拉格朗日力学.ppt

第4章 拉格朗日力学,4-1 约束 4-2 虚功原理 4-3 拉格朗日方程 4-4 小振动,对于约束运动, 之所以约束运动能够实现，完全可以看作是受到约束力作用的后果。 与主动力不同, 约束力不能事先给出明确的表达式, 而是与待解运动有关, 所以在研究约束体系时必须对包含约束力的运动方程和所有约束方程进行联合求解, 方程的数目相对于无约束的情况，不但不能减少，反而还要增加，因此增加了复杂性，至少可以说牛顿力学方法不适宜处理此类问题。,前面介绍的力学理论属于牛顿力学范围，虽然它提供解决力学问题的一般方案，但也存在一些困难和不足。例如牛顿力学方法偏重于受力分析和矢量运算，对于处理少量自由质点或刚体运动，如果力函数均为已知，尚可应付。但对于包含大量质点的问题，一般得到由大量微分方程构成的方程组，特别是对于包含大量约束的问题更难处理。,另外分析力学以“广义坐标”，“能量”（“类能量”）代替了牛顿力学中“坐标”和“力”的地位, 标量运算。牛顿力学和分析力学是两种风格完全不同的力学理论，在力学范围内它们完全等价，但是分析力学具有更加普适的表达方式，更加方便推广到力学范围外的其它领域。,分析力学可以看作是经典力学的另外一种表达方式。分析力学方法偏重于解析数学，通过一系列巧妙的数学处理方法, 对约束问题无需知道约束力, 就可以得到问题的运动微分方程，从而得到问题的解， 实际上约束作用无法消除，只不过它的影响是通过广义坐标和理想约束，隐含在运动方程中。,分析力学的 Roadmap,定义和简写,所谓约束，如机械中的滑道，连杆，传动带，齿轮等，无非构成限制或影响物体运动的条件，一般总是可以归结为某种反力的作用。,自由运动: 其位置和速度完全取决于可以事先给定且有明确形式的力(也称为主动力)和初始条件。,一 约束及其分类,约束运动: 其位置和速度除了需要满足动力学方程, 同时还要受到一些形式上不涉及任何主动力的限制关系（可以归结于约束力）, 这些限制关系称为约束, 这类运动称为约束运动。,4-1 约束,1. 几何约束与运动约束,几何约束: 只有体系的位置(位形)受到限制的约束。,约束方程:,一般几何约束的约束方程:,独立的约束个数,常见几何约束:质点被约束在某一曲线或曲面上运动,(4.1),一个几何约束方程实际代表 3n 维空间的一个曲面,运动约束: 体系的运动速度受到限制的约束。又称微分约束,一般运动约束 (微分约束) 的约束方程:,(4.2),某些运动约束 (如果可积的话) 可以转化为几何约束.,2. 定常约束与非定常约束,定常约束约束方程中不显含时间的约束(也叫稳定约束)：,非定常约束约束方程中显含时间的约束(也叫非稳定约束),*3. 单面约束与双面约束,双面约束 约束方程可以写成等式的约束 (不可解约束) 。,单面约束 约束方程不能写成等式、但是可以写成 不等式的约束 (可解约束) 。,在可解几何约束情况下, 体系可在一侧偏离等式所代表的曲面, 但不代表脱离约束, 实际上仍在约束所规定的范围内运动。,(4.3),单面约束还是双面约束？,约束方程？,*4. 完整约束与非完整约束,在运动方程未解出之前约束方程不可积分，所以是非完整约束。,圆轮所受约束实际为 完整约束。,下面研究体系因为受到几何（完整）约束，描述体系位形（位置）的独立坐标参量数目和体系自由度问题。,二 广义坐标与自由度,一个自由质点的位置需要三个直角坐标x,y,z确定，并且这三个坐标可以独立变化。,如果限制一个质点在 z=0 平面上运动（相当于一个几何约束），则描述该质点的位置只需要两个独立坐标参量。,如果两个质点保持恒定距离 l，即存在几何约束方程： 所以描述这两个质点的位置只需要5个独立坐标参量。,对于包含 n 个质点的力学体系,如果受到 k 个几何约束，那么确定体系位形的 3n 个直角坐标参量中只有 3n-k=s 个是独立（变化）的，这些独立坐标参量的个数 s 一般称即体系的运动自由度。 自由度能够完全描述质点系位形所需要的可独立变化的坐标参量的数目。,因此总能找到 s 个独立坐标参量 ，只要这s 个独立参量确定，那么 3n 个直角坐标的值就全部确定，也就是体系的位形完全确定。当然这 s 个独立参量的选择不仅限于直角坐标参量，还可以是任意的其它独立参量，只要它们能够确定体系的位形即可。 