（课标Ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.2三角恒等变换课件.pptx

4.2 三角恒等变换,高考理数 (课标专用),考点 三角函数式的求值与化简 1.(2019课标,10,5分)已知 ,2sin 2=cos 2+1,则sin = ( ) A. B. C. D.,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,答案 B 本题考查了三角恒等变换以及同角三角函数的基本关系;考查了学生对方程的思 想方法的综合运用,以及运算求解能力;通过三角恒等变换考查了逻辑推理、数学运算的核心 素养. 由二倍角公式可知4sin cos =2cos2. ,cos 0, 2sin =cos ,tan = , sin = .故选B. 技巧点拨 常见与“1”有关的三角恒等变换:1+sin 2=(sin +cos )2;1-sin 2=(sin -cos )2;1+cos 2=2cos2;1-cos 2=2sin2; = ; = .,2.(2018课标,4,5分)若sin = ,则cos 2= ( ) A. B. C.- D.-,答案 B 由sin = ,得cos 2=1-2sin2=1-2 =1- = .故选B.,3.(2015课标,2,5分)sin 20cos 10-cos 160sin 10=( ) A.- B. C.- D.,答案 D 原式=sin 20cos 10+cos 20sin 10=sin(20+10)=sin 30= ,故选D. 思路分析 利用诱导公式化cos 160=-cos 20,再利用两角和的正弦公式进行求解.,4.(2016课标,9,5分)若cos = ,则sin 2= ( ) A. B. C.- D.-,答案 D cos = , sin 2=cos =cos =2cos2 -1=2 -1=- .故选D. 思路分析 利用诱导公式化sin 2=cos ,再利用二倍角的余弦公式即可得答案. 一题多解 cos = (cos +sin )= cos +sin = 1+sin 2= , sin 2=- .故选D. 导师点睛 求解三角函数的给值求值问题,关键是把待求三角函数值的角用已知角表示出来: (1)已知角有两个时,待求三角函数值的角一般表示为已知角的和或差; (2)已知角有一个时,待求三角函数值的角一般与已知角成“倍数关系”或“互补、互余关系”.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点 三角函数式的求值与化简 1.(2019江苏,13,5分)已知 =- ,则sin 的值是 .,答案,解析 本题考查同角三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式等知识,考查学生的运算求 解能力,考查的核心素养为逻辑推理和数学运算. =- , tan =- tan =- , 整理得3tan2-5tan -2=0, tan =- 或tan =2. sin = (sin 2+cos 2) = = . 当tan =- 时,sin = ;,当tan =2时,sin = . 所以答案为 . 一题多解 =- , =- . =- . =- . sin = .,2.(2017江苏,5,5分)若tan = ,则tan = .,答案,解析 本题考查两角和的正切公式. 因为tan = , 所以tan =tan = = = .,3.(2016四川,11,5分)cos2 -sin2 = .,答案,解析 由二倍角公式易得cos2 -sin2 =cos = .,4.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(x+)+b(A0),则A= ,b= .,答案 ;1,解析 2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x= sin +1,A= ,b=1. 评析 本题主要考查三角恒等变换,熟练利用两角和的正弦公式及二倍角公式是解题关键.,5.(2016江苏,15,14分)在ABC中,AC=6,cos B= ,C= . (1)求AB的长; (2)求cos 的值.,解析 (1)因为cos B= ,0B, 所以sin B= = = . 由正弦定理知 = ,所以AB= = =5 . (2)在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos =-cos Bcos + sin Bsin , 又cos B= ,sin B= ,故cos A=- + =- . 因为0A,所以sin A= = . 因此,cos =cos Acos +sin Asin =- + = . 评析 本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系与两角和(差)的三角函数公式,考 查运算求解能力.,C组 教师专用题组 考点 三角函数式的求值与化简,1.(2014课标,8,5分)设 , ,且tan = ,则 ( ) A.3-= B.3+= C.2-= D.2+=,答案 C 由tan = 得 = ,即sin cos =cos +sin cos ,所以sin(-)=cos , 又cos =sin ,所以sin(-)=sin ,又因为 , ,所以- - ,0 - ,因此-= -,所以2-= ,故选C. 思路分析 在已知等式中化切为弦,整理后得到sin(-)=cos ,由诱导公式cos =sin 得 sin(-)=sin ,利用,的范围确定-与 -的范围,进而可得与的关系.,2.