数学建模培训题 航空货运问题(改编自美赛倒煤台问题)点评解析15页.pdf

点评：航空货运问题 一、基本参数 1、货机：假设均匀分布 每天三架货机。 2、工作时间5：0020：00设置为 t：0，15？ 每天货机到达时间：5：0020：00； 一工作组装满装卸场：6小时；一货机装满：3小时； 装卸台的容量：1.5货机； 3、费用系数： 停机费（等待装货）：15000元/小时架 一工作组：每小时9000元；二工作组：每小时12000元 4、服务原则：假设先来先服务 二、模型建立：概率计算模型 （一）概率分布 1、三架货机到达的时刻服从0，15上的均匀分布，则： 密度函数： 分布函数： 2、设,分别是首架货机到达时刻、第一架与第二架间隔、第二架与第三 架间隔， （1）的分布函数 的密度函数： （2）其余两货机到达与第一个到达的货机的间隔在0到15-之间是 均匀分布的 于是： , ；, ，i=1,2 的密度函数 （3）第三架货机到达与第二个到达的货机的间隔在0和15-之间是均 匀分布的， 于是： 的密度函数 3、联合概率分布 条件概率（A|B）公式 联合概率分布： 4、另：顺序统计量 前个次序统计量的联合密度为: 特别地，当时有 （二）优化模型 模型： 只要是优化必须给个优化模型！ 如何调用、调用第二班、三班 目标费用 货机到达随机概率分布费用期望值 约束时间关系 （1）决策变量：调用工作组（一、二个） 与到达时间有关 （2）目标：费用 费用=工作组装装卸台+第一架停机费+第二架停机费+第三架停机 费 其中：第一架停机费受前一天工作状态影响，情形比较复杂，我们不 直接讨论，而是用迟滞概率讨论代替。 分别代表工作组装装卸台费用、第二架停机费、第三架停机费 由于货机到达随机概率分布费用期望值 （3）模型 费用期望值（每天的平均费用）最小： 另：费用波动程度方差： 装卸台迟滞的概率：指在一天装船工作完成后，在第二天开始之前， 未能将装卸台装满货物，这样就有可能为第二天的装船工作造成损失， 其计算方法为： 在内，无迟滞。 三、模型求解 1、决策：制定规则 （1）规则的选择：为什么要制定规则？ 规则1：无论任何情况，只使用一个工作组，而且在装货机前，装 卸台必须卸满货。 规则2：无论任何情况，都使用两个工作组，而且在装货机前，装 卸台必须卸满。 规则3：只使用一个工作组，在装货机前，装卸台应有足够的货物 装满一架货机，如果没有货机等待装货，装卸台应继续补充货物，直到 装卸台完全装满或是下一架货机到达。 规则4：总是使用两个工作组，在装货机前，装卸台应有足够的货 物装满一架货机，如果没有货机等待装货物，装卸台应继续补充货物， 直到装卸台完全装满或是下一架货机到达。 规则5：如果装卸场上的贮量不足一架货机的负载，则调用两个工 作组，否则只使用一个工作组。在装货机前，装卸台应有足够的货物装 满一架货机，如果没有货机等待装货物，装卸台应继续补充货物，直到 装卸台完全装满或下一架货机到达。 *规则6：当货机到达时，如果装卸场上的贮量不足一架货机的负 载，则调用两个工作组，否则只使用一个工作组。在装货机前，装卸台 应有足够的货物装满一架货机，如果没有货机等待装货物，装卸台应继 续补充货物，直到装卸台完全装满或下一架货机到达。 *规则7：以一定的货机到达时间分布来确定是否调用两个工作组， 比如三架货机很晚还未到达，则调用两个工作组 （2）一般说明 规则1、2、3一定不是最优的 停机费： 15000元/小时架 二班费：每小时12000元 规则4、5不一定 规则6计算比较麻烦 规则7可操作性太差 注：为使讨论简单，不放弃规则1、2、3 2、模型求解 （1）（规则3） 费用=工作组装装卸台+第二架停机费+第三架停机费 假设：5：00装卸台已装满的费用公式： 工作组装装卸台： 第二架停机费： 2+3 3+4 积分区域 第三架停机费 =594580/9+20750/3 matlab求出：jisuan1.m 则：=210.84（千元） 方差：略 装卸台迟滞概率 不迟滞的范围 迟滞概率为： Matlab：jisuan1.m p=0.5787高！ （2）规则四：类似 (千元) （3）规则五： 积分可以做，很麻烦：用计算机模拟简单一些 迟滞概率的计算： （4）五种规则的结果： 费用及标准差（以千元为单位） 规则 基本费 用 额外费用均 值 全部费用均 值标准差 迟滞概 率 11081552636957.60% 212682208357.20% 31081022116157.60% 412660186477.20% 5108681764721.50% 3、结果分析： （1）规则5：所需费用最少最优? 但规则5迟滞第二天的概率比规则4要高得多，那么在长时间的运转 后，规则5的迟滞费用与基本费用之和将超过规则4：可讨论 （2）规则4：修改 即当最后一架货机装满后，若我们只使用一个工作组，可以在第二 天早上5：00之前可以装满装卸台，则只使用一个工作组，这样不增加 迟滞到第二天的概率，还可以相应地减少基本费用。 基本费用：(9+12)*6=126(9+12)*3+9*6=1179 注：改进后的规则与规则四的唯一区别在于，最后一架货机走后， 如果能只用一个工作组就用一个，其它的都一样。所以，改进后的规则 相比规则四，节约的费用就是少用第二个工作组的费用。