广义坐标凡是足以确定质点系位形的一组独立参量。,通常把上述坐标变换关系称为坐标变换方程，通常可以根据约束条件写出。,3n 个直角坐标和 s 个广义坐标之间满足一定的函数关系：,坐标变换关系,平面摆,描述质点位置最多需要2个直角坐标 (x, y),还受到一个几何约束,一个自然(而又最佳)选择是角度 ，当然我们也不排除其它选择，如选 x 为广义坐标：,坐标变换方程为,所以自由度数 s = 广义坐标数 = 2 1 = 1,或,受到两个几何约束，所以自由度数 s = 独立坐标数 = 4 2 = 2,只有两个独立坐标，可以方便地选择 , 为 广义坐标：,其坐标变换方程为,描述系统位置(即A,B)最多需要个坐标,平面双摆,从上述例子可以看出:,在完整系中, 广义坐标的数目与自由度数目相等。,对于给定系统, 广义坐标的数目是一定的, 而广义坐标的选择不是唯一的。既可以是普通直角坐标, 也可以是角量或其它任何能够帮助确定体系位形的独立参量。,广义坐标甚至可以超越力学范畴,推广到物理学的其它领域。,对于简单体系, 一般可以直接判断需要引入哪些独立参量以及多少个独立参量, 只要它们能够完全确定体系的位形, 即可作为广义坐标。,引进广义坐标使原来的约束问题变为广义坐标下的自由问题，同时约束关系全部自动得到满足。,考虑有 k 个几何约束,由于完整系中的广义坐标是独立的, 而且它们的变分之间也是相互独立, 因此在完整约束的条件下, 体系的自由度与广义坐标数相等.,s(自由度) = 广义坐标数 = 3n-k,对于完整系:,*关于自由度和广义坐标之间的一般关系的讨论,*对于非完整系 (目前理论尚不成熟):,情况比较复杂,考虑有 k 个几何约束,还有 r 个微分约束. 因为微分约束不可单独积分,所以个坐标只有 k 个类似个约束方程联系着,仍可得到 3n-k 个广义坐标,并且它们是独立的(即不能用一部分坐标确定一部分坐标).,无论是几何或微分约束,都限制了坐标参量的独立变化,广义坐标数 = 3n-k,s(自由度) = 3n-k-r 广义坐标数,一、 虚位移,4-2 虚功原理,力学体系一般受到约束条件的限制，假如只考虑约束的话，体系在任一时刻都存在着各种可能的运动（只要满足约束即可），在分析力学中，就是通过引进虚位移的概念，把真实运动与这些可能的运动进行比较（依据哈密顿原理,从众多可能的轨道中，找出作用量 S 取极值的真实轨道）, 从而找出真实运动应该满足的方程。,为什么要引进虚位移？,1、实位移,满足牛顿动力学方程并唯一确定,满足约束条件,必须经过一定的时间间隔发生,实位移即位移，质点在时间间隔 dt (0)内发生的真实位移 。,2、虚位移,质点在满足约束条件的前提下假想的任意的无限小位移, 称为虚位移,用变分r 表示。,为了考虑约束,推广实位移的概念, 引入虚位移.,给出一个例子: 质点约束在一个平面内运动,实线代表它的物理轨迹, 某一时刻质点在平面内的无限小位移r是变分,轨迹切线方向的微分dr是实位移,属于一个特殊变分,离开平面的位移 r显然不是变分。,虚位移是在确定时刻发生的，是不需要时间的, 也可以设想是发生在一个实际还未发生的时间间隔 t 内，即 t = 0。,虚位移是满足约束条件的假想的一切可能的无限小位移,无需产生的原因。,对于稳定约束: 虚位移r总是处于质点所在位置的约束曲面的切平面上, 实位移是虚位移中的一个。,对于非稳定约束: 虚位移 r 仍然位于某瞬时t所在位置的约束曲面的切平面上,但实位移 dr 显然离开了约束曲面的切平面，所以与虚位移完全不同。,1、虚功,定义：想象力在虚位移上所作的功。,虚功有功的量纲，但没有能量转化过程与之联系。,同一个力的虚功和实功可以完全不同。,二、虚功和广义力,2 、主动力的虚功,在分析力学中，通常把相互作用力分为主动力和约束力。,通过广义坐标变换:,根据变分的运算法则（与微分相同）：,这里引进广义力：,3、有势系下的广义力表示,主动力均为有势力(保守力)的力学系统称为有势系. 设体系有n个质点, 体系有势函数(暂不考虑更复杂的情况):,体系每个主动力都可以表示为：,三、理想约束,所谓理想约束是从理想机械概念引申出来的，它意味着系统是非耗散的, 即可以忽略摩擦力,热流,电磁辐射等造成的机械能量耗散。