(2015四川,12,5分)sin 15+sin 75的值是 .,答案,解析 sin 15+sin 75=sin 15+cos 15= sin(15+45)= sin 60= .,3.(2015江苏,8,5分)已知tan =-2,tan(+)= ,则tan 的值为 .,答案 3,解析 tan =-2,tan(+)= ,tan =tan(+)-= = =3.,4.(2014课标,14,5分)函数f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+)的最大值为 .,答案 1,解析 f(x)=sin(x+)+-2sin cos(x+) =sin(x+)cos +cos(x+)sin -2sin cos(x+) =sin(x+)cos -sin cos(x+) =sin(x+-) =sin x, f(x)的最大值为1. 思路分析 利用拼凑法把x+2转化为(x+)+,从而利用两角和的正弦公式将sin(x+)+展 开,进而对f(x)的解析式进行整理化简,最后将函数f(x)的解析式化成只含一个三角函数名称的 形式,由此即可求出f(x)的最大值. 知识拓展 常见角的拆分与组合: (1)将一个角拆分成两个角的和或差,如:2=(+)+(-),2=(+)-(-),=(+)-=(-)+,= - = - 等; (2)利用互余或互补关系拼角,如: + =, + = 等; (3)将非特殊角转化为特殊角的和或差,如:75=45+30,105=60+45,15=45-30等.,5.(2013课标,15,5分)设为第二象限角,若tan = ,则sin +cos = .,答案 -,解析 tan =tan = =- , sin =- cos ,将其代入sin2+cos2=1得 cos2=1,cos2= ,又易知cos 0,cos =- , sin = ,故sin +cos =- . 思路分析 = - ,利用两角差的正切公式求得tan 的值,由tan = ,sin2+cos2=1及 的终边所属的象限求得sin 与cos 的值,从而求出sin +cos . 技巧点拨 求值、化简是解三角函数问题的基础,在求值与化简时,常利用sin2+cos2=1实现 角的正弦、余弦的互化,利用 =tan 实现角的弦切互化.,6.(2013课标,15,5分)设当x=时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos = .,答案 -,解析 由辅助角公式得:f(x)= = sin(x-),其中sin = ,cos = ,由 x=时, f(x)取得最大值得:sin(-)=1,-=2k+ ,kZ,即=+ +2k,kZ,cos =cos =-sin =- . 思路分析 由辅助角公式得f(x)= sin(x-).当x=时, f(x)取最大值,故有-=2k+ ,kZ,从而 求得值,利用诱导公式知cos =-sin ,进而可得cos 的值. 解题关键 本题考查了辅助角公式的应用,准确掌握辅助角的含义是解题关键.,考点 三角函数式的求值与化简 1.(2019安徽六安一中3月月考,4)已知tan =3, ,则sin 2+cos(-)的值为 ( ) A. B. C. D.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,答案 A 由tan =3, 得cos = ,则sin 2+cos(-)=2sin cos -cos = -cos = - = ,故选A.,2.(2018山西长治二模,6)已知sin = , ,则cos 的值为 ( ) A. B. C. D.,答案 A sin = , ,cos = ,sin 2=2sin cos =2 = = ,cos 2= 1-2sin2=1-2 =1- = ,cos = - = .故选A.,3.(2018河北百校联盟4月联考,6)已知是第四象限角,且sin = ,则tan = ( ) A. B.- C.- D.,答案 B 解法一:sin = (sin +cos )= , sin +cos = , 2sin cos =- . 是第四象限角,sin 0, sin -cos =- =- , 由得sin =- ,cos = ,tan =- , tan = =- . 解法二: + = , sin =cos = , 又2k- 2k,kZ,2k- + 2k+ ,kZ,cos = ,sin = ,tan = = ,tan =-tan =- .,4.(2019安徽江南十校3月联考,14)已知 = ,且tan(+)= ,则tan 的值为 .,答案 -1,解析 sin2+cos2=1, = = ,利用tan = 可得, = ,即tan2- 4tan +4=0,解得tan =2.tan =tan(+)-= = =-1.,5.(2019河南郑州二模,24)已知cos +cos = ,则cos = .,答案,解析 由于cos = cos + sin ,所以原式可化为 sin + cos = ,即 sin = ,sin = ,又知+ + = ,cos =cos =sin = .,6.(2019江西金太阳示范卷(八),14)已知0x ,且sin x-cos x= ,则4sin xcos x-cos2x的值为 .,答案,解析 由sin x-cos x= ,得1-2sin xcos x= ,解得sin 2x= .x ,sin x+cos x= = = ,sin x= ,cos x= ,4sin xcos x-cos2x=4 - = .,7.(2019山西3月质检,15)已知sin 10+mcos 10=2cos 140,则m= .,答案 -,解析 由题可得m= = = = = - .,8.