.41.61.82 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 3.16 设，求设，求 )()( 51 nRnx (3) ,画出它的幅频特性画出它的幅频特性 4 10 2 21 10 sin(/2) ( )() sin(/10) jk j k k XkX ee k )()()( 101012 nRnxDFTkX 35 00.20.40.60.811.21.41.61.82 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 3.16 设，求设，求 )()( 51 nRnx (4) ,画出它的幅频特性画出它的幅频特性)()() 1()( 101013 nRnxDFTkX n 2 5 5 10 3222102 ( )( 1)( )()( )( )( ) jn njnn x nx nex nex nWx n 321010 ( )(5)( )XkXkRk 由频移公式由频移公式 36 3.16 设，求设，求 )()( 51 nRnx (5) )()( 24 kXIDFTnx ep 由共轭对称性质由共轭对称性质 Re ( )( ) DFT ep x nXk 有有 422 ( )Re( )( )x nx nx n 211010 ( )( )( ) 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0 x nxnRn 其中其中 37 3.16 设，求设，求 )()( 51 nRnx (6) )(Im)( 25 kXIDFTnx 由共轭对称性质由共轭对称性质( )Im( ) DFT op xnjX k 有有 521010 11 ( )( ) ( )(10) ( ) 2 11111111 0,0, 22222222 op x nxnx nxnRn jj jjjjjjjj 38 3-18 已知序列 ，现对已知序列 ，现对10),()(anuanx n 的的z变换在单位原上作变换在单位原上作N等分抽样，抽样值为等分抽样，抽样值为 )( )()(nRrNnxkXIDFT N r )(nx k N j k N eWz zXkX 2 | )()( 试求有限长序列 ，试求有限长序列 ，N点。点。)(kXIDFT )( )(nRrNnua N r rNn 【解】【解】 39 0 ( )( ) ( ) 1 n rN NN r n N N xnaRn a Rn a )( )()(nRrNnuanx N r rNn N 42 补充题补充题 一个一个10点的矩形窗序列点的矩形窗序列x (n)=R10 (n)和一个和一个3点的 矩形窗序列 点的 矩形窗序列 h (n)=R3 (n)。 （ 。 （1）计算）计算x(n)和和h(n)的的10点圆卷积点圆卷积y1 (n)。 （ 。 （2）分段，每段取点）分段，每段取点L=5，用重叠相加法求，用重叠相加法求x(n) 和和h(n)的线性卷积的线性卷积y2 (n)。 （ 。 （3）分段，每段取点）分段，每段取点L=5，用重叠保留法求，用重叠保留法求x(n) 和和h(n)的线性卷积的线性卷积y3 (n)。 43 则则x(n)和和h(n)的的10点圆周卷积为点圆周卷积为 110 ( )(10 )( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 r y ny nrRn 【解】【解】 （1）x(n)和和h(n)的线性卷积为的线性卷积为 ( )( )( ) 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 y nx nh n 44 （2） 1 0 ( ) 1 1 1 1 1 n x n 2 5 ( ) 1 1 1 1 1 n x n 21 0 ( ) 1 2 3 3 3 2 1 n yn 22 5 ( ) 3 3 3 2 11 2 n yn 则有则有 21112 ( )( )( ) 1 2 3 3 3 3 3 3 3 2 31 y nynyn 45 （3） 1( ) 1 1 1 0 1 0 1x n 2( ) 1 1 1 11 1 1 x n 3( ) 0 0 0 01 0 1x n 31( ) 2yn 1 1 2 3 3 3 32( ) 3yn 3 3 3 3 3 3 33( ) 1yn 2 2 1 0 0 0 3( ) 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1y n 46 第四章第四章 习题解答习题解答 47 画出画出N=8时基时基-2时抽时抽FFT流图，并计算流图，并计算R8 (n)的的DFT。 