例如滑动摩擦力就是耗散力，不满足理想约束条件。,则这种约束称为理想约束。注意这里的理想约束条件是就体系受到的全部约束（力）而言。,定义：如果作用于力学系统的所有约束力在任意虚位移上的虚功之和为零：,(1)质点约束在光滑的线、面上（不管该约束线、面本身是否运动）运动: 约束力与作用点的虚位移垂直;,是否理想约束对于能否应用分析力学的方法很重要,它使约束力在虚功表达式中不再出现，简化了计算，实际中很多情形的约束属于理想约束:,(2) 力学体系的固定点约束以及刚体在固定曲面上的纯滚动约束（几何约束）都有一个共同点: 接触点的虚位移为零,光滑铰链(门上的合页),(3) 接触约束：一对力的两施力者的相对虚位移与作用力垂直,(4) 刚性约束：一对力的两施力者无相对虚位移.,质量可忽略的刚性轻杆所连接的两个质点,两个质点以柔软不可伸长的轻绳相连,质点所受的约束可以等效价地用约束力实现, 针对受到理想约束的系统，其中每一质点满足牛顿定律:,如果把等式右边的加速度项作为力看待:,四、达朗贝尔-拉格朗日方程,这样我们把力学系统必须满足的普遍运动规律都转化为力学平衡方程的形式，即达朗贝尔原理。,考虑所有力的虚功:,若仅到此为止, 在解决实际问题时上述方程并没有什么实质帮助。 因为约束力通常是未知的, 在求解质点运动规律时最好能从方程中消去它们, 这就需要应用虚位移和理想约束条件了。,满足理想约束, 动力学普遍方程, 也称达朗贝尔-拉格朗日方程,五、虚功原理,对完整、理想、稳定约束的力学系统, 如果考虑 静平衡的问题, 则前述动力学普遍方程中可以进一步去掉加速度项:,这就是虚功原理的数学表示，它表示系统保持静平衡的必要充分条件是作用于该系统的全部主动力的虚功之和为零.,当力学系统相对惯性系处于静平衡时,必要条件的证明：,若系统的主动力虚功之和为零,充分条件的证明：,对于受有理想约束的系统,假定力学系统的约束是稳定的, 各质点的无限小实位移必与其中一组虚位移重合, 故系统的主动力和约束力的实功之和也满足上式,根据质点系的动能定理,系统开始时静止, 就会始终保持静止,(2) 虚功原理中所说的平衡问题是指惯性系中的平衡, 因此一般要建立固定的惯性坐标系，所受的约束要求是稳定约束 .,(3) 利用虚功原理求解理想约束力系的平衡问题时,无需考虑约束力, 只需求出主动力的虚功之和, 这是一个很大的优点 .,(4) 这同时也是一个缺点: 由于虚功原理的方程中不出现约束力, 因此不能由虚功原理求出约束力. 这时候通过释放约束或用不定乘子法, 可以求出约束力,几点说明：,(1) 满足虚功原理是力学体系保持平衡的充要条件，具有普适性.,在完整系中,广义坐标及其变分都是相互独立的，所以根据线性代数的理论, 前面的系数应分别等于零,广义平衡方程,由于受到约束，在（笛卡尔）直角坐标系中， 不完全独立，所以虚功原理的一般表达式只能在求和的意义上使用，为了方便求解，可以转化为广义坐标表达:,对于主动力均为有势力的有势系:,所以,广义平衡方程又表示为,虚功原理的三种表达形式：,1.质点在一维保守力场中的静平衡及其稳定性,势能具有稳定值 (极大值、极小值或常值) 是质点的静平衡条件（显然此时质点受合外力为零）。,六、平衡的稳定性(仅讨论保守力场的情形),势能极小，稳定平衡,势能极大，平衡不稳定,需要考虑更高阶导数,平衡稳定性待查,常数势能，随遇平衡,势能具有稳定值 (极大值、极小值或常值) 是质点系的静平衡条件.,*2.一般质点系的平衡,对一般质点系势平衡的稳定性讨论较复杂, 略.,七、虚功原理的应用,例2(参见教材例6-1, pp.175-177) 如图所示, 匀质杆OA, 质量为m1, 长为l1, 能在竖直平面内绕固定的光滑铰链 O转动, 此杆的 A端用光滑铰链与另一根质量为m2,长为l2的匀质杆 AB相连. 在 B端有一水平作用力 .求处于静平衡时, 两杆与铅垂线的夹角1和 2.,1、判断约束类型,完整约束；理想约束,2、判断自由度,确定体系位形即确定，位置（四个直角坐标），另有两个约束,对某些问题，可以根据题示条件直接判断体系的自由度同时选择广义坐标。