解三角形ppt课件

第八节 解三角形,1,总纲目录,教材研读,1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型,考点突破,2.实际问题中的常用角,3.解关于解三角形的应用题的一般步骤,考点二 测量高度问题,考点一 测量距离问题,考点三 测量角度问题,1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型:测量距离、高度、角度 问题,计算面积问题等.,教材研读,2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在 水平线 上方 的角叫仰角,目标视线在水平线 下方 的角叫俯 角(如图).,(2)方向角:一般指相对于正北或正南方向的水平锐角,如南偏东30,北 偏西45等. (3)方位角 从 正北 方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如点B的 方位角为(如图). (4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角. (附:坡度(坡比):坡面的铅直高度与水平宽度之比),3.解关于解三角形的应用题的一般步骤 (1)理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的 关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题; (3)根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解; (4)将所得结论还原到实际问题,注意实际问题中有关单位、近似计算 等的要求.,简单的三角方程的通解 sin =sin =k+(-1)k(kZ); cos =cos =2k+或=2k-(kZ); tan =tan =k+(kZ).,1.在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60,C点的 俯角为70,则BAC等于 ( ) A.10 B.50 C.120 D.130,答案 D,D,2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔 A在观察站C的北偏东20的方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40的方 向上,则灯塔A与灯塔B的距离为 ( ) A.a km B. a km C. a km D.2a km,答案 B 在ABC中,ACB=180-(20+40)=120,AB2=AC2+BC2-2 ACBCcos 120=a2+a2-2a2 =3a2,AB= a(km),故选B.,B,3.在上题的条件下,灯塔A相对于灯塔B的方向为 ( ) A.北偏西5 B.北偏西10 C.北偏西15 D.北偏西20,B,答案 B 易知B=A=30,C在B的北偏西40的方向上,又40-30=10,故灯塔A相对于灯塔B的方向为北偏西10.,4.如图所示,D,C,B三点在地面的同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点 的仰角分别为60,30,则A点离地面的高度AB等于 ( ) A. B. C. a D.,B,答案 B 因为D=30,ACB=60, 所以CAD=30, 故CA=CD=a, 所以AB=asin 60= .,5.设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧选定一点C,测出AC的距 离为50 m,ACB=45,CAB=105,则可以计算出A,B两点间的距离为 .,答案 50 m,解析 由题意,易得B=30. 由正弦定理,得 = , AB= = =50 (m).,6.一船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75,距灯塔68海 里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则此船航行的速度 为 海里/小时.,答案,解析 如图,由题意知MPN=75+45=120,PNM=45. 在PMN中, = , MN=68 =34 海里.,又由M到N所用的时间为14-10=4小时, 此船的航行速度v= = 海里/小时.,考点一 测量距离问题,考点突破,16,典例1 如图所示,A,B两点顺一条河的两岸,测量者在A的同侧,且B点不 可到达,要测出A,B的距离,其方法是在A所在的岸边选定一点C,可以测 出A,C的距离m,再借助仪器,测出ACB=,CAB=,在ABC中,运用 正弦定理就可以求出AB. 若测出AC=60 m,BAC=75,BCA=45,则A,B两点间的距离为 m.,命题方向一 两点间可视但有一点不可到达的距离,17,答案 20,解析 ABC=180-75-45=60, 所以由正弦定理得, = , AB= = =20 (m). 即A,B两点间的距离为20 m.,18,典例2 如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,其方法是先选 定适当的位置C,用经纬仪测出角,再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出 A,B两点间的距离,即AB= . 若测得CA=400 m,CB=600 m,ACB=60,则A,B两点的距离为 m.,命题方向二 两点不相通的距离,19,答案 200,20,典例3 如图,A,B两点在河的同侧,且A,B两点均不可到达,要测出A,B的 距离,测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得CD=a,同时在C,D两点分 别测得BCA=,ACD=,CDB=,BDA=.在ADC和BDC中, 由正弦定理分别计算出AC和BC,再在ABC中,应用余弦定理计算出 AB. 若测得CD= km,ADB=CDB=30,ACD=60,ACB=45,则A,B 两点间的距离为 km.,命题方向三 两点都不可到达的距离,21,答案,解析 ADC=ADB+CDB=60, ACD=60,DAC=60, AC=DC= (km). 在BCD中,DBC=45, 由正弦定理,得BC= sinBDC= sin 30= .,22,在ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 45= + -2 = . AB= (km). A,B两点间的距离为 km.,23,易错警示 求距离问题的2个注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他 量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求 解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定 理.,24,1-1 隔河看两目标A与B,但不能到达,在岸边选取相距 千米的C、D 两点,测得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45(A、B、C、 D在同一平面内),求两目标A、B之间的距离.,25,26,考点二 测量高度问题,典例4 (2017福州综合测试)如图,小明同学在山顶A处观测到一辆汽车 在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点 的俯角分别为30,45,且BAC=135.若山高AD=100 m,汽车从B点到C 点历时14 s,则这辆汽车的速度约为 22.6 m/s(精确到0.1). 参考数据: 1.414, 2.236.,27,答案 22.6,28,易错警示 解决高度问题应注意三点 (1)在解决有关高度的问题时,要理解仰角、俯角的概念. (2)在实际问题中,可能会遇到同时研究空间与平面(地面)的问题,这时 最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又 不容易搞错. (3)一般是把高度问题转化成三角形的问题,要注意三角形中的边角关 系的应用,若是空间的问题,则要注意空间图形和平面图形的结合.,29,2-1 如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别 测得树尖的仰角为30,45,且A,B两点间的距离为60 m,则树的高度为 m.,30,答案 30+30,解析 在PAB中,PAB=30, APB=15,AB=60 m, sin 15=sin(45-30)=sin 45cos 30-cos 45sin 30= - = . 由正弦定理得 = , PB= =30( + )m, 树的高度为PBsin 45=30( + ) =(30+30 )(m).,31,2-2 江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平 面上,在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45和60,而且两条船与炮 台底部所连的线成30角,则两条船相距 m.,32,答案 10,解析 由题意画示意图,如图, OM=AOtan 45=30(m), ON=AOtan 30= 30=10 (m), 在MON中,由余弦定理得, MN= = =10 (m).,33,典例5 如图,在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇(位于A处) 发现在北偏东45方向,相距12 n mile的水面B处,有蓝方一艘小艇正以每 小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进,若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度,沿北偏东45+方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内 拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值.,考点三 测量角度问题,34,解析 如图,设红方侦察艇在C处拦截住蓝方的小艇,且经过的时间为x 小时, 则AC=14x(n mile),BC=10x(n mile),ABC=120.,35,根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120, 解得x=2(负值舍去). 故AC=28 n mile,BC=20 n mile. 根据正弦定理得 = , 解得sin = = . 所以,要使红方侦察艇在最短的时间内拦截住蓝方小艇,则所需要的时 间为2小时,角的正弦值为 .,36,易错警示 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义; (2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关 键、最重要的一步; (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定 理的“联袂”使用.,37,3-1 如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向,相距40海里的 B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南 偏西30,相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线前往 B处救援,求cos 的值为 .,38