初二数学第六讲多边形及其内角和(教案).doc

_第06讲 多边形及其内角和适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域苏教版课时时长（分钟）120分钟知识点1. 多边形2. 多边形的对角线3. 多边形的内角和与外角和4. 平面镶嵌（密铺）教学目标1. 了解多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；2. 了解四边形的不稳定性； 3. 会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题教学重点1. 多边形的内角和公式的推导；2. 利用多边形的内角和公式求多边形的边数、角度数、外角度数等；3. 多边形内角和性质的应用.教学难点1. 多边形内角和性质的应用.2. 镶嵌问题（综合运用多边形内角和等知识）.教学过程一、复习预习M.C.埃舍尔（M. C. Escher，18981972），荷兰科学思维版画大师，20世纪画坛中独树一帜的艺术家。作品多以平面镶嵌、循环等为特点，兼具艺术性与科学性。1957年他写了一篇关于镶嵌图形的文章，其中评论道：在数学领域，规则的平面分割已从理论上研究过了，难道这意味着它只是一个严格的数学的问题吗？按照我的意见, 它不是。数学家们打开了通向一个广阔领域的大门，但是他们自己却从未进入该领域。从他们的天性来看他们更感兴趣的是打开这扇门的方式，而不是门后面的花园。无论这对数学家是否公平, 有一点是真实的：他们指出了在所有的常规的多边形中，仅仅三角形，正方形，和正六边形能被用于镶嵌。但许多其他不规则多边形平铺后也能形成镶嵌，例如有许多镶嵌就使用了不规则的五角星形状。人们发现，埃舍尔30年前作品中的视觉模拟和今天的虚拟三维视像与数字方法是如此相像，而他的各种图像美学也几乎是今天电脑图像视觉的翻版，充满电子时代和中世纪智性的混合气息。因此，有人说，埃舍尔的艺术是真正超越时代，深入自我理性的现代艺术。也有人把他称为三维空间图画的鼻祖。在他之前，从未有艺术家创作出同类的作品，在他之后，迄今为止也没有艺术家追随他发现的道路。二、知识讲解1多边形（1）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。从n边形的一个顶点出发，可以画条对角线，将多边形分成 n-2 个三角形. n边形一共有条对角线。（3）多边形的内角和公式：n边形的内角和为（n2）。（4）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360。2平面镶嵌（1）平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）。（2）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形。（3）能否镶嵌成一个平面的关键是看：拼接在同一个顶点的各个角的和恰好等于360（用于判断几种多边形的拼接问题）。所以说：在仅用一种正多边形镶嵌只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可以。考点/易错点1注意：各个角都相等、各个边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可。如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.考点/易错点2内角和公式的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形内角和，求其边数。外角和定理的应用：已知外角度数，求正多边形边数；已知正多边形边数，求外角或外角度数。考点/易错点3平面镶嵌归纳：拼接在同一点的各个角的和等于360；只用正三、四、六边形可以镶嵌.其他正多边形不能镶嵌；任意全等的三角形一定可以镶嵌；任意全等的四边形一定可以镶嵌。探究正整数解，得出不同的组合方式：利用代数式：x n + y m = 360（其中n、m为正多边形的内角度数，x、y为正整数.）正三角形和正方形（两种拼法）、正三角形和正六边形（两种拼法）、正三角形和正十二边形、正四边形和正八边形。正五边形和正十边形内角（108+108+144）可以构成360，但不能进行平面镶嵌。三、例题精析【例题1】【题干】以线段a=7，b=8，c=9，d=11为边作四边形，可作（）A一个B2个C3个D无数个【答案】D解：四条线段组成的四边形可有无数种变化【解析】根据四边形具有不稳定性，可知四条线段组成的四边形可有无数种变化【变式1】若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原多边形的边数可能为（）A14或15或16B15或16C14或16D15或16或17【答案】A一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是14，15或16【解析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题【变式2】如图，中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，中多边形是由正方形“扩展”而来的，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为 【答案】正三边形“扩展”而来的多边形的边数是12=34，正四边形“扩展”而来的多边形的边数是20=45，正五边形“扩展”而来的多边形的边数为30=56，正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42=67，正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）【解析】首先要正确数出这几个图形的边数，从中找到规律，进一步推广正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）【例题2】【题干】如图所示，我们可以按照如下方法求一个多边形的对角线条数图（1）=0条；图（2）=2条；图（3）=5条；图（4）6=9条若按以上方法求二十边形的对角线条数，可列式子为 ，求得该多边形的对角线条数为 【答案】由题意得二十边形的对角线条数，可列式子为=170。