因为O点固定，假设选择 1 为坐标参量, 只要 1 确定, 则杆OA的位置完全确定; 在此基础上, 再选择 2 为参量, 只要 2 确定, 则杆AB的位置又可以完全确定。因此体系的自由度 = 2, 1 , 2 作为广义坐标完全能够确定体系的位形。,4、建立固定坐标系，应用虚功原理,5、写出坐标变换方程（与虚功有关的部分）及其变分,3、分析主动力（其中杆的重力可以认为作用在重心）,(x3,y3),广义平衡方程,把上述变分代入表示虚功原理的方程中，并合并：,6、求解:可求出系统处于静平衡时1，2所满足的方程:,7、进行必要的讨论，如平衡稳定性,例3 (参见教材例题6-2, pp.177),解：以两个钉子的中心为原点建立固定坐标系xoy。,分析受力：现在绳中张力FT待求，不能当作约束力，应该作为主动力处理（由于绳子不能伸长但柔软，不能限制B，D两点的相向虚位移）。忽略杆和绳的重力，B，C，D三点有主动力作用，另外A，B，C，D点及钉子处皆有约束力，均为理想约束，因此应用虚功原理。,分析自由度和广义坐标：从图中看出，只要角度 确定，则A，B，C，D四点位置确定，即体系位置确定，所以体系自由度为 1，广义坐标可以选为 （至于AB，AD与竖直方向夹角相同出自于对称考虑）。,根据虚功原理：,根据几何关系得出坐标变换方程：,最后求出：,思考题：能否以A点为原点建立坐标系？,答案：不可！虚功原理相对固定（惯性）坐标系成立，当允许，点有虚位移时，点必有虚位移，所以A点不固定,解：球面光滑，满足理想约束，主动力为重力和弹力，绳圈是一个连续体，力的作用点连续分布，如果直接应用牛顿力学方法处理较难。,例5 (参见教材习题6-4, pp.229),采用虚功原理方法，以光滑球面中心建立固定坐标系, 判断自由度为1，广义坐标选为，重力和弹力都有势，选择合适的零点，即可写出：,根据由虚功原理推导出来的广义平衡方程：,讨论：,（1）平衡稳定性待查（大家自己检查），按实际情况来看应该是稳定平衡点。,（2）角度应该满足：,4-3 拉格朗日方程,在分析力学中，拉格朗日方程是处理动力学问题的基本方程之一。拉格朗日方程可以从哈密顿原理出发，应用变分方法导出。这说明拉格朗日方程可以完全独立于牛顿力学。,当然也可以从牛顿力学基本方程出发进行推导, 也即前述的动力学普遍方程出发，这也说明在力学范围内，拉格朗日方程与牛顿力学等价。,在分析力学中，虚功原理是处理静力学（平衡）的基本方程。,对于满足完整理想约束的体系, 动力学普遍方程中的虚位移相互不独立, 通过引进广义坐标的方法，可以得到达朗贝尔-拉格朗日方程的广义坐标形式 - 拉格朗日方程.,如果不采取有效的图像简化处理， 动力学普遍方程仍不过是一个概念性方程，相对于牛顿力学的质点系处理方法没有任何实质性差异，所以我们需要普遍的简化方案。,主 动 力,虚 位 移,广义坐标,坐标变换方程,下面推导拉格朗日方程,假设质点系包含n个质点，由于受到 r 个约束，自由度 s = 3n-r，选择 s 个广义坐标：,首先证明几个有用的关系式,说明：,因为广义坐标 是独立变更的，即 广义速度分量 也是相互独立的。,关系一,关系二,上式表明时间全微分算符 与对广义坐标的偏导数算符 对易，即：,时间全导数 与等时变分 ( ) 对易：,微分与变分对易：,关系三,应用关于体系动能的概念：,关系四,下面从动力学普遍方程出发, 推导拉格朗日方程：,应用上述关系式和对易关系，即有：,此即基本形式的拉格朗日方程，或称为第二类拉格朗日方程, 适用于理想、完整体系。,对保守系统（与牛顿力学中的保守系概念不一定完全相同），主动力都是有势力，体系存在势函数：,保守系的拉格朗日方程(常用! 必须熟练掌握!),定义拉格朗日函数,这就是保守力系的拉格朗日方程, 简称为拉氏方程. 这里需要注意:拉格朗日方程中的动能和势能都必须用独立的广义坐标来表达, 在这样的意义下, 才把L称为体系的拉格朗日函数.,方程在形式上与广义坐标的选择无关, 适用于各种曲线坐标系。,引进了广义坐标, 避开了约束力,减少了运动微分方程的数目。,拉格朗日方程在一定范围内与牛顿力学等效.但需要注意一点:此方程只能处理约束范围内体系的运动,不能处理约束本身的运动(约束体的运动一般为已知条件)。,拉格朗日方程的特点,拉格朗日方程在惯性系中成立. 