06_第四章_正交变换和小波变换

正交变换的一般表达,一维变换 正变换和正向变换核 反变换和反向变换核 其中，G(u)是f(x)的正变换，t(x,u)叫做该变换的正变换核，h(x,u)叫做逆变换核。,二维方阵 正变换和正向变换核 反变换和反向变换核,正变换核,反变换核,可分离性 如果 如果函数t1等于t2，那么，这个核是加法对称的，则： 逆向核的可分离性解释同上。,变换核的可分离性和对称性 二维傅立叶变换是通用变换的特殊情况，它的核为： 显然是可分离和对称的，因为： 容易证明，逆向傅立叶变换核也是可分离的和对称的。,运算步骤： 一个可分离核的变换可以分为两步计算，每步只需进行一个一维变换。首先，沿f(x,y)的每一行(x)取一维变换，可得： 然后沿G(x,v)的每一列(v)取一维变换，得到： 这种运算使得图像的傅立叶变换大大简化。,正交变换矩阵表达,F：NN图像矩阵,T：NN对称变换矩阵,B：NN反变换矩阵,H=T-1时，图像可完全由变换恢复,HT-1时，F的一个近似,其元素为tij=t1(i,j),若核t(x,y,u,v)是可分离核对称的，则：,酉变换是对于给定的向量用酉矩阵实施的一类变换。 所谓酉矩阵是指满足如下条件的矩阵： 若T是一个酉矩阵，且所有元素为实数，则它是一个正交矩阵，满足： 其中 的第(i,j)个元素表示第i行和第j列的内积。,酉变换,核矩阵的各行构成了N维向量空间的基向量。 这些行(i)是正交的： 是克罗内克(Kronecker)符号,当jk时为1，否则为0。 通常要用同一种形式的基函数作用于整个原信号的数集，例如傅立叶变换用复指数作为基函数原型函数。,基向量,除了傅立叶变换外，很多变换在核矩阵中只有实元素，因此也为正交变换。 分解过程：将信号向量分解成它的各个基函元分量，这些基元分量自然以基向量的形式表示；各个基元分量在原信号中所占的份额由变换系数决定。 逆变换：将各个分量相加，合成，以恢复具有与原始向量相同的元素个数的向量，且变换系数规定了重构原始向量时各个分量的大小。,正交变换,其它离散正交变换包括沃尔什变换，哈达玛变换，离散余弦变换，哈尔变换以及K-L变换，它们与傅立叶变换具有相同的形式。,其它离散正交变换,沃尔什变换,一维沃尔什变换 正变换 正变换核 其中， 是z的二进制表示的第i位,沃尔什变换,沃尔什变换核形成的阵列是一个对称矩阵，它的行和列是正交的(不同行列相乘之和为0，自乘之和为1)。 同样，逆向核也成立： 与以三角函数为基础的傅立叶变换不同，沃尔什变换是由取值为1和1的基本函数的级数展开构成的。,沃尔什变换,二维沃尔什变换 正变换和正向变换核 反变换和反向变换核,Walsh变换矩阵,二维哈达玛变换 正变换和正向变换核 反变换和反向变换核,哈达玛变换,Hadamard变换矩阵,当f(x)或f(x,y)为偶函数时，变换的计算公式只有余弦项。 一个任意函数采样从0,1,2,N-1，若向负方向折叠形成2N采样的偶函数，就可以进行2N的偶函数傅立叶变换。 余弦变换是简化傅立叶变换的一种方法,离散余弦变换,离散余弦变换,二维离散余弦变换,傅立叶变换的局限,1、傅立叶变换的实质是将能量有限信号分解到exp(jwt)为正交基的空间上去，基的性能有限制 2、频域分析具有很好的局部性，但时域上没有局部化功能。 3、短时傅立叶变换窗口函数(即相应带通滤波器带宽)与中心频率无关。,小波变换,1822年Fourier变换,在频域的定位最准确，无任何时域定位能力。函数，时域定位完全准确，频域无任何定位能力 1946年Gabor变换，STFT，窗函数的大小和形状与时间和频率无关而保持固定不变。不构成正交基。 1982年Burt提出金字塔式图像压缩编码，子带编码(subband coding),多采样率滤波器组(multirate sampling filter bank). 1910年Harr提出规范正交基。 1981年Stormberg对Harr系进行改进，证明了小波函数的存在。 1984年,Morlet提出了连续小波 1985年,Meyer,Grossmann,Daubecies提出离散的小波基 1986年,Meyer证明了不可能存在时域频域同时具有正则性的正交小波基，证明了小波的自正交性。 1987年,Mallat统一了多分辨率分析和小波变换，给出了快速算法。 1988年，Daubecies在NSF的小波专题研讨会进行了讲座。,2. 信号分析的进展,小波的应用,J.Morlet，地震信号分析。 S.Mallat，二进小波用于图像的边缘检测、图像压缩和重构 Farge，连续小波用于涡流研究 Wickerhauser，小波包用于图像压缩。 Frisch噪声的未知瞬态信号。 