下面来计算节 约的费用： 当时可以不用第二个工作组 概率为： 节约的费用=9*0.657=5.913（千元）花费 3.0870（千元） 进一步修改后的规则4：调用第二个工作组够用为度，还可以节省 计算结果表明，修改后的规则4可以是最优的 （3）据此，我们给出下面的规则： 要使用两个工作组。 在一架货机装船之前，装卸场至少应存有可装满一架货机的 货物。 若无货机等待装货，装卸场应继续装货，直到货机到达或货 场已经装满。 当最后一架货机离开后，若一个工作组在装卸场卸货，并且 在第二天早上5：00之前可以使装卸台贮货量装满一货机， 则不必使用第二个工作组。否则，调用第二个工作组够用为 度。 （4）总费用的计算 每日费用的期望值和标准差：费用（千元） 工作组费用迟滞费用合计标准差 天1206018047 年365天65,700898 另：利用中心极限定理，构造90%的置信区间 用表示年装卸费用，为费用均值，则： matlab:norminv可知， 得：置信区间为90%的年装卸费用为65,700,000853,000。 四、最优装卸问题的计算机模拟 蒙特卡罗模拟（Monte Carlo）、模拟自举（Boost trap） 1、生成随机数 Matlab 基本：均匀分 布 rand(n) rand(m,n) 标准正态randn(n) randn(m,n) 特殊分布 distribution rnd(mu,sigma,m,n)：分布+ rnd(参数,矩阵阶数) 分布：unif均匀bino二项poiss帕松norm正态exp指 数 t t分布 chi2 2分布 F F分布 2、程序流程图 起始框 终止框 执行框 判别框 程序走向 注：要有开始和结束；程序中间要有走向；程序下一步要唯一 3、最优装卸问题模拟一：一天的额外费用 （1）算法描述 第一步：生成三个 0，15 区间上均匀分布的随机数t1, t2, t3 第二步：t1, t2, t3排序 第三步：计算第一架货机走后第二架货机的额外费用：C2，第二架 货机走后第三架货机的额外费用：C3 第四步：重复第一至第三步n=200000次（模拟次数） 第五步：计算n次全部额外费用的均值mean、标准差std，结束。 （2）程序流程图 开始,i=1,n=20000 sum=0,var=0 随机生成t1,t2,t3 N Y 结束 t1,t2,t3排序 计算额外费用C2、C3 和：sum=sum+ C2+C3，var=var+ (C2+C3)2 in? i=i+1 mean= sum/n, std=sqrt(var-n mean2)/(n-1) 开始,i=1,n=20000 sum=0,var=0 随机生成t1,t2,t3 N Y 结束 t1,t2,t3排序 计算额外费用C2、C3 和：sum=sum+ C2+C3，var=var+ (C2+C3)2 in? i=i+1 mean= sum/n, std=sqrt(var-n mean2)/(n-1) （3）求解程序 程序框架 sum=0;var=0;n=200000; for i=1:n t=15.*rand(1,3); %生成0，15区间上的三个随机数 t=sort(t); %把三个数排序 t21=t(2)-t(1); t32=t(3)-t(2); t31=t(3)-t(1); %定义增量，为书写、 执行简单 求c2， c3的值 sum=sum+c2+c3; %和 var=var+(c2+c3)2; %平方和 end mean=sum/n %危险 std=sqrt(var-n*mean2)/n) 规则三：chengxu1.m 程序中：t21=, t32=, t31=+： if t215 %求c2的值 c2=75-15*t21; else c2=0; end %c2值结束 if t217 else c3=0; end %c3值结束 规则四：chengxu2.m 规则五：chengxu3.m 另：可以模拟一星期、月、年将每日迟滞对第二天影响写到程 序中 4、模拟结果（模拟次数200000次） 规则比较 规则集基本费用 模拟计算概率计算 额外费用标准差额外费用标准差 规则3108102.788561.238410261 规则412059.840446.67176047 规则510868.558847.09876847 OK! 其他： 1、报名！ 2、没按时交：6、19、24、26、27、35、36、43、65、75、81 没交：17、40、47？ 3、论文 （1）第3次实战论文格式“2015年全国大学生数学建模竞赛论 文格式规范”执行 （2）摘要：不能有公式、图表围绕问题、模型、求解、结果来 写 页码开始与正文分页 论文不超过20页，附录页数不限 不能有页眉或任何可能显示答题人身份和所在学校及赛 区的信息 （3）程序：附录要排序，正文中要对附录序号说明，与附录一 致，例如：见附录3 （附录有假程序，这是实战！当然，也有全编了程序，不容 易） （4）参考文献：有参考文献？要写出来 （很多同学有参考，但不写出来，比如：滞期费、调用第二 个工作班次数） 4、论文提交： （1）word文档：2个文件（承诺书与编号专用页、论文），目的是 为国赛时打印方便，承诺书中“指导教师或指导教师组负责人”填你的指 导教师 （2）pdf文档：论文提交文件名：编号（12位数字全国统一编 号）+姓名（三人），不含承诺书与编号专用页 （3