因此T应是惯性系中体系的动能,包括随约束的牵连运动引起的动能的附加项。,强调了能量的重要性, 表述形式统一, 易于推广应用。,对于只具有完整约束、自由度为 s 的系统，可以得到由 s 个拉格朗日方程组成的方程组。,应用拉格朗日方程，一般应遵循以下步骤：,首先，要判断约束性质是否完整、理想, 主动力是否有势， 决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。,然后，确定系统的自由度，选择合适的广义坐标 (可能需要写出体系中各“质点”的直角坐标与广义坐标之间的变换关系)。,3.拉格朗日方程的应用,其次，建立惯性坐标系，惯性坐标系的原点必须是固定点 (对非惯性系另作考虑)。,将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。,求解运动方程并讨论。,写出系统的动能、势能或广义力(可以先写出各个质点的动能、势能在普通直角坐标系中的表达式, 然后必须改写为广义坐标和广义速度的表述)。,点评 应用拉氏方程解决力学问题是程序化的，其关键是写出拉氏量 L ，有了 L ，剩下的就是纯数学步骤。对此没有万灵的规则，L本身就是具体问题的全部力学特征信息的体现，具体问题具体处理是永远的通则。总之写出 L 是经典力学和其它各物理领域的任务，对于一些简单的情况就是各类力学教科书中的例题，属于原则上已经解决的问题，仅作演示。,本题采用牛顿力学方法稍显繁琐，应用分析力学方法则较为简明。,体系作一维运动，建立固定坐标系Ox, 如图所示，首先用参数q1确定B的位置（重物1的位置同时确定），然后用参量q2确定重物3相对于滑轮B的位置（重物2的位置同时确定），因此只要两个独立参量即可确定体系的位置，即体系的自由度=2，广义坐标可以选择为 q1, q2。,例5: 见教材例6.4 (pp.189-191),解：,分析：系统由三个质点和两个（一定一动）滑轮组成，体系所受约束皆为完整理想约束（如固定约束，固定绳长约束），忽略滑轮和绳的质量， 主动力为作用在三个重物的重力，且为有势力。,假设定滑轮的位置为l0，两个滑轮的半周长分别为s1, s2 ，重物1和动滑轮用固定绳长 l1 连接，重物2和重物3用固定绳长 l2 连接，根据几何关系容易写出三个重物的直角坐标变量与广义坐标之间的变换方程：,体系的动能表达式：,势能的表达式：取 x= 0 为零点,V0 为常数,拉氏函数的表达式,运动微分方程:,容易求解：,最后求得各重物的加速度：,由此可见，根据拉格朗日方程解决问题思路明确，过程规范。,1、系统的约束为完整理想约束，同时约束是不稳定的, 主动力(重力)是有势力。,2、由于圆环的约束, 系统只有一个自由度，广义坐标选择为q = , z 轴为转轴。,例6: 见教材例6.5 (pp.191-193),解：,注意: 广义坐标 只是描述质点(系)相对于圆环(约束)的运动, 而圆环(约束)本身的运动是已知的，其位置由角 表示, ，所以 不是广义坐标。,3、考虑建立一个惯性系oxyz, z 轴即为圆环的转轴。,坐标变换关系为:,下面我们将会看到, 在计算质点(系)的速度或动能的时候, 必须是相对于惯性系, 所以可能要包含约束运动的贡献,牵连速度,也可通过下述简单方法求速度并得到动能:,相对速度,应用拉氏方程:,等效于自由质点在一维有效势场中的运动。,利用,可以当作一维势场中的运动质点来讨论其平衡稳定性 :,积分并整理得:,最多有三个解:,下面分别讨论三个平衡位置的稳定性:,小球处在圆环的最高点为不稳定平衡位置,此时小球处在圆环的最低点, 分两种情形:,当 时为不稳定平衡位置,当 时为稳定平衡位置,显然只要 3 存在且不为零即为稳定平衡位置,但当 时, 3 和1 合并, 并且为拐点, 平衡稳定性待查,平衡稳定性与 的关系见下图(稳定的角度用实线表示),例7: 见教材例6.6 (pp.193-195),本题有两个难点: 确定系统的自由度和广义坐标; 写出系统的动能,(I) 建立固定坐标系 xoy, 首先考虑自由度和广义坐标。,圆柱作平面平行运动, 原则上有三个自由度（两个描述质心，一个描述转动），但当斜面位置确定时，圆柱实际上相当于沿一条直线作纯滚动的情况，其自由度因受到一维约束和纯滚动约束。