2019_20学年高中数学第三章导数及其应用3.3.3函数的最大（小）值与导数课件新人教A版.pptx

3.3.3 函数的最大(小)值与导数,1.函数在闭区间的最值 一般地,如果在区间a,b上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.,名师点拨函数最值与极值的区别 1.函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有. 2.极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能成为最值.,【做一做1】 下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 答案:D,2.函数在闭区间a,b上最值的求法 一般地,求函数f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤如下: (1)求函数f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数f(x)的各个极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 特别提醒如果函数f(x)在闭区间a,b上恰好是单调函数,那么函数的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间a,b上递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间a,b上递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.,【做一做2】 函数f(x)=x3-3x2+12在区间-1,1上的最大值与最小值分别为 . 解析:f(x)=3x2-6x=3x(x-2), 令f(x)=0得x=0(x=2舍去). 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=8,当x=0时,函数取最大值f(0)=12. 答案:12,8,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)在f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的曲线,那么f(x)在a,b上存在极值和最值. ( ) (2)函数y=f(x)在a,b上连续,是函数y=f(x)在a,b上有最大值或最小值的充分而非必要条件. ( ) (3)函数的最值有可能在极值点处取得. ( ) (4)若f(x)在区间(a,b)上的图象是连续不断的曲线,那么f(x)在(a,b)上存在最值. ( ) (5)如果函数f(x)在(a,b)上只有一个极值,那么这个极值就是相应的最值. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,思想方法,求函数在闭区间上的最值 【例1】 求下列函数在相应区间上的最值: (1)f(x)=2x3-12x,x-1,3; (2)f(x)= x+sin x,x0,2. 思路点拨:,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟求函数f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤 (1)求函数f(x)的导函数f(x); (2)解方程f(x)=0,求出使得f(x)=0的所有点; (3)计算函数f(x)在区间a,b内使得f(x)=0的所有点以及端点的函数值; (4)比较以上各个函数值,其中最大的是函数的最大值,最小的是函数的最小值.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,求函数在开区间(无穷区间)上的最值 【例2】求下列函数的最值:,思路点拨:没有给定相应的闭区间,因此应分析函数在其定义域上的单调性与极值情况,根据单调性与极值画出函数的大致图象,结合图象求出最值.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟求一个函数在无穷区间(或开区间)上的最值与在闭区间上的最值的方法是不同的,求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,与最值有关的参数问题 【例3】 已知函数 在区间(a,10-a2)上有最小值,求实数a的取值范围. 思路点拨:先求出函数f(x)的单调区间与极值,然后结合图象建立关于参数a的不等式求解. 自主解答:f(x)=x2-1=(x+1)(x-1),令f(x)0,得x1; 令f(x)0,得-1x1,所以函数f(x)的单调递增区间为(-,-1)和(1,+),单调递减区间为(-1,1).,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟注意函数在闭区间与开区间上最值的区别:当函数在开区间或无穷区间上存在最值时,最值点不是在区间的端点,而在极值点处取得.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练3函数f(x)=ax4-4ax3+b(a0),x1,4,f(x)的最大值为3,最小值为-6,则a+b= . 解析:f(x)=4ax3-12ax2. 令f(x)=0,得x=0(舍去)或x=3. 当10, 故x=3为极小值点. 因为f(3)=b-27a,f(1)=b-3a,f(4)=b, 所以f(x)的最小值为f(3)=b-27a,最大值为f(4)=b.,探究一,探究二,探究三,思想方法,分类讨论思想在解决函数最值问题中的应用,【审题视角】 对于(1),可利用导数通过解不等式求得单调区间;对于(2),由于函数的最值只能在极值点和端点处取得,因此需比较极值点和端点处的函数值的大小即可,最后再将讨论的情况进行合并整理.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,方法点睛1.解答含参数的问题,往往需要对参数进行分类讨论后进行求解. 2.在分类讨论的每一种情况中得到参数的值后,要注意检验该结果是否符合讨论的前提条件. 3.分类讨论时,若在所讨论的范围内,问题无法解决,还需要针对参数展开第二层讨论. 4.针对参数的所有情况讨论完成后,应将结论进行整合.,探究一,探究二,探究三,思想方法,跟踪训练已知函数f(x)=ax-ln x,是否存在实数a,使得函数在(0,e上的最小值等于2?若存在,求出实数a的值;若不存在,说明理由.,探究一,探究二,探究三,思想方法,1,2,3,