【解析】熟记多边形的边数与对角线的条数之间的关系式是解决此类问题的关键【变式1】2003年世界女排锦标赛上，中国女排以11战全胜获得冠军，在这次锦标赛上共有12支球队，采用单循环制（即每两个球队打一场），则主办单位共安排了 场比赛【答案】12支球队举行单循环比赛，则主办单位共安排总场数为：12（121）=66【解析】根据多边形对角线的计算方式可得出，m支球队举行比赛，若每个球队与其他队比赛（m1）场，则两队之间比赛两场，由于是单循环比赛，则共比赛m（m1）【变式2】将已知六边形ABCDEF，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，那么各种不同的剖分方法种数是（）A6B8C12D14【答案】D六边形ABCDEF有6个顶点，且用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，只能通过同一个顶点作三条对角线（如图1），这种分法有6种，也从一个顶点作两条对角线（如图2），这种分法有2种，如图3，中间是个四边形，两端2个三角形，把四边形加条对角线，这种分法有6种，故各种不同的剖分方法有14种【解析】要用对角线将六边形ABCDEF剖分成互不重叠的4个三角形，通过同一个顶点作三条对角线，所以有六种作法从一个顶点作两条对角线；中间是个四边形，两端2个三角形，把四边形加条对角线【例题3】【题干】一个多边形的内角和为1800，截去一个角后，得到的多边形的内角和为（）A1620B1800C1980D以上答案都有可能【答案】D1800180=10，原多边形边数=10+2=12，一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，可能加1，即新多边形的边数可能是11，12，13，新多边形的内角和可能是1620，1800，1980【解析】考查了多边形的内角和与外角和，注意：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，可能加1根据多边形的内角和定理求出原多边形的边数是解题的关键【变式1】六边形ABCDEF纸片剪去一个角BGD后，得到1+2+3+4+5=430，则BGD=（）A60B70C80D90【答案】B六边形ABCDEF内角和=180（62）=720，且1+2+3+4+5=430，GBC+C+CDG=720430=290，G=360（GBC+C+CDG）=70【解析】此题考查了多边形的内角和公式此题难度不大，注意掌握整体思想的应用【变式2】实践与探索：过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成 个三角形；过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成 个三角形；经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外 个顶点连线可以把n边形分成 个三角形（用含n的代数式表示）你能否根据这样划分多边形的方法来写出n边形的内角和公式？请说明你的理由【答案】过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成41=3个三角形；过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成51=4个三角形；经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外（n2）个顶点连线可以把n边形分成 （n2）个三角形（用含n的代数式表示）在n边形的任意一边上任取一点P，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n1）个三角形，这（n1）个三角形的内角和等于（n1）180，以P为公共顶点的（n1）个角的和是180，所以n边形的内角和是（n1）180180=（n2）180【解析】解题关键是将多边形的内角和问题转化为三角形中解决，在n边形的任意一边上任取一点P，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n1）个三角形【例题4】【题干】（2012东城二模）若一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是（）A四边形B六边形C八边形D十边形【答案】C解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n2）180=3360，解得n=8【解析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360【变式1】如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20，再前进5米后又向右转20，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）A60米B100米C90米D120米【答案】C小陈从O点出发当他第一次回到出发点O时正好走了一个正多边形，多边形的边数为36020=18，他第一次回到出发点O时一共走了185=90米【解析】主要考查了多边形的外角和定理任何一个多边形的外角和都是360【变式2】一个凸n边形的内角中，恰有四个钝角，则n的最大值是