所以选用 (相对于某一固定垂线转过的角度）作为广义坐标, 就足以确定圆柱在斜面上的位置,因此选择两个广义坐标 x, ，它们完全能够确定体系的位置，所以体系的自由度为 2.,斜面作一维平动，可以采用斜面上任何一点代表其运动, 可选质心. 只需要一个广义坐标即可描述其位置, 取为 x(斜面尖端到某一固定直线-oy轴-的距离),(II) 写出坐标变换关系: 假设圆柱中心的坐标为 C1(x,y), 圆柱与斜面接触点到斜面顶端A(圆柱的初始位置)的距离为：PA = s, 斜面高为h, 斜面倾角为, 为圆柱转动的角度(相对于垂直线), 斜面质心C(xc,yc )，还有一些不变的常数,直角坐标与广义坐标之间的变换方程：,（在固定斜面上看：质心速度等于转动速度）,（点走过的距离等于其绕圆柱中心转过到点的弧长）,所以最后有:,由此说明：我们选择两个广义坐标 x, 是恰当的，它们完全能够描述体系的位置,求微分：,刚体一般运动的动能,科尼希定理:刚体的动能等于刚体随质心运动的平动动能 Tc 与刚体相对于质心运动(只能绕质心转动)的(转动)动能 T 之和,(2) 定轴转动,(1) 平动,(3) 平面平行运动,(III) 关键一步是写出体系的动能和势能及拉氏函数,势能的表达式：取 y = 0 为零点,拉氏函数的表达式,(IV) 根据拉氏方程得到运动方程, 可能情况下求解,容易求解：,进一步求解速度：,首先对第一个方程积分并应用初始条件：,或者根据L的表达式容易看出有一个循环坐标 x :,其意义是广义动量积分(并利用初始条件):,然后作变换：,思考一: 可以选另一套广义坐吗?,取 x (可以决定斜面的位置) 和 s (可以决定圆柱在斜面上的位置)为广义坐标,思考二: 可以用速度合成方法求圆盘中心的（绝对）速度?,纯滚动约束条件,例8: 铅笔竖直旋转的稳定性问题，见教材例6.7 (pp.195-196),More Examples,Ex (I),Ex (II),其意义是x方向动量守恒(具体值取决于初始条件),o,k,Ex (III),Ex(IV),4.拉格朗日方程的初积分和守恒量,通过拉格朗日方程得到的是运动微分方程，求解这些运动微分方程并考虑初始条件，即可得出广义坐标作为时间的函数 q(t), 应当说这个解包含了系统运动的全部信息。但是依据问题的性质，有时我们并不关心运动的全部细节，例如对钟表知道周期是重要的物理量，理想气体对器壁的压强只与分子的平均动能有关，特别是在微观层次对运动细节的掌握有时未必有多大价值，反而是一些与质量相关的“动力学量”的信息更为重要，主要原因是其“守恒性”。,守恒量之取值与时间无关，因而只依赖于系统的初值，即存在 。原则上通过拉格朗日方程就可以有一些初积分, 在物理上习惯称为运动积分，即守恒量。,（1）循环积分（广义动量守恒）,拉氏函数一般是广义坐标，广义速度和时间的函数，如果拉氏函数不显含某一个广义坐标 qj 时， qj 称为循环坐标或可遗坐标，与此循环坐标对应地存在着运动积分（守恒量）：,该常量由初始条件决定, 称广义动量积分(广义动量守恒)，注意广义动量没有可加性，一般也不对应某个具体质点的动量。,（2）能量积分（广义能量守恒）,如果一个力学体系不存在特别的时间标记，即具有时间均匀性（时间平移不变性），则其拉格朗日函数不显含时间 t ，这时候系统存在另一个运动积分:（广义能量守恒）：,*证明:,这里的 H 作为一个守恒量出现，它的物理意义究竟是什么呢？能量！,1) 稳定约束（坐标变换方程不显含时间），此时 H的含义即系统的机械能：,2) 非稳定约束（坐标变换方程显含时间），此时 H 的含义即系统的广义能量（不是机械能）：,*补充证明:,T2，T1，T0 分别是广义速度的二次，一次和零次齐次式。,L不显含t，对稳定约束，坐标变换方程不显含t：,利用齐次函数的欧拉定理, 即如果 f 是 xi 的m 次齐次函数，则有：,L不显含t，对非稳定约束，坐标变换方程显含t：,2.在哈密顿力学中 H 将进一步推广为哈密顿函数, 与拉氏函数 L 一样都是力学体系的特性函数，具有广泛的意义和用途。,1. 广义能量积分的存在条件是: L 不显含时间t （时间平移不变性，时间均匀性）。