CHAPTER1.随机事件及其概率.ppt

,概率统计及其应用,参考书 概率论与数理统计浙江大学编，高等教育出版社。 2. 概率论与数理统计陈希孺编，科学出版社。 3. 概率论与数理统计同济大学编，高等教育出版社。,第1章 随机事件及其概率,第1.1节 随机事件,第1.2节 事件的概率,第1.3节 条件概率与独立性及其应用,返回,随机现象： 掷一枚硬币,观察向上的面; 某人射击一次,考察命中环数; 某人射击一次,考察命中情况; 从一批产品中抽取一件,考察其质量; ,确定性现象： 抛一石块,观察结局; 导体通电,考察温度; 异性电菏放置一起,观察其关系; ,1.1 随机事件,概率统计的研究对象,随机现象 在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。 随机现象的统计规律性 在相同条件下多次重复某一实验或观察时，其各种结果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统计规律性。 概率统计是研究随机现象统计规律性的一门科学。,一. 基本概念,1.随机试验（E）对随机现象进行的实验与观察. 它具有三个特点：重复性, 明确性 , 随机性.,2.随机试验的样本点 （）随机试验的每一个 可能结果.,3.随机试验的样本空间（）随机试验的所 有样本点构成的集合.掷一颗骰子的试验中 = 1，2，3，4，5，6,5.基本事件的单元素子集，即每个样本点构成的集合.,4. 事件 某种现象或情况 随机事件可能发生也可能不发生的事件，可 看成的子集，常用A、B、C表示.如掷一颗骰子 的试验中A=出现奇数点，则A=1,3,5为的子集。 通常，随机事件简称为事件。,6.必然事件（）,7.不可能事件（）,二. 事件的出现（或发生）,称在一次试验中事件A出现（发生）当且仅当此次试验的结果（样本点或基本事件）包含在A中. 注意： 1.在一次试验中，某个事件可能出现也可能不出现； 2.在一次试验中，一定有一个样本点出现，且仅有一个样本点出现.,课 堂 练 习 写出下列各个试验的样本空间 1 掷一枚均匀硬币，观察正面（H）反 面（T）出现的情况； 2.将一枚硬币连抛三次，观察正面和反面 出现的情况； 3.将一枚硬币连抛三次，观察正面 出现的 情况.,4.袋中有编号为 1，2，3，n 的球,从 中任取一个，观察球的号码； 5.从自然数 1，2，3，N（N 3）中 接连随意取三个 , 每取一个还原后再 取 下一个。若是不还原呢？若是一次就取 三个呢？ 6.接连进行n次射击,记录命中次数.若是记 录n次射击中命中的总环数呢？ 7.观察某条交通干线中某天交通事故的次 数。,A含于B中,表示若事件A出现,事件B一定出现（ A是B的子集）. AB, BA A = B,A与B的并(和).表示事件A,B至少有一个出现. 推广:A+B+C表示事件A,B,C至少有一个出现.,三、事件的关系与运算,定义一个事件：指出该事件何时发生何时不发生,A与B的交(积).表示事件A和B同时出现. 推广: ABC 表示事件A,B,C 同时出现,表示事件A和B不能同时出现,称A与B互斥（或互不相容）.,称事件A和B为对立事件,记为B = A,每次试验A,A,一定有一个发生，且只有一个发生。,表示事件A出现,而事件B不出现.且,表示事件A和事件B都不出现.,表示事件A和事件B至少有一个不出现.,注 以上结果可推广为,事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运算一致，只是术语不同而已。 比如：概率论中的必然事件（样本空间）在集合论中是全集，概率论中的不可能事件在集合论中是空集，概率论中的事件在集合论中是子集，概率论中的逆事件、和事件、积事件、差事件在集合论中分别是余集、并集、交集、差集，等。,记 号 概 率 论 集 合 论 样本空间,必然事件 空间,全集 不可能事件 空集 样本点 元素 A 事件 集合,A是B的子事件 A是B的子集,A与B是相等事件 A与B是相等集合,A与B互斥(互不相容) A与B无相同元素,A与B的和(并)事件 A与B的并集,A与B的积(交)事件 A与B的交集,A与B的差事件 A与B的差集,A的对立事件(逆事件) A的余(补)集,课堂练习,1. 设A、B、C为任意三个事件,试用 它们表示下列事件: A出现，B、C不出现； A、B出现，C不出现； A、B、C都出现； A、B、C都不出现； A、B、C中恰有一个出现； A、B、C中至少有一个出现； A、B、C中至多有一个出现； A、B、C中不多于一个出现； A、B、C中至少有两个出现； A、B、C中最多有两个出现.,2.若A是B的子事件，则A+B=( )，AB=( ) 3.设当事件A与B同时出现时C也出现,则( ) A+B是C的子事件； C是A+B的子事件； AB是C的子事件； C是AB的子事件。,4.设事件A=甲种产品畅销，乙种产品滞销， 则A的对立事件为（ ） 甲种产品滞销，乙种产品畅销； 甲、乙两种产品均畅销； 甲种产品滞销； 甲种产品滞销或者乙种产品畅销。 