（）A4B7C8D9【答案】B凸n边形的内角中，恰有四个钝角，即外角中有四个锐角，这四个角最小，另外的外角接近直角时n的值最大，36090=4，则：n=4+41=7，n的最大值是7【解析】本题主要理解在哪种情况下n的值最大【例题5】【题干】正三角形、正方形、正五边形和正六边形四种图形中，能够单独铺满平面的有（）A4种B3种C2种D1种【答案】B正三角形的每个内角是60，能整除360，能密铺；正方形的每个内角是90，4个能密铺；正五边形每个内角是1803605=108，不能整除360，不能密铺；正六边形的每个内角是120，能整除360，能密铺【解析】本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360【变式1】一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成的，其中的两个分别是正方形和正十二边形，则第三个正多边形的边数是 【答案】由于正方形和正十二边形内角分别为90、150，360（150+90）=120，又正六边形内角为120，第三个正多边形的边数是6【解析】图形镶嵌成平面的关键：绕一点拼在一起的多边形内角加在一起恰组成一个周角【变式2】用正三角形和正方形作覆盖平面，在拼接点处有m个正三角形和n个正方形，则m= ，n= 【答案】设用m个正三角形，n个正四边形能进行平面镶嵌由题意，有60m+90n=360，解得m=6n，当n=2时，m=3故边长相同的正方形和正三角形共同作平面镶嵌，在一个顶点周围，有 3个正三角形和2个正方形【解析】此题主要考查了平面镶嵌（密铺）四、课堂运用【基础】1.从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形则m、n的值分别为（）A4，3B3，3C3，4D4，4【答案】C解：对角线的数量=63=3条；分成的三角形的数量为n2=4个【解析】考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n3，分成的三角形数是n22.多边形的每个内角都等于150，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有（）A8条B9条C10条D11条【答案】B多边形的每个内角都等于150，多边形的每个外角都等于180150=30，边数n=36030=12，对角线条数=123=9【解析】本题主要考查了多边形的外角与对角线的性质，求出边数是解题的关键，另外熟记从多边形的一个顶点出发可作的对角线的条数公式也很重要3.若一个n边形的所有内角与某个外角的和等于1350，则n为（）A七B八C九D十【答案】C1350180=7.5，因而设多边形的边数是n，则n2=7，解得n=9【解析】n边形内角和是（n2）180，则多边形内角和是180的正整数倍，而多边形的外角小于180，因而用1350180，所得数值的整数部分与内角和除以180所得数值相同4.多边形的边数由7边增加到8边，它的内角和增加多少度（）A90B270C180D360【答案】C（81）180（71）180=180【解析】本题考查了多边形的内角和定理，理解定理是关键5从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（）个三角形A6B5C8D7【答案】B从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成72=5个三角形【解析】从n边形的一个顶点出发，可把n边形分成（n2）个三角形6.从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（）A2001B2005C2004D2006【答案】C多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为2003+1=2004【解析】多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数=多边形的边数17.一个凸多边形的内角中，最多有 个锐角【答案】根据任意凸多边形的外角和是360可知它的外角中，最多有3个钝角，则内角中，最多有3个锐角【解析】注意每个内角与其相邻的外角是邻补角，由于多边形的外角和是不变的，所以要分析内角的情况可以借助外角来分析8.现有8个好友聚会，每两人握手一次，共握手 次【答案】八边形的对角线条数为：8（83）2=20（条），边数为：8，八边形中一共有线段的条数为：20+8=28（条）；【解析】熟记n边形对角线的总条数为：（n3，且n为整数）9.若凸n边形的内角和为1260，则从一个顶点出发引的对角线条数是 【答案】凸n边形的内角和为1260，（n2）180=1260，得n=9；93=6【解析】考查多边形的内角和定理及多边形的对角线10.（1）从n边形任意一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点（相邻顶点除外），得到 条线段，可把这个n边形分割成 个三角形；（2）从n边形的一条边上任意一个点出发（顶点除外），分别连接这个点与其余各顶点（左右两个相邻顶点除外），得到 条线段，可把这个n边形分割成 个三角形；（3）从n边形的内部任意一个点出发，分别连接这个点与其余各顶点，得到 条线段，可把这个n边形分割成 个三角形【答案】（1）从n边形任意一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点（相邻顶点除外），得到（n3）条线段，可把这个n边形分割成（n2）个三角形；（2）从n边形的一条边上任意一个点出发（顶点除外），分别连接这个点与其余各顶点（左右两个相邻顶点除外），得到（n2）条线段，可把这个n边形分割成（n1）个三角形；（3）从n边形的内部任意一个点出发，分别连接这个点与其余各顶点，得到n条线段，可把这个n边形分割成n个三角形【解析】此题考查了多边形的性质注意掌握归纳思想的应用【巩固】1.