具体来说，零约束（封闭系统）或稳定约束（外场不随时间变化的非封闭系统）下, L的能量积分H 就是机械能守恒；而在非稳定约束（外场随时间变化的非封闭系统）下, L的能量积分H 就是所谓的广义能量守恒,4. 实际上在经典力学中，还有两个特别重要的守恒量（定律），它们与空间均匀性和各向同性相关, 这就系统动量和角动量守恒。,结论,3. 守恒量是与对称性相联系的，这种联系具有极其重要的意义，怎么强调也不过分，它超出了经典力学，在场和基本粒子的现代理论中都有着广泛的应用。,*下面从时空变换不变性推导动量和角动量守恒定律：,如果一个力学体系不存在特别的空间标记，即体系作一个整体平移时，力学性质不变，则其拉格朗日函数也必须不变。,又根据:,假如系统整体平移了一个无穷小距离 ，拉格朗日函数不变。,由于 的任意性，为使 L = 0，必须有：,所以封闭体系的总动量守恒：,当存在外场时，显然空间均匀性遭到破坏，总动量不再守恒。 但空间变量是三维的，因此外场势能可以不依赖于某个方向的变量时，则该方向的总动量分量仍保持守恒。,类似如果一个力学体系不存在特别的空间方向，即体系作一个整体转动时，力学性质不变，即其拉格朗日函数也不变。,假如系统整体转动一个无穷小角度 ，则第 i 个质点的位矢将变化：,由于 的任意性，为使 L = 0，必须有：,所以封闭体系的总角动量守恒。,对于非封闭体系，如果外场为空间各向同性时，总角动量仍保持守恒，即使外场不再各向同性, 但如果具有旋转对称性，则对于该对称轴的转动，系统的拉格朗日函数不变，因此系统相对于该对称轴的角动量分量守恒。,例8: 求例7的所有初积分,广义动量积分:,L有循环坐标 :,系统的拉氏函数为：,根据初始条件:,L不显含 t:,能量积分(机械能守恒)：,稳定约束(变换关系中不显含 t):,根据初始条件：,这样我们既可以通过拉格朗日方程得到系统的运动微分方程，然后求解这些二阶微分方程，得出运动规律:,又可以通过发现系统可能存在的运动积分（守恒量），得到两个一阶微分方程，原则上可以用这两个运动积分(一阶)代替前面的两个二阶微分方程，它们的求解显然要简单得多:,例9 质量为 m 的质点在有心力场 V(r) 中运动,试用拉格朗日方法求系统的运动微分方程和相应的初积分。,解:,质点受力为有心力：,容易证明质点作平面运动(有心力，力矩为零，角动量守恒,质点在垂直于角动量的平面内运动)，自由度 s，因为势函数的对称性，采用极坐标 为广义坐标,以力心为原点建立固定坐标系，质点的动能：,根据拉格朗日方程得出运动微分方程，首先求一些偏微分：,质点的拉氏函数：,由于 所以为循环坐标,广义动量（角动量）守恒,由于 ，稳定约束，所以有运动积分,保守系机械能守恒,下面考虑质点存在的运动积分：,运动微分方程,运动方程的运动积分,显然在有运动积分的情况下，尽量直接根据运动积分得到微分方程（一阶）比较方便求解，相当于原来的二阶微分方程降阶。,5.其它拉格朗日(Lagrange)函数,在电磁学的描述，可以引进拉格朗日函数:,广义动量,广义势,在相对论的描述，可以引进拉格朗日函数:,对无限自由度, 场论的情形, 都可以引进拉格朗日函数描述,1. 振动的概念,4-4 多自由度系统的小振动,振动在宏观领域,工程技术和微观领域都大量存在,如固体物理中讲的晶格振动;光学中讲的分子振动光谱等.,所谓振动是指系统对平衡位形的周期性偏离。由于质点间的相互作用，多自由度体系的振动是很复杂的运动，但体系在平衡位形附近的小幅度振动，相对较易应用拉格朗日方法处理。,多自由度体系的振动一般属于微观系统，可以很好地作为保守系统处理。对这类系统，物理上往往不关心对象运动的时空细节，注重的往往是系统对外界扰动的反应特性，因此没有必要从初值的观点进行求解，而是集中讨论方程和解的频率特性。,本节限于讨论:完整,理想,稳定约束的保守系统在其平衡位置附近的小振动问题。,对于完整、理想、稳定约束的保守体系: 包含 n 个质点、s 个自由度,拉格朗日定理: 如果在某一位置时，保守体系的势能有严格的极小值，则此位置是体系的稳定平衡位置。,体系的平衡方程:,保守系的平衡位置:,*2. 