安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文矩阵迹的性质与应用.pdf

安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文 第 1 页 矩阵迹的若干个性质与应用矩阵迹的若干个性质与应用 姓名：某某指导老师：某某 摘摘要要：根据矩阵迹的定义,首先给出了矩阵迹的性质,然后依据方阵的F 范数定义Cauchy Schwarz 不等式,给出了零矩阵,不相似矩阵,数幂矩阵,列矩阵,幂等矩阵及矩阵不等式的证法。 矩阵的迹在解题中的 应用给出了实例。 关键词关键词：迹矩阵范数特征值 1 1 引言引言 矩阵的迹及其应用是高等数学的重要内容，也是工程理论研究中的重要工 具。本文在前人研究的基础上，首先介绍了矩阵迹的相关性质，然后给出了零矩 阵，不相似矩阵，数幂矩阵，列矩阵，幂等矩阵及矩阵不等式的证法，最后对矩 阵的应用给出实例。 2 2 预备知识预备知识 定义定义1设 nn ij CaA )(,则 n i ii atrA 1 称为A的迹。 定义定义2设 nn ij CaA )(,记与向量范数 2 XA相容的A的F一范数为: 2 1 1 2 1 )( n i n j ij F aA ) 1 (00 F AA (2)CKAKKA FF , (3) n FFF CBABABA, (4) nn FFF CBABAAB , (5) 22 XAAX F 引理：引理：矩阵迹的性质: 1trBtrABAtr)( 证明：设 (a ),() ijn nijn n ABb 则 111 ( ),( ),()() i ni ni n iiiiiiii iii tr Aa tr Bb tr ABab 安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文 第 2 页 又 111 ( )( )() i ni ni n iiiiiiii iii tr Atr Babab 所以()( )( )tr ABtr Atr B得证 2()tr kAk trA(k为任意常数) 证明：设 () ijn n Aa 则 ( ) ( ) ()() ()( ) ii ii iiii tr Aa k tr Aka tr kAkaka tr kAk tr A 由（1）与（2）知()( )( ),tr mAnBm tr An tr B m nC 3)()(BAtrABtr 证明：设(a ),() ijn nijn n ABb 则() i jn n ABc ，其中 1 k n ijikkj k cab 所以有() ijji tr ABab () ijn n BAd 其中 1 k n ijikkj k dba ，所以有() ijji tr ABab ()()tr ABtr BA得证 4AtrtrA 证明：矩阵取转置运算主对角线上的元素不变，所以等式很显然成立。 5 ji n i n j ija aAtr 11 2) ( 证明：令（3）中BA即可得证。 6 n i n j ij aAAtr 11 2 )( 证明：令（3）中BA即可得证。 7 n i i trA 1 （ i 是A的特征值） 安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文 第 3 页 证明：由若当定理知 1 0 0 n AJ 因为相似矩阵迹相等，所以 n i i trA 1 8 n i i Atr 1 22) ( 证明：设矩阵A的特征值为1,.,n 则矩阵 2 A的特征值为 22 1,.,n 则由（7）即可得证 9若AB,则trBtrA ;特别，trAATTtr )( 1 （下面定理有证明） 10 若0A，| |0A，则0trA 有了上面关于矩阵的迹定义及性质的介绍，下面我们通过举例来看其在解题中的应用。 3 3 解题中的应用解题中的应用 例1 设BA,为同阶实对称矩阵，若BA正定，则A和B不相似。 证：假设,A B相似,则由性质9 知,trBtrA 再由性质1 得0)(trBtrABAtr 故由性质10 知BA不是正定阵,与已知矛盾!从而,A和B不相似。 例2 设n阶矩阵A的对角线上元素全是1，且其特征值为复数，求证| 1A 证：设(1,2,. ) i in为A的全部特征值，且0,1,2,. , i in则有 1212 |.,( ). nn Atr A 又A的主对角线上的元素全是1，知( )tr An 则 12 12 .( ) .1 n n n tr A nn 所以 12 |.1 n A 。 