05--积分变换方法与三维裂纹问题@@@

1,第五讲:求解裂纹问题的积分变换方法 应用:降维-反演 三维裂纹 断裂动力学,2,取应力函数 满足双调和方程： 富里埃变换的（n）阶导数：,一、二维双调和方程的富里埃（Fourier Transforms）变换,3,一、二维双调和方程的富里埃（Fourier Transforms）变换,将双调和方程（7-2）作富里埃变换 其中 方程（7-4）的一般解,4,一、二维双调和方程的富里埃（Fourier Transforms）变换,应用反演公式： 及应力变换：,5,一、二维双调和方程的富里埃（Fourier Transforms）变换,得： 由反演公式，得：,6,一、二维双调和方程的富里埃（Fourier Transforms）变换,现讨论平面应变情形下位移的解 作反演得： 若求得 ，可得 ， 。,7,二、半无限弹性平面的位移解,现讨论受分布压力 的半无限弹性平面问题 边界条件为：,8,二、半无限弹性平面的位移解,双调和方程的应力函数的富里埃变换的一般解为： 由边界条件（2）可知： ，所以 由边界条件（1），确定A、B：,9,二、半无限弹性平面的位移解,代入（7-6）式应力函数的富氏变换 得到应力解：,10,二、半无限弹性平面的位移解,对于平面应变问题 将应力函数代入（7-10）、（7-11）得到位移表达式,11,三、裂纹问题的对偶积分方程,现讨论裂纹边界受分布压力 问题 边界条件为：,12,三、裂纹问题的对偶积分方程,如果压力 分布对 轴是对称的，则 由边界条件 得： 由边界条件 得： 引入代换： 式中 是贝塞尔函数,13,三、裂纹问题的对偶积分方程,利用上述代换，边界条件(7-22)、(7-23)写为： 上式为对偶积分方程，由这一对方程决定函数 ，于是便可求得 。在求出 后，便可以得到应力场和位移场的全部解。,14,三、裂纹问题的对偶积分方程,对偶积分方程 (7-24)的解为： 作用在裂纹表面的压力由下列级数给出： 则 于是有,15,三、裂纹问题的对偶积分方程,若当 ，且 时有 ，则 可得位移： 在均布压力作用下，裂纹会扩大张开成椭圆形状。 利用这种方法可解许多种裂纹尖端的应力位移场。,16,三维裂纹问题的求解,17,受均匀拉伸的椭圆盘状裂纹，Green-Sneddon解,边界条件：,椭圆盘状裂纹,18,寻找调和函数,解实际上在流体力学中已经早就找到了，即在无穷远处处于静止的不可压缩的无限流体中，椭圆盘状的物体以匀速 垂直于 平面运动，问题与上述裂纹问题在数学上相似，而它的解是已知的。,19,根据流体力学比拟得到本问题的解为,待定系数,边界条件，定出常数,应力场,其中,其中,20,应力强度因子,还原为第二类完全椭圆积分,，圆盘状裂纹,21,半椭圆表面裂纹问题,无限大平板中， 轴上有一排长为 ，间距为 的无限个共线直裂纹,表面（非穿透性）裂纹，Irwin 1962,宽度为B的有限宽板，有一长为 的直裂纹， 借用上式为近似解，,当 不是很小,半椭圆平面裂纹,22,K与G的关系,能量释放率法和应力强度因子方法，作为两种脆性材料的线弹性断裂力学分析方法，是对同一问题的两种不同考虑，应该具有一定的内在联系。 对于线弹性断裂问题，采用G准则或K准则在数学上是完全等价的，得到的结果应该是一致的。 一般情况下，计算应力强度因子(SIF)比计算能量释放率更容易，因此在工程中一般采用K作为断裂的判据。,23,复习-K与G的联系与区别,G是从系统（含裂纹）的整体的能量出发定义的；K是在裂纹尖端附近的局部的应力强度定义的。 G是一种变化率的概念（裂纹扩展单位长度引起的应变能或势能释放），K是当前状态的概念。 尽管Griffith最早考虑的是脆性材料，G的适用范围更广泛。,能量是一个标量，因此能量释放率G只有一个； 应力强度因子则有I,II 和 III型，对应着三种不同的裂纹类型。 G和K都是断裂力学中的重要概念，但是K的提出，意味着断裂力学定量计算向前迈了一大步。,24,K和G之间的联系 (I-II-III 型）-自习题,无限大板中的无限长I型裂纹：,作为一般的情况，考虑如图所示的裂纹，其长度为a。因为能量释放率与加载方式无关，不妨设试件承受固定位移加载。在裂纹未扩展前，裂纹前方的应力为：,25,在与裂纹面平行的平面内只有三个应力分量 和 。 型，型，型的应力角分布函数在的平面内有：,裂纹前缘延长线上的应力为： 随着裂纹的扩展，裂纹前缘延长线上的力逐步被释放。,可见，任何一种型式（如型）不会产生其它型（和型）的应力，即这三种K型是完全独立的。,26,假设裂纹延长，新形成的裂纹面间的相对位移为： 在裂纹扩展的过程中系统释放的势能为：,27,线弹性断裂力学应力强度因子的计算,计算应力强度因子的其他方法 解析法：复变应力函数法、保角变换法、积分变换法、奇异积分方程法、 数值法：有限元法、边界元法、有限体积法、 、 半解析-半数值法：边界配位法 局部-整体法