系统的平衡位置及其稳定性,对于自由度 s=1 的保守体系:,稳定平衡,不稳定平衡,随遇平衡,平衡稳定性?,取决于更高阶导数,对于多自由度 s 的保守体系: 平衡稳定性判断较复杂,稳定平衡,不稳定平衡,随遇平衡,平衡稳定性?,V 对所有广义坐标都取极小值,V 至少对一个广义坐标取极大值,其它情况,保守体系平衡位置的稳定性与小振动之间有密切的关系. 假设保守系具有某一平衡位置, 体系由于微扰等原因偏离该平衡位置, 如果偏离较小, 并且体系一直保持在平衡位置附近作往复运动, 则体系作小振动, 该平衡位置也是稳定平衡, 体系的势能有严格的极小值.,小振动和线性化也有密切关系: 自然界中的力学系统大部分是非线性系统,其运动微分方程(组)是非线性的,至今没有求精确解的普遍解析方法.考虑运动方程所代表的物理系统相对于平衡位置(假设有且稳定)有一个微小的偏离,这时系统将在平衡位置附近作小振动,此时只需保留有关物理量的一阶项就足够精确,则可以用线性微分方程描述系统, 所以小振动解实际上就是使非线性问题线性化所得到的一种初级近似解,3. 单摆,首先讨论单自由度系统。单摆就是一个单自由度的非线性系统首先讨论它的运动方程,(I)牛顿方法,切向,法向,(II) 拉氏方法：自由度为，选 为广义坐标,动能,势能,拉氏函数,运动方程,与牛顿方法得到的运动方程相同，这是一个非线性方程,拉氏函数,小振动近似：,方程线性化,现在已是线性方程，容易求出方程的解,存在稳定平衡位置：,简谐振动,这是周期性振动，和 由初始条件确定,振动频率,注意：如果不限定小振动，单摆可能作单向运动或周期运动，即使是周期振动，其频率或周期将取决于初始条件（如总能量），具体求解过程略。,. 耦合摆,分析: 这是一个完整理想和保守系统,应用拉氏方程解决问题.,容易看出系统的自由度 = 2, 选 1 和 2 为广义坐标,建立固定坐标系，写出坐标变换方程,体系的动能,写出体系的势能,写出拉氏函数:,根据拉氏方程:,容易得到该体系的有关运动方程, 应该是一个二阶非线性微分方程组,它将非常难以求解.,但我们很容易从物理分析知道: 体系有一个稳定的平衡位置,假定耦合摆在平衡位置附近作小振动, 我们就可以应用小振动近似, 对体系的物理量(包括动能, 势能, 拉氏函数, 运动方程等)在平衡位置附近作泰勒展开, 因此得到一个容易求解的线性微分运动方程, 小振动解就是该方程的解, 下面的求解过程包括了处理非线性力学系在平衡位置附近作微振动的主要方法.,小振动解,首先对体系的物理量(包括动能, 势能, 拉氏函数 在平衡位置附近作泰勒展开(小振动近似), 保留为广义坐标和广义速度的二阶小项,也可采用较严格和系统的方法推导势能的近似式(见教材):,最终得到体系在平衡位置附近作小振动的拉氏函数:,对于动能, 无需展开,根据拉氏方程得出运动方程:,这是二阶常系数线性微分方程组, 假定有振动类型的特解:,A1和A2存在非零解的必要条件是它们的行列式为零:,1 和 2 是系统的固有(本征,简正)频率(一般取正数),根据初始条件的不同, 可以得到不同的振动解:,(1) 同步振动, 振动频率为1,(2) 反相振动， 振动频率为2,其它情况下, 每个单摆的振动不再是以单一频率（1 或2 ）的简单振动模式，实际上是两种振动模式的某种叠加，所以是复杂振动，不再一定是周期性的。,在一些特殊的初始条件下，体系只有一种简正模式在振动或被激发时, 体系的振动是周期性的，即体系的每一个自由度都在作相同频率（简正频率）的简谐振动。,讨论(I),一般情况下, 体系的振动是复杂的，体系的各个质点（部分）的振动是相互关联的，实际上可以看作是各种振动模式（简正模式）的叠加， 体系的合振动也不再一定是周期性的。例如耦合摆的振动实际上是两种振动模式（简正模式）的叠加。,本例有两种整体振动方式-简正模式: 一种代表两个单摆同步振动, 频率为1; 另一种代表两个单摆反相振动, 频率为2,*耦合摆的简并坐标,从前面讨论看出，耦合摆的两个单摆的振动是相互关联的，不独立的，其原因是两个单摆通过弹簧相互作用，在势能表达式中存在两个角度（广义坐标）的交叉项，因此只要对两摆的角度坐标作适当的线性组合，成为新的广义坐标参量，就可以使动能成为新广义速度的平方和，势能不出现广义坐标的交叉项，满足这些要求的新广义坐标称为简正坐标。,简正振动的频率等于体系的本征频率-简正频率,讨论(II),上述两个独立简谐运动分别代表