(2018河南洛阳二模,13)已知sin +cos = ,则cos 4= .,答案,解析 由sin +cos = ,得sin2+cos2+2sin cos =1+sin 2= ,所以sin 2= ,从而cos 4=1- 2sin22=1-2 = .,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:30分钟 分值:40分 一、选择题(每题5分,共25分),1.(2019河北五校4月联考,6)设函数f(x)=sin x-cos x,若对于任意的xR,都有f(2-x)=f(x),则 sin = ( ) A.- B. C. D.-,答案 A 由于对于任意的xR,都有f(2-x)=f(x),所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,又知 f(x)=sin x-cos x= sin ,- =k+ (kZ),=k+ (kZ),sin = sin =sin =sin =- ,故选A. 解题关键 利用f(2-x)=f(x)对任意xR恒成立得出函数f(x)的图象关于直线x=对称是解决本 题的关键.,2.(2019 53原创预测卷九,10)已知函数f(x)=2 sin xcos x-2cos2x+1,tan + =4, ,则 f()的值为 ( ) A.2 B. C. D.5,答案 C tan + = + = = =4,sin 2= , ,2 , cos 2=- =- .又f(x)= sin 2x-cos 2x, f()= sin 2-cos 2= . 思路分析 利用切化弦以及同角三角函数基本关系式得sin 2= ,利用的范围以及平方关系 得cos 2,利用二倍角公式化简f(x),从而求出f()的值.,3.(2019河南顶级名校3月联考,11)若 =2 018,则 +tan 2= ( ) A.2 017 B.2 018 C.2 019 D.1 004,答案 B +tan 2= + = = = = = =2 018,故选B. 解题关键 本题主要考查三角函数的化简和求值,利用同角三角函数的基本关系进行化简是 解答本题的关键.,4.(2018福建福州3月模拟,4) cos 15-4sin215cos 15= ( ) A. B. C.1 D.,答案 D 解法一: cos 15-4sin215cos 15= cos 15-2sin 152sin 15cos 15= cos 15- 2sin 15sin 30= cos 15-sin 15=2cos(15+30)=2cos 45= .故选D. 解法二:因为cos 15= ,sin 15= ,所以 cos 15-4sin215cos 15= -4 = = .故选D. 方法总结 三角函数求值问题中所给的角往往都是非特殊角,解决这类问题的主要思路有: 化为特殊角的三角函数值求解;化为正负相消的项,消项求值;化分子、分母,使之出现公 约数,约分求值.,5.(2018河北、河南两省重点中学4月联考,8)已知atan +b=(a-btan )tan ,且+ 与的终边相 同,则 的值为( ) A. B. C. D.,答案 B 已知等式可化为atan +b=atan -btan tan ,即b(1+tan tan )=a(tan -tan ), = =tan(-),又+ 与的终边相同,即=2k+ (kZ),tan(-)=tan =tan = ,即 = ,故选B. 方法技巧 应用公式解决问题的三个变换角度 (1)变角:目的是沟通题设条件与结构中所涉及的角,其方法通常是“配凑”. (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其方法通常有“切化弦”“升幂与降 幂”等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其方法通常 有“常值代换”“逆用、变形用公式”“通分、约分”“分解与组合”“配方与平方”等.,二、填空题(每题5分,共15分) 6.(2019湖南炎德英才大联考(三),13)设是锐角,且cos = ,则sin 的值为 .,答案,解析 由于cos = ,所以cos =2cos2 -1=2 -1=- ,为锐角,且cos = 0,0+ ,0 , 2+ ,sin = .sin =sin =sin cos -cos sin = - = .,7.(2019安徽六安一中3月模拟,15)已知为第二象限角,sin = ,则tan 的值为 .,答案 2,解析 由sin = 展开得sin +cos = ,平方得1+2sin cos = ,所以2sin cos =- , 从而(sin -cos )2=1-2sin cos = ,因为为第二象限角,故sin -cos = ,因此cos =- ,因为 2k+ 2k+,kZ,所以k+ k+ ,kZ,则tan = =2. 解题关键 熟记半角公式是求解本题的关键.,8.(2018河南六市4月联考,4)已知cos = ,cos(-)= ,若0 ,则= .,答案,解析 由cos = ,0 ,得sin = = = ,由0 ,得0- . 又cos(-)= , sin(-) = = = . 由=-(-)得cos =cos-(-)=cos cos(-)+sin sin(-)= + = . ,= . 思路分析 =-(-),求出sin 与sin(-)的值,即可利用两角差的余弦公式求cos 的值,从而 得出的大小. 解题关键 细化角的范围及合理利用凑角法是解决本题的关键.,C组 20172019年高考模拟应用创新题组,1.(