安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文 第 4 页 例3 已知n阶方阵A，若对所有的n阶方阵X有0)(AXtr,则0A。 证：设0A， 则有某0 km a。 作矩阵)( ij xX ， 使1 mk x,),(),(kmji时，0 ij x。 则矩阵AX主对角线上的元素 kl kla xaC km n s sllsll , 0 , 1 0)( 1 km n l ll aCAXtr。与已知矛盾!故0A 例4 设 nnij aA )(，A的特征多项式为 01 1 1 bbbAE n n n ，则trAbn 1 。 证因为 nnnn n n aaa aaa aaa AE 21 22221 11211 Aaaa nn nn n det) 1()( 1 2211 所以trAaaab nnn )( 22111 。 例5 设A,B,C都是nn矩阵,且CAAC ,CBBC ,BAABC, 则存在不大于n的自然数m,使得0 m C。 证： 先证0 k trC. (k为任意自然数) 1 kk CCABCBCABAAB kk )()()( 11 (1) 由(1) 和性质1、3 得：0 11 ABCtrBCAtrtrC kkk 再证C的特证值都等于0。 设C的特征值为., 21n 则存在可逆矩阵T,使 安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文 第 5 页 TTC n 0 1 1 所以), 2 , 1 , 0( , 0 1 1 kTTC k n k k 从而), 2 , 1(0 21 ktrC k n kkk （2） 不失一般性,设C的互异的非零特征值为 s , 21 ,且重数分别为 s rrr, 21 。则(2) 式变为:), 2 , 1(0 2211 krrr k ss kk 取前S个等式,因为范德蒙行列式0 1 22 1 1 s s s s s ，因此0 21 s rrr。即非零 特征值都是0 重,故C的特征全为0 。 再证0 m C。 由于C的每个若当块都形如 ., 2 , 1 0 1 0 10 tiJ ii nn i 因此 T J J TC k 1 1 令: t nnnm , 21, max，则0 1 1 T J J TC m t m m 例6 满足PP 2 的矩阵P叫做幂等阵,试证：幂等矩阵的迹与秩相等。 证:设n阶阵P为幂阵,且P的秩 rPR,则P的特征值是0 或1 ,且P具有 n个线性无关的特证向量,因而,P与对角阵相似。 安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文 第 6 页 故必有满秩阵T存在，使 1 0 0 1 1 TTP 上式右端的对角阵的秩等于p的秩r,即该矩阵中的对角元素(P特征值)有r个为1 ， rn个为0 。故由性质7 知 rtrP0011 例7 设有n阶实对称矩阵A,若0A，则有0trA。 证：因为0A,所以A半正定,故存在n阶矩阵 u 其中),( 1inii qqa是第i个行向量ni, 2 , 1 ，使得QQA 于是0 2 F QQQtrtrA。 又因为n维列向量,),( 1 n n RxxX有 2 2 QXQXQXQXQXAXX 于是 Xa Xa xqxq xqxq QX nnnnn nn , , 1 11 1111 由Cauchy - Schwarz不等式知， 22 ,XaXa ii 所以 2 2 22 2 1 2 2 1 2 2 ,XQXaXaQX F n i i n i i 即XXtrAXtrAXQQX F 2 2 2 2 22 2 从而EXtrAXXXtrAAXX 故有AEtrA 例7 设A为一个n阶矩阵，A的主对角线上所有元素的和称为A的迹，记作trA.证明： 如果对任意的n阶方阵X，都有()0tr AX ，则0A 证： 设() ij Aa，取X A ,则 安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文 第 7 页 2 1111 ()|0 nnnn ikikik ikik tr A Aaaa 所以0, ,1,2, ik ai kn.即 0A 例8 证明：不可能有n阶方阵,A B满足 ABBAE 证：设 111 1 n nnn aa A aa ， 111 1 n nnn bb B bb 为任二n阶方阵，则AB主对角线上的元素为 1122 111 , nnn iiiiniin iii a ba ba b 它们的和为 11 nn jiij ij a b 同样，BA的主对角线上元素的和为 1122 111 1111 nnn jjjjnjjn jjj nnnn ijjijiij ijij b ab ab a b aa b 亦即AB与BA的主对角线上元素的和相等，从而ABBA的主对角线上元素的和为零.