5.设x表示一个沿数轴做随机运动的质点位 置，试说明下列各对事件间的关系 A=|x-a|，B=x-a（0） A=x20，B=x20 A=x22，B=x19,1.2 事件的概率,1.古典概型 设为试验E的样本空间，若 （有限性） 只含有限个样本点， （等概性）每个基本事件出现的可能性相等，则称E为古典概型（或等可能概型）。,2.古典概率的定义 设E为古典概型， 为E的样本空间，A为任意一个事件，定义事件A的概率 P(A)=A中的基本事件数 / 基本事件总数 ( 或 = card(A)/card()） 其中，A中的基本事件数 称为有利于A的基本事件数,刻划某事件在一次试验中出现的可能性大小的指标称为该事件的概率。它是界于0与1之间的一个实数。,加法原理,完成某件事情有n类方法,在第一类方法中有m1种方法,在第二类方法中有m2种方法,依次类推,在第n类方法中有mn种方法,则完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法,其中各类方法彼此独立.,乘法原理,完成某件事情需先后分成n个步骤,做第一步有m1种方法,第二步有m2种方法,依次类推,第n步有mn种方法,则完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法,特点是各个步骤连续完成.,3. 复习,排列与组合, 非重复的选排列 从 n个不同元素中,每次取出k个不同的元素,按一定的顺序排成一列称为选排列,选排列的种数记作, 组合 从n个不同的元素中,每次取出k(kn)个不同的元素,与元素的顺序无关组成一组叫作组合,其组合数用 表示,其中,例如,两批产品各50件,其中次品各5件,从这两批产品中各抽取1件, (1)两件都不是次品的选法有多少种? (2)只有一件次品的选法有多少种?,解 (1) 用乘法原理,结果为,(2)结合加法原理和乘法原理得选法为:,例 箱中有6个灯泡,其中2个次品4个正品,有放回地从中任取两次,每次取一个,试求下列事件的概率： （1）取到的两个都是次品;（2）取到的两个中正、次品各一个,（3）取到的两个中至少有一个正品.,解 设A =取到的两个都是次品，B=取到的两个中正、次品各一个, C=取到的两个中至少有一个正品.,（1）样本点总数为62，事件A包含的样本点数为22，,所以 P(A)=4/36=1/9,（2）事件B包含的样本点数为42+24=16，,所以P（B）=16/36=4/9,（3）事件C包好的样本点数为62-22=32，,所以P(C )=32/36=8/9,思考若改为无放回地抽取两次呢? 若改为一次抽取两个呢？,4. 概率的定义,描述性定义刻划某事件在一次试验中出现的可能性大小的指标称为该事件的概率。它是界于0与1之间的一个实数。 事件发生的频率： 将某个试验重复 n 次，事件A 出现 m 次，称 (A) = m/n 为事件A 的频率 统计定义某事件在同一试验的大量重复下出现的频率的稳定值称为该事件的概率。 公理化定义把满足 非负性、规范性、可列可加性的事件的函数称为概率。,设P(A)为事件的实函数,若P(A)满足 非负性 0P(A)1; 规范性 P()=1,P()=0; 可加性,则称P(A)为事件A的概率.,概率的公理化定义,由于实际问题的不同和处理问题的角度不同,有很多计算随机事件概率的方法.但它们都要求具有下面三个基本性质.,5. 概率的要点性质,(1)P()=0，P( )=1，逆不一定成立. (2)若AB=,则P(A+B)=P(A)+P(B),可推广 到有限个互斥 事件的情形.即:若A1,A2,An两两互斥,则 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An) (3)P(A-B)=P(A)-P(AB), 若B是A的子事件,则P(A-B)=P(A)-P(B)，且 P(A)P(B). P( A) = P( ) = 1-P(A). (4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB) -P(AC) - P(BC)+P(ABC) 可推广到有 限个事件的情形(多退少补原则)。,得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，,例题,1.AB=，P(A)=0.6，P(A+B)=0.8，求 B的逆事件的概率。,所以，P( )=1-0.2=0.8,解：由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B),思考：在以上条件下，P(A-B)=？,2.