2020版高考数学总复习第七章不等式第1节不等式的性质与一元二次不等式教案文（含解析）北师大版.docx

第1节不等式的性质与一元二次不等式最新考纲1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一二次不等式模型；3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图.知 识 梳 理1.实数的大小顺序与运算性质的关系(1)abab0；(2)abab0；(3)ababb，c0acb0，m0，则(bm0).(2)若ab0，且ab0，求解时不要忘记a0时的情形.3.当0(a0)的解集为R还是，要注意区别.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)abac2bc2.()(2)若不等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0(a0)的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()解析(1)由不等式的性质，ac2bc2ab；反之，c0时，abac2bc2.(3)若方程ax2bxc0(a0(a0)的解集为.(4)当ab0，c0时，不等式ax2bxc0也在R上恒成立.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修5P72思考交流改编)若ab0，cd0，则一定有()A. B.C. D.解析因为cd0，所以0，两边同乘1，得0，又ab0，故由不等式的性质可知0.两边同乘1，得.答案B3.(必修5P113A1改编)已知集合A，Bx|x2x60，则AB()A.(2，3) B.(2，2)C.(2，2 D.2，2解析因为Ax|x2，Bx|2x3，所以ABx|2x2(2，2.答案C4.(2018抚州联考)若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()A.ac2bc2 B. D.a2abb2解析c0时，A项不成立；0，选项B错；0，选项C错.由ababb2.D正确.答案D5.(2019河北重点八所中学模拟)不等式2x2x30的解集为_.解析由2x2x30，得(x1)(2x3)0，解得x或x0的解集为.答案6.(2018汉中调研)已知函数f(x)ax2ax1，若对任意实数x，恒有f(x)0，则实数a的取值范围是_.解析若a0，则f(x)10恒成立，若a0，则由题意，得解得4aa B.acbC.cba D.acb(2)(一题多解)若0，给出下列不等式：；|a|b0；ab；ln a2ln b2.其中正确的不等式是()A. B.C. D.解析(1)cb44aa2(a2)20，cb.又bc64a3a2，2b22a2，ba21，baa2a10，ba，cba.(2)法一因为0，故可取a1，b2.显然|a|b1210，所以错误；因为ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以错误.综上所述，可排除A，B，D.法二由0，可知ba0.中，因为ab0，ab0，所以0，0.故有，即正确；中，因为ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为ba0，又0，则0，所以ab，故正确；中，因为ba0，根据yx2在(，0)上为减函数，可得b2a20，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误.由以上分析，知正确.答案(1)A(2)C角度2利用不等式变形求范围【例12】 (一题多解)设f(x)ax2bx，若1f(1)2，2f(1)4，则f(2)的取值范围是_.解析法一设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b.于是得解得f(2)3f(1)f(1).又1f(1)2，2f(1)4.53f(1)f(1)10，故5f(2)10.法二由得f(2)4a2b3f(1)f(1).又1f(1)2，2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.法三由确定的平面区域如图阴影部分所示，当f(2)4a2b过点A时，取得最小值425，当f(2)4a2b过点B(3，1)时，取得最大值432110，5f(2)10.答案5，10规律方法1.比较两个数(式)大小的两种方法2.与充要条件相结合问题，用不等式的性质分别判断pq和qp是否正确，要注意特殊值法的应用.3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.4.在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.【训练1】 (1)(2019东北三省四市模拟)设a，b均为实数，则“a|b|”是“a3b3”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)(2018天一测试)已知实数a(1，3)，b，则的取值范围是_.解析(1)a|b|能推出ab，进而得a3b3；当a3b3时，有ab，但若ba|b|不成立，所以“a|b|”是“a3b3”的充分不必要条件.(2)依题意可得48，又1a3，所以40时，f(x)x22x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_.(2)已知不等式ax2bx10的解集是x|x，则不等式x2bxa0的解集是_.解析(1)设x0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)(x22x).又f(0)0.于是不等式f(x)x等价于或解得x3或3x0.故不等式的解集为(3，0)(3，).(2)由题意，知，是方程ax2bx10的两个根，且a0，所以解得故不等式x2bxa0为x25x60，解得x3或x2.答案(1)(3，0)(3，)(2)x|x3或x2【例22】 解关于x的不等式ax222xax(aR).解原不等式可化为ax2(a2)x20.当a0时，原不等式化为x10，解得x1.当a0时，原不等式化为(x1)0，解得x或x1.当a0时，原不等式化为(x1)0.当1，即a2时，解得1x；当1，即a2时，解得x1满足题意；当1，即2a0时，解得x1.综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为；当2a0时，不等式的解集为；当a2时，不等式的解集为1；当a2时，不等式的解集为.