但 是，单位方阵E的主对角线上元素的和为0,n 因此 ABBAE 4下面介绍一些有关矩阵迹的定理 定理1Cauchy-Schwarz公式： 设,A B都是n阶矩阵，则有 证明：设 12 ,T n aa aa, 12 ,T n bb bb 则由向量的内积定义式,cosa ba b，其中为a与b的夹角 安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文 第 8 页 即 2 1/22 1/2 1 n iiii i abab 。 推广到矩阵的迹的形式，即为 1/21/2 () () () TTT tr A Btr A Atr B B 定理2schur不等式 设设A是n阶矩阵，则有 2 ()() T tr Atr A A 证明：因为 2 22 ()()()() TTTTTT AAAAAAAA AAAA 又因为 T AA是反对称矩阵，故有 2 2 ()0 ()() T T tr AA tr Atr A A 定理3设,A B为n阶对称矩阵，则有 22 1 ()() 2 tr ABtr AB 证明：由Cauchy-Schwarz公式可知 21/221/2 () () ()tr ABtr Atr B 又 21/221/222 1 () ()() 2 tr Atr Btr AB 即得 22 1 ()() 2 tr ABtr AB 定理4 设, ,A B C都是n阶实对称矩阵，则有 ()()()()()()tr ABCtr ACBtr BACtr BCAtr CABtr CBA 证明： , ,A B C都是n阶实对称矩阵，又由引理2可得 ()()()() TTTT tr ABCtr ABCtr C B Atr CBA 又由引理3可得 ()()()tr ABCtr BACtr CAB 同时有 ()()()tr CBAtr BACtr ACB 即可得结论。 安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文 第 9 页 定理5 设n阶矩阵A的所有特征值都是实数，且 2 0trA ，若A恰有k个特征值，则 2 2 ()trA k trA 证明：设A的n个特征值为 12 , n 。因为 2 0trA ，由引理1 知0k 2 A的特征值为 222 12 , n 不为零，而其余的特征值 222 12 0 kkn 考察以下平方和 2 1 () k i i Ma 其中 1 atrA k ，显然0,M 且 12 0 k M 由于 2 22 1 ()0 k i i trA MktrAk k 于是，有 2 2 ()trA k trA 定理6 设,A B都是n阶实对称矩阵，则有 222 ()()tr ABtr A B 证明：由于,A B都是n阶实对称矩阵，且由Schur不等式和引理3，可得 2222 ()() ()()()() TTT tr ABtrABABtr B A ABtr BA Btr A B 定理7 设,A B都是n阶实对称矩阵，且正定或半正定，则有 () |( ) ( )|tr ABtr A tr B 证明：由cauchy-schwarz公式，且,A B都是n阶实对称矩阵，使得 21/221/2 () () ()tr ABtr Atr B 设A的特征值为., 21n B的特征值为 12 ,., n 显然,A B的特征值均大于0 安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文 第 10 页 又由定理4知，对A存在n阶正交矩阵p使得 1 1 0 0 n P AP 所以 2 21121222 11 ()()()()()() nn ii ii tr Atr P P P Ptr PPtrtr 由此得 1 2 2 ()|( )|tr Atr A ， 1 2 2 |()|( )|tr Btr B 故有 11 22 22 ()()()|( )| |( )|tr ABtr Atr Btr Atr B 即 () |( )( )|tr ABtr A tr B 参考文献参考文献 1丁学仁. 工程中的矩阵理论M.天津：天津大学出版社,1988 2党诵诗. 矩阵论及其在测绘中的应用M.北京：测绘出版社,1980 3陈公宁. 矩阵理论与应用M.北京：高等教育出版社，1990 4牛华伟，张厚超.关于矩