设事件A发生的概率是0.6，A与B都发生的概率是0.1，A 与B 都 不发生 的概率为 0.15 ,求 A发生B不发生的概率；B 发生A不发生的概率及P(A+B).,解：由已知得，P（A）=0.6，P（AB）=0.1 P（ ）=0.15，,则 P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.5,P（B-A）=P（B）-P（AB）,P（A+B）=1-P（ ）=1-P（ ）=0.85,又因为P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），所以，,P（B）=P（A+B）-P（A）+P（AB）=0.85-0.6+0.1=0.35,从而，P（B-A）=0.35-0.1=0.25,课堂练习,(901) P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6， 求P(A-B). (915)P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(-AB) (921) P(A) =P(B) = P(C) =1/4， P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=1/6，求A、B、C都不出现的概率。 (941) A、B都出现的概率与 A、B 都不出现的概率相等，P(A)=p，求P(B).,解：(1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1,所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3,(2)P( -AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7+0.3=0.6,(3)P( )=P( )=1-P(A+B+C)=7/12,(4)P(AB)=P( )=P( )=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB), 所以,P(B)=1-P(A)=1-p,1. P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6， 求P(A-B). 2. P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(-AB),解 (1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1, 所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3,(2)P(-AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B) =1-0.7+0.3=0.6,课堂练习,P(A)=P(B)= P(C)=1/4，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=1/6，求A, B, C都不出现的概率。 4. A, B都出现的概率与 A, B 都不出现的概率相等，P(A)=p，求P(B).,解 (3) P( )=P( )=1-P(A+B+C)=7/12,(4)P(AB)=P( )=P( ) =1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB),所以,P(B)=1-P(A)=1-p,1.3 条件概率与独立性及其应用,例如 考虑掷一骰子的实验。这里，骰子必须为均匀的正立方体。考虑三个事件：A:“掷出素数点”，B：“掷出奇数点”，C：“掷出偶数点”，有，A=2,3,5,B=1,3,5,C=2,4,6 于是算出A的（无条件）概率为P(A)=3/6=1/2。现若附加上“已知B发生”，则可能的情况只有三种：1，3，5，其中两种有利于A发生。故在已知B发生的条件下，A的条件概率，记为P（AB），等于2/3,也等于P(AB)/P(B)。 同样，在给定事件C发生的条件下，A的条件概率为 P（AC）=1/3 = P(AC)/P(C)。,1.条件概率与独立性,定义 对于两个事件A、B, 若P( B )0, 则称 P(A | B）= P（AB）/ P（B） 为事件B出现的条件下，事件A出现的条件概率。,在计算条件概率时,一般有两种方法: (1) 由条件概率的公式; (2) 由P(B|A)的实际意义,按古典概型计算.,(1) 条件概率,P(A | ) = P(A),P(A | B) 与 P(AB) 不同，前者样本空间为B,后者样本空间为.,例如 在10个产品中有7个正品,3个次品,按不放回抽样,每次一个,抽取两次,已知第一次取到次品，第二次又取到次品的概率。,解 设第一次取到次品为事件A,第二次又取到次品为事件B,记所求概率为P(B|A),则,对于两个事件A与B， 若P(A)0,则有 P(AB)=P(A)P(B|A), 若P(B)0,则有 P(AB)=P(B)P(A|B),推广情形,对 于 n 个 事 件 A1 ,A2,An ,若 P ( A1A2An-1 ) 0，则 有 P ( A1A2An) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1),若P(AB)0,则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB),乘法法则一般用于计算n个事件同时发生的概率,(2) 乘法公式,例 盒中有3个红球，2个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、 第3、4次取得红球的概率。