Dutilleux语音信号处理 H.Kim时频分析 Beykin正交小波用于算子和微分算子的简化,信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘探、流体力学、电磁场、CT成象、机器视觉、机械故障诊断、分形、数值计算,傅立叶变换 以正弦函数作为正交基函数；离散傅立叶变换也是以整个域中非零基向量作为变换核向量的。带来应用局限性。 例如，图像中某些局部特征，边缘或者轮廓线条等，同傅立叶变换核函数的周期性质相距甚远，以至于傅立叶变换不能对这样的局部特征作出最佳表示,小波变换,小波变换,小波变换 是一种在有限宽度的范围内进行的正交或者非正交变换，基函数是一种不仅在频率上而且在位置上变换的、有限宽度的波形函数，称为小波。 通过一个小波基的单个原型函数 的伸缩和平移来产生一组基函数。 是一个振荡函数，以原点为中心，并当 时迅速消失。,小波 若 是一个实函数，且频谱 满足： 则 被成为一个基本小波，或者小波基函数(basic function),小波变换,小波基函数（积分核） 一组小波基函数表示为 ，它们是通过平移和伸缩基本小波来构造的： 式中，变量b指出其沿x轴的平移量；变量a反映一个特定基函数的尺度(宽度)，a0，且与b同为实数。,小波变换,小波变换,连续小波变换,1. 连续小波变换,小波变换核函数（反变换存在） 容许条件（频率0处为0带通，且具有正负交替的振荡波形，等等） 正则性条件（随着a减小迅速减小） 紧支集 常用小波：Haar小波，样条小波，db小波等,连续小波变换为冗余变换，可以在一些离散的尺度和位移上计算小波变换。,小波函数必须满足以下两个条件的函数： 小波必须是振荡的； 小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局部化的。如：,不是小波的例,2. 离散小波变换,离散小波变换（连续小波的冗余性） 能不能完整表征信号。 任意信号是否都能表示为基本单元的加权和。系数如何确定。,2. 离散小波变换,线性变换 Tx= 成为一个标架: 唯一性 正变换和反演的连续性 标架：一般标架，紧标架，正交标架 通过标架进行重建,2. 离散小波变换,小波基在离散栅格上扩展为小波标架。 基本小波满足框架条件为小波框架 满足小波框架条件就是满足连续小波容许条件。 小波标架： 正交小波 半正交小波 双正交小波,二维小波变换（二维多尺度分析） 二维小波变换是由一维小波变换扩展而来的，二维尺度函数和二维小波函数可由一维尺度函数和小波函数张量积得到，即：,图像的二维小波变换包括沿行向(水平方向)和列向(垂直方向)滤波和2-下采样，如图所示：,图像滤波采样,说明：如图所示，首先对原图像I(x,y)沿行向(水平方向)进行滤波和2-下采样，得到系数矩阵IL(x,y)和IH(x,y)，然后再对IL(x,y)和IH(x,y)分别沿列向(垂直方向)滤波和2-下采样，最后得到一层小波分解的4个子图： ILL (x,y)I(x,y)的（粗）逼近子图 IHL(x,y) I(x,y)的水平方向细节子图 ILH (x,y) I(x,y)的垂直方向细节子图 IHH (x,y) I(x,y)的对角线方向细节子图,二维金字塔分解算法 令I(x,y)表示大小为MN的原始图像，l(i)表示相对于分析小波的低通滤波器系数，i=0,1,2,Nl-1， Nl表示滤波器L的支撑长度； h(i)表示相对于分析小波的高通滤波器系数，i=0,1,2,Nh-1， Nh表示滤波器H的支撑长度，则,对逼近子图重复此过程，直到确定的分解水平，下图是二层小波分解的示意图。,图像多尺度分解，(a)一层分解，(b)二层分解,3. 多分辨率分析和多采样滤波器,理想滤波器频带分解 带宽减半采样减半 各带通空间恒Q性 滤波器一致性 函数空间分解 小波函数和尺度函数为基底的函数空间分解,3. 多分辨率分析和多采样滤波器,与连续小波的联系 各个分辨率进行分析的高频信号就是各个尺度的小波变换 信号上采样后通过同一滤波器等于原来信号经过一个插0值的滤波器。 滤波器组和小波基可以互求，利用各自领域的设计技术,3. 多分辨率分析和多采样滤波器,多采样滤波器的重建条件 H0(-z)G0(z) + H1 (-z)G1(z) = 0 H0(z)G0(z) + H1(z)G1(z) = cz-k,3. 多分辨率分析和多采样滤波器,滤波器组四个滤波器，两个必须条件，所以不唯一，通过其他条件约束产生特定滤波器。 正交镜像对称滤波器组 H0,H1以频率中轴左右对称 共轭正交滤波器组 H1等于H0时序反转后，将偶序号各值反号 正交性，无损性，功率互补（各带通一起具有全通） 三个