规律方法1.解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或).(3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.【训练2】 (1)不等式2的解集是()A. B.C.(1，3 D.(1，3(2)(2019铜川一模)关于x的不等式axb0的解集是()A.(，1)(3，) B.(1，3)C.(1，3) D.(，1)(3，)解析(1)不等式可化为0，即0，解得x1或1x3.(2)关于x的不等式axb0即axb的解集是(1，)，ab0可化为(x1)(x3)0，解得1x3，所求不等式的解集是(1，3).答案(1)D(2)C考点三一元二次不等式恒成立问题多维探究角度1在实数R上恒成立【例31】 (2018大庆实验中学期中)对于任意实数x，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，则实数a的取值范围是()A.(，2) B.(，2C.(2，2) D.(2，2解析当a20，即a2时，40恒成立；当a20，即a2时，则有解得2a2.综上，实数a的取值范围是(2，2.答案D角度2在给定区间上恒成立【例32】 (一题多解)设函数f(x)mx2mx1(m0)，若对于x1，3，f(x)m5恒成立，则m的取值范围是_. 解析要使f(x)m5在1，3上恒成立，故mx2mxm60，则mm60在x1，3上恒成立.法一令g(x)mm6，x1，3.当m0时，g(x)在1，3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60.所以m，则0m.当m0时，g(x)在1，3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6，所以m0.综上所述，m的取值范围是.法二因为x2x10，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1，3上的最小值为，所以只需m即可.因为m0，所以m的取值范围是.答案角度3给定参数范围的恒成立问题【例33】 已知a1，1时不等式x2(a4)x42a0恒成立，则x的取值范围为()A.(，2)(3，) B.(，1)(2，)C.(，1)(3，) D.(1，3)解析把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)(x2)ax24x4，则由f(a)0对于任意的a1，1恒成立，得f(1)x25x60，且f(1)x23x20即可，解不等式组得x1或x3.答案C规律方法1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)(2019河南豫西南五校联考)已知关于x的不等式kx26kxk80对任意xR恒成立，则k的取值范围是()A.0，1 B.(0，1C.(，0)(1，) D.(，01，)(2)(2019安庆模拟)若不等式x2ax10对一切x恒成立，则a的最小值是()A.0 B.2 C. D.3解析(1)当k0时，不等式kx26kxk80可化为80，其恒成立，当k0时，要满足关于x的不等式kx26kxk80对任意xR恒成立，只需解得0y”的充要条件是()A.2x2y B.lg xlg yC. D.x2y2解析因为2x2yxy，所以“2x2y”是“xy”的充要条件，A正确；lg xlg yxy0，则“lg xlg y”是“xy”的充分不必要条件，B错误；“”和“x2y2”都是“xy”的既不充分也不必要条件.答案A3.不等式|x|(12x)0的解集为()A.(，0) B.C. D.解析当x0时，原不等式即为x(12x)0，所以0x；当x0，所以xn0，则()A. B. D.m2mn解析取m2，n1，代入各选择项验证A，C，D不成立.只有B项成立(事实上1f(x)，则实数x的取值范围是()A.(，1)(2，) B.(，2)(1，)C.(1，2) D.(2，1)解析易知f(x)在R上是增函数，f(2x2)f(x)，2x2x，解得2x1，则实数x的取值范围是(2，1).答案D二、填空题6.若0a0的解集是_.解析原不等式可化为(xa)0，由0a1得a，ax.答案7.规定记号“”表示一种运算，定义abab(a，b为正实数)，若1k23，则k的取值范围是_.解析由题意知1k23，化为(|k|2)(|k|1)0，所以|k|1，所以1k1.答案(1，1)8.(2019宜春质检)设a0，若不等式cos2x(a1)cos xa20对于任意的xR恒成立，则a的取值范围是_.解析令tcos x，t1，1，则不等式f(t)t2(a1)ta20对t1，1恒成立，因此a0，a2.答案(，2三、解答题9.已知f(x)3x2a(6a)x6.(1)解关于a的不等式f(1)0；(2)若不等式f(x)b的解集为(1，3)，求实数a，b的值.解(1)由题意知f(1)3a(6a)6a26a30，即a26a30，解得32a32.所以不等式的解集为a|32a32.(2)f(x)b的解集为(1，3)，方程3x2a(6a)x6b0的两根为1，3，解得故a的值为3，b的值为3.10.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.解(1)由题意得，y100100.因为售价不能低于成本价，所以100800，解得0x2.所以yf(x)40(10x)(254x)，定义域为x|0x2.(2)由题意得40(10x)(254x)10 260，化简得8x230x130，解得x.所以x的取值范围是.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.已知0a0 B.2abC.log2alog2b2 D.2解析由题意知0a1，此时log2a0，A错误；由已知得0a1，0b1，所以1b0，又ab，所以1ab0，所以2ab1，B错误；因为0a22，所以2224，D错误；由ab12，得ab，因此log2alog2blog2(ab)f(2mmt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是()A.(，) B.(，0)C.(，0)(，) D.(，)(，)解析因为f(x)在R上为奇函数，且在0，)上为增函数，所以f(x)在R上是增函数，结合题意得4t2mmt2对任意实数t恒成立mt24t2m0对任意实数t恒成立m(，).答案A13.已知1xy4，2xy3，则3x2y的取值范围是_.解析设3x2ym(xy)n(xy)，则即3x2y(xy)(x