如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成图中第1个黑色形由3个正方形组成，第2个黑色形由7个正方形组成，那么组成第6个黑色形的正方形个数是（）A22B23C24D25【答案】B第1个黑色形由3个正方形组成，第2个黑色形由3+14=7个正方形组成，第3个黑色形由3+24=11个正方形组成，则第6个黑色形由3+54=23个正方形组成。【解析】注意要以第一个图形中的正方形的个数为基数，得到相应的规律2.一个多边形截去一个内角后，形成另一个多边形的内角和是2340，原多边形边数是（）A14B16C14或16D14，15或16【答案】D多边形的内角和可以表示成（n2）180（n3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据（n2）180=2340解得：n=15，则多边形的边数是14，15或16【解析】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解3.将一个长方形剪去一个角后所得的多边形的内角和为（）度A540B360C180D540或360或180【答案】D剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，当截线为经过正方形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形，内角和为180；当截线为经过正方形一组对边的直线时，剩余图形是四边形，内角和360；当截线为只经过正方形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形，内角和为540【解析】考查了多边形的内角和，解决本题的关键是理解剪掉多边形的一个角的含义4.如图，在五边形ABCDE中，AEDE，BAE=120，BCD=60，CDEABC=30（1）求D的度数；（2）ABCD吗？请说明理由【答案】（1）AEDE，AED=90，而A+B+C+D+E=（52）180=540，BAE=120，BCD=60，D+B=5409012060=270，CDEABC=30D=150；（2）ABCD理由如下：BAE=120，BCD=60，B+C=180，ABCD【解析】考查n边形的内角和定理（n边形的内角和为（n2）180）和平行线的判定5.在多边形边上或内部取一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形，图1给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形（1）请按照上述方法将图2中的六边形进行分割，并写出每种方法得到的小三角形的个数；（2）当多边形为n边形时，按上述方法进行分割，写出每种分法得到的小三角形的个数【答案】（1）如图所示：可以发现所分割成的三角形的个数分别是4个，5个，6个；（2）结合两个特殊图形，可以发现：第一种分割法把n边形分割成了（n2）个三角形；第二种分割法把n边形分割成了（n1）个三角形；第三种分割法把n边形分割成了n个三角形【解析】本题考查了多边形的对角线，此题要能够从特殊中发现规律，进而推广到一般【拔高】1.连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图1，AC、AD是五边形ABCDE的对角线思考下列问题：（1）如图2，n边形A1A2A3A4An中，过顶点A1可以画 条对角线；过顶点A2可以画 条对角线，过顶点A3可以画 条对角线（2）过顶点A1的对角线与过顶点A2的对角线有相同的吗？过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线有相同的吗？（3）在此基础上，你能发现n边形的对角线条数的规律吗？（4）在此基础上，推导出n边形的内角和【答案】（1）过顶点A1可以画（n3）条对角线；过顶点A2可以画（n3）条对角线，过顶点A3可以画（n3）条对角线；（2）过点A1的和过点A2的没有重复的，但和过点A3的有重复的（A1A3和A3A1重复）；（3）n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n3）条，共有n个顶点，应为n（n3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2即n边形的对角线条数的为：（4）过一点有（n3）条对角线，分成（n2）个三角形，n边形内角和为180（n2）【解析】此题考查了多边形的对角线及多边形的内角和的知识2.凸多边形中，除A外，其余各角的和是1000，这个多边形的边数是（）A6B7C8D9【答案】C设这个多边形的边数是m则（n2）180=1000+A，由于0A180，所以0（n2）1801000180，整理得1000（n2）1801000+180，即n2+1，5n26因为n是正整数，所以n2=6，n=8【解析】n边形的内角和是（n2）180，因而内角和一定是180度的倍数，而多边形的内角一定大于0，并且小于180度因而内角和去掉一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数n2要大，大的值小于1则用内角和于内角的和除以180所得值，加上2，比这个数大的最小的整数就是多边形的边数3. 如图，求A+B+C+D+E+F的度数和【答案】APC是AEP的外角，APC=A+E，BOD是DOF的外角，BOD=D+F，A+B+C+D+E+F=B+C+APC+BOD=180（42）=360【解析】本题考查多边形的内角和定理，三角形的外角性质课程小结1. 多边形的性质2. 多边形的对角线3. 多边形内角和与外角和4. 平面镶嵌问题课后作业【基础】1.