0 8 1W 0 8 1W 0 8 1W 0 8 1W 0 8 1W 0 8 1W 1 8 2 (1) 2 Wj 0 8 1W 3 8 2 (1) 2 Wj 2 8 Wj 2 8 Wj 2 8 Wj 48 画出画出N=8时基时基-2频抽频抽FFT流图，并计算流图，并计算R8 (n)的的DFT。 x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) 1 1 1 WN0 WN1 WN2 WN3 1 1 1 WN0 WN2 1 1 WN0 WN2 1 WN0 1 WN0 1 WN0 1 WN0 X(0) X(4) X(2) X(6) X(1) X(5) X(3) X(7) 49 第五章第五章 习题解答习题解答 50 5-5 描述描述LSI系统的差分方程为系统的差分方程为 )() 1()( 3 10 ) 1(nxnynyny 已知系统是稳定的，试求其单位冲激响应，并判断系统的 因果性。 已知系统是稳定的，试求其单位冲激响应，并判断系统的 因果性。 【解】【解】 ) 3 1 3 ( 8 3 ) 3 1 )(3( 3 10 1 )( )( )( 1 z z z z zz z zz zX zY zH 先求系统函数先求系统函数 可求得极点为可求得极点为 3 1 ,3 21 zz 为了使它是稳定的，收敛区域必须包括单位圆为了使它是稳定的，收敛区域必须包括单位圆 3|3/1 z 再确定再确定ROC 51 最后求最后求h(n)，并判断因果性，并判断因果性 )( 3 1 ) 1(3 8 3 )(nununh n n 系统的收敛域不是圆外收敛，故系统不是因果系统。系统的收敛域不是圆外收敛，故系统不是因果系统。 52 5-7一个线性时不变因果系统由下列差分方程描述一个线性时不变因果系统由下列差分方程描述 【解】【解】 ( )( )(1)0.5 (1)y nx nx ny n （1）求系统函数）求系统函数H(z), 在在z平面画出它的零极点和收敛 域，判断系统的稳定性； （ 平面画出它的零极点和收敛 域，判断系统的稳定性； （2）画出系统幅频响应示意图，说明系统的滤波特性； （ ）画出系统幅频响应示意图，说明系统的滤波特性； （3）若输入）若输入x(n)=2cos(0.5 n) ，n 0，指出系统稳态输 出的最大幅值是多少？ （ ，指出系统稳态输 出的最大幅值是多少？ （1） 1 1 5 .01 1 )( z z zH 因为系统是因果的，故收敛域为因为系统是因果的，故收敛域为5 . 0|z 收敛域包含单位圆，所以系统是稳定的。收敛域包含单位圆，所以系统是稳定的。 53 （2） 00.20.40.60.811.21.41.61.82 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 系统是高通滤波器。 （ 系统是高通滤波器。 （3）当=0.5时，z = j j z z zH jz jz 2 . 14 . 0 5 . 01 1 )( 1 1 =1.26481.2490 rad ( )2 1.2648 cos(0.51.2490)2.5296cos(0.51.2490)y nnn 所以系统稳态输出的最大幅值是所以系统稳态输出的最大幅值是2.5296 54 1 a 2 a 3 a 0 b 1 b 1 1 1 1 1 z 1 z 1 z x (n) y (n) 1 a 2 a 3 a 0 b 1 b ( )h n 5-13有一个数字滤波器，其结构流图如图所示。 (1)欲使其具有线性相位特性， ， ， ， ， 应为 何值？ (2)求出该滤波器的单位取样响应 有一个数字滤波器，其结构流图如图所示。 (1)欲使其具有线性相位特性， ， ， ， ， 应为 何值？ (2)求出该滤波器的单位取样响应 ; (3)求对应的相频函数，证明（1）的结论。(3)求对应的相频函数，证明（1）的结论。 55 解解 这是滤波器直接型结构，写出其系统函数这是滤波器直接型结构，写出其系统函数 123 01 123 123 ( ) 1 bb zzz H z a za za z 由于是由于是FIR滤波器，故滤波器，故 a1 =a2 =a3 =0，则，则 123 01 ( )H zbb zzz h(n)=(b0 , b1 , 1, 1) h(n) 满足关于满足关于n=(N 1)/2偶对称或奇对称，则偶对称或奇对称，则 b0 =b1 =1 或 或 b0 =b1 = 1 56 该滤波器的单位抽样响应该滤波器的单位抽样响应 h(n) h(n)= (n)+ (n 1) + (n 2) + (n 3) 或 或 h(n)= (n) (n 1) + (n )+ (n) jjjj2j3 (e )( )e1 eee n n Hh n 3 j 2 sin(2 ) e sin(/2) 或或 jjj2j3