,解：设Ai为第i次取球时取到白球，则,例如 箱中装有10件产品:7件正品,3件次品,甲买走1件正品,乙要求另开一箱,也买走1件正品. 记甲取到正品为事件A,乙取到正品为事件B,则,由乘法公式即得,P(AB)=P(A)P(B),从问题的实际意义理解，就是说事件A和事件B出现的概率彼此不受影响.,(3) 事件的独立性,定义 若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立。,推论1 A.B为两个事件,若P(A)0, 则A与B独立等价于P(B|A)=P(B). 若P(B)0, 则A与B独立等价于P(A|B)=P(A).,证明：A, B独立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B),P(B|A)=P(B),注意 从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响.,证明 不妨设A.B独立,则,其他类似可证.,推论2 在 A 与 B, 与 B, A 与 ， 与 这四对事件中,若有一对独立, 则另外三对也相互独立。,注意 判断事件的独立性一般有两种方法: 由定义判断,是否满足公式; 由问题的性质从直观上去判断.,定义 (n个事件的相互独立性） 设有n个事件A1,A2,An,若对任何正整数m(2mn)以及,性质 若n个事件相互独立，则 它们积事件的概率等于每个事件概率的积.,则称这n个事件相互独立.,若上式仅对m=2成立,则称这n个事件两两独立.,注意 从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响.,它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事 件后，所得的n个事件也是相互独立的。,例 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的概率依次为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求电路断电的概率是多少?,解 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电 , A表示电路断电,则A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3,P(A)=P(A1+A2+A3)=,=1-0.168=0.832,课堂练习,2. 甲,乙两人独立地对同一目标射击一 次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,则它是甲击中的概率为( ),2. 设A=甲击中,B=乙击中,C=目标被击中,所求 P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.6/0.8=3/4,解 1.,1. P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P( |A)=0.4,则P(B)=( ).,所以,P(AB)=0.36,又由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)得,P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.6,例 设10件产品中有4件不合格品，从 中不放回取两次，每次一件，求第二件为不合格品的概 率为多少？,解 设A=第一次取得不合格品,B=第二次取得不合格品,则,=(4/10)(3/9)+(6/10)(4/9),=6/15,2. 应用全概率公式和Bayes公式,全概率公式 设是随机试验E的样本空间,事件组 A1,A2,An满足：,则 对于任何一个事件B，有,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(An)P(B|An),证明,=P(A1)P(B|A1)+ P(An) P(B|An) 称公式中A1,A2,An为完备事件组,例 市场上某种商品由三个厂同时供货,其供应量为:甲厂是乙厂的2倍,乙、丙两个厂相等,且各厂产品的次品率分别为2%,2%,4%,(1)求市场上该种商品的次品率.,(1) 从市场上任取一个产品，Ai表示取到第i 个工厂产品,i=1,2,3, B表示取到次品, 由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由全概