（2013湛江）已知一个多边形的内角和是540，则这个多边形是（）A四边形B五边形C六边形D七边形【答案】B根据多边形的内角和得：（n2）180=540，解得：n=5，则多边形是五边形【解析】本题比较容易，主要考查多边形的内角和公式2.（2009乌鲁木齐）某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（）A5B6C7D8【答案】D解：根据题意，得：（n2）180=3603，解得n=8【解析】解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数3.（2006临沂）多边形的内角中，锐角的个数最多有（）A1个B2个C3个D4个【答案】C多边形外角和是360度，外角中最多有三个钝角，如果超过三个则和一定大于360度，多边形的内角与外角互为邻补角，则外角中最多三个钝角，内角中就最多3个锐角【解析】本题考查了多边形的内角问题由于内角和不是定值，不容易考虑，而外角和是360度不变，因而内角的问题可以转化为外角的问题进行考虑4.从n边形的一个顶点出发一共可引6条对角线，则这个n边形的内角和等于（）A1260B1440C1620D1800【答案】A从n边形的一个顶点出发一共可引6条对角线，多边形是9边形，内角和是（92）180=1260。【解析】正确理解多边形的边数与从一个顶点发出的对角线的条数之间的关系，以及对多边形内角和定理的理解与记忆是解决本题的关键5.多边形的内角和不可能是下列中的（）A270B360C540D720【答案】AA、270180=190，不是180的倍数，不是多边形的内角和；B、360180=2，是180的倍数，可能是多边形的内角和；C、540180=3，是180的倍数，可能是多边形的内角和；D、720180=4，是180的倍数，可能是多边形的内角和【解析】考查多边形的内角和公式，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件6.如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）A3B6C9D18【答案】A设这个多边形有n条边，由题意得：（n2）180=3602，解得：n=6，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是63=4。【解析】主要考查多边形的内角和外角，以及对角线，关键是掌握多边形的内角和公式7.（2011丰南区一模）小亮从A点出发前进10米，向右转60，又前进10米，又向右转60，这样一直走下去，当他第一次回到出发点A时，一共走了多少米（）A30米B60米C80米D100米【答案】B从开始到第一次回到出发点，所经过的路线正好构成一个正六边形，则一共走了610=60米【解析】小亮从开始到第一次回到出发点，所经过的路线正好构成一个正六边形，已知正六边形的边长，即可求得周长，即所走的路程8.某装饰市场有四种型号的地砖，准备用同一型号的正多边形地砖密铺每种地砖的内角度数分别是90、120、135、150这些地砖中，可以使用的是 【答案】902=180，1203=360，同一型号的正多边形地砖密铺地面可以使用的是内角度数分别是90和120的地砖【解析】本题考查了平面密铺的知识，用同一型号的正多边形地砖密铺地面时，对正多边形的内角的度数的要求是解答本题的关键9. 4支排球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），则总的比赛场数为 场【答案】如图，作四边形ABCD，易得，对角线有2条，边数有4条，共有6条线段，则比赛场数有6场 【解析】用数学模型将实际问题转化为多边形的边数与对角线的问题10.求出下列图中x的值【答案】解：（1）根据三角形的外角的性质得到：x+70=x+（x+10），解得：x=60（2）根据四边形的内角和是360得到：（x+10）+x+60+90=360，解得：x=100（3）根据五边形的内角和是（52）180=540得到：x+（x+20）+（x10）+x+70=540，解得：x=115【解析】结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解【巩固】1.若一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍，求此多边形的边数【答案】设此多边形有n条边，由题意，得n=2（n3），解得n=6【解析】根据“一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍”列出方程。2.小明在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少计算了一个内角，结果得1345，则未计算的内角的大小为（）A80B85C95D100【答案】C设多边形边数是n依题意有（n2）1801345，解得：n，则多边形的边数n=10；多边形的内角和是（102）180=1440度；则未计算的内角的大小为14401345=95【解析】主要考查了多边形的内角和定理，正确确定多边形的边数是解题的关键3.某单位的地板由三种边长相等的正多边形铺成，三种多边形是按1：1：1来排列，设这三种正多边形的边数分别为x，y，z，求的值【答案】由题意可知：，【解析】这三种正多边形一个顶点处三个内角的度数之和正好等于3604.已知：如图，四边形ABCD中，D=90，B=C=70，AE平分BAD，交BC于点E，EFAE，交CD于点F（1）求BAE的度数；（2）写出图中与AEB相等的角并说明理由【答案】（1）四边形ABCD中，D=90，B=C=70，BAD=360BCD=130，AE平分BAD，BAE=BAD=130=65；（2）AEB=CEF理由如下：在ABE中，AEB=180BBAE=45，EFAE，